С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 6

Условием неприголности всеи партии является наличие хотя бы одного нелосзаточно прочного стержня орели пяти проверяемых Какова вероятность лля ленной партии быть неприня зон, если она содержит 5Я нелостазочно прочных стсржнеиу 2 Случаиная величина Х подчинена икону рвспрслеления, плотносзь вероятности которого имеет вип Опрелелить мазематическое ожидание, дисперсию, среднее квалратичное отклонение и асимметрию распрелеления, 3, Функция распрелеления непрерывнои случаиной величины у залана выражением Найти а) коэффипиеит с; б) плотность распределении Ххд в1 вероятность попадания величины Х в интервал (0,25, 0,51. 4, Ошибки измерения есть случайная величина, подчиненная нормальному закону с параметрами м-1,2; с=-08 Нанти вероятность попадании эшй величины в интервал (-1,6, 41,6) 5 В резулыазе проверки т<>чносги работы прибора установлено, что 80% ошибок не выходит за прелелы Я5'С, Опрелелить срелнюю «валратичную ошибку прибора, если известно, что сисгематическик ошибок прибор не имеет, а случаиныс ошибки распрелелсны по нормальному закону 1.

Генеральная совокупность и случайная выборка. На практике исследователь всегда располагае~ лишь ограниченным числом значений случайной величины, представляющим собой некоторую выборку из генеральной совокупности, Под генеральной совокупностью понимают все допустимые значения случайной величины При анализе какой-либо технологическои случайной величины, непрерывно изменяютцеися по времени (например, температура, давление и т, п.), под наблюдаемыми значениями случайнои величины понимают значения технологического параметра в дискретные моменты времени, разделенные таким интервалом, при котором соседние значения можно считать полученными из независимых опытов, Выборка называется репрезентативной (представительной), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности.

Если о генеральной совокупности ничего не известно, единственной гарантией репрезентативности может служить случайный отбор, В очень многих исследованиях случайный отбор или случайное перемешивание (рандомиэаоил) данных необходима, Для имитации случайного отбора можно использовать таблицы случайных чисел, Допустим, необходимо отобрать 10 элементов из совокупности, содержащей 100 элементов. Для этого надо пронумеровать элементы генеральной совокупности от 00 до 99. Затем, начиная с любого места таблиц, выписать две последние цифры десяти идущих подряд чисел. Например, начиная с первого числа получились номера 82 49 18 48 09 50 17 1О 37 51 Ря (х) = лх/л. Функция распределения Р„(х), получаемая по выборке, называется эмпирической или выборачнао функцией распределения (в отличие от распределения генеральной совокупности, или теоретического распределения) Для каждой выборки эмпирическая функция распределения будет своей, но все эмпирические функции распределения одной и той же случайной величины будут иметь нечто общее, что является информацией о функции распределения этой случайной величины, Можно доказать (теорема Гливенко), что с вероятностью 1 при и- максимальная разность между функциями распределения случайных величин Р„(х) и Р(х) стремится к О.

Р (анр ! Р (х) — Рн (к) ! -я О) = 1, я-я — как+~ (11. 2) Практически это означает, что при достаточно большой выборке функцию распределения генеральной совокупности приближенно можно заменять выборочной функцией распределения, Пусть х, < х < ха« ...

х„— упоря- 23 (если числа повторяются, их надо опустить), Полученные номера показывают, какие элементы надо отобрать Выбранную последовательность изменять нельзя Нарушение случайности, как правило, ведет к искажению реаультатов, Аналогично отбору производится рандомизация элементов. При этом нужно выписывать случайные номера до тех пор, пока они не охватят все заданные элементы, Из случайного характера выборок немедленно вытекает, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке само случайно, Предположим, что в результате эксперимента получена выборка хн х, .„, х„значений случайной величины Х Пусть х — некоторая точка числовой оси х„обозначим через и, число выборочных значений, расположенных левее х на той же оси. Отношение п„уп представляет собой частоту полученных в выборке значений случайной величины Х, меньших х Эта частота есть функция от х.

Обозначим ее Р„(х); доченная по величине выборка из генеральной совокупности случайной величины Х, или вариаиоанный рлд, Все элементы выборки имеют одинаковую вероятность, равную 1/п. Поэтому, согласно определению функции ря(х), имеем. Р„(х) = 0 при к ~ к,; 4 Р„(к) = — при кх~ х~ха „5= 1,2, ..., л — 1; (1!.3) л Р„(х) = 1 при к) х„.

На рис, 12 приведен график функции Р„(х) Все элементы выборки оказываются точками разрыва этой функции. В точке разрыва х-х„ функция е„(х) скачком переходит от значения (/с-1)/и (в интервале х,,~ х< х„) к значению /с/и, удерживая последнее значение в следующем интервале. При обработке выборок больших объемов используют метод нсгруп. пированных данных» выборка объема п преобразуется в статистический ряд Для этого весь диапазон изменения случайной величины в выборке х л 'В.х,„делится на /с равных интервалов Число интервалов можно выбирать по полуэмпнрической формуле й ее 1 + 3,2 18 Л (1!.4) р = лг/л, (11, б) определяет относительную частоту попадания случаинои величины в /-й интервал, Все точки, попавшие в ~'-й интервал, относят к его середине х*;.

к = (к! а + хг) /2. (11.7) Статистический ряд записывается в виде табл. 1, График, построенный по данным табл. 1 (рис 13), называется гистограммой эмпирического или выборочного распределенол, На рис, 14 приведен график функции Р„(х), построенный по сгруппированным данным Прн обработке наблюдений обычно не удается получить эмпирическую функцию распределения.

Даже просгейший анализ условий проведения опытов позволяе~ с достаточной степенью уверенности определять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточнение неизвестной функции распределения сводится к определению ху кг кг й кв к некоторых числовых параметров распределения По выборке могут быть Рнс 12. Выборочная функция нас»рене кения с округлением до ближайшего целого, Длина интервала /у равна В = (х „— х„, „)/в. (П.5) Число элементов выборки, попавших в ~'-й интервал, обозначим через и, Величина, равная "и «<в<л «< «г «тл« «< "г "3 1'ис, 13.

Гистограмма распределе- ния Рис 14. График функнии б<с), построенныи по сгруппированным дан- ным ~ дР(х, а) (И.О) Табл и на 1 Статистическии рлл (И.11) д 1 дР— )л Р= — —, Р)О. да Р да (И.12) 30 рассчитаны выборочные статистические характеристики (выборочное среднее, дисперсия н т, д ), которые являются оценками соответствующих генеральных параметров Оценки, получаемые по выборке, сами являются величинами случайными, но нужная точность при этом достигается при меньших п, чем при непосредственном использовании теоремы Гливенко. К оценкам обычно предъявляются требования састояп<еяьности и несиещенпосп<и. Оценка а*(х,, х, ..., х„) называется состоятельной, если с увеличением объема выборки п она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру а, Эмпирические (выборочные) моменты являются состоятельными оценками теоретических моментов Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому параметру М[ае) = а.

Еще одной важной характеристикой оценок генеральных параметров является их эф<)!екп<ивмоепгь, которая для различных несмещенных оценок одного и то! о же параметра при фиксированном объеме выборок обратно пропорциональна дисперсиям этих оценок 2. Метод максимального правдоподобия, Для получения оценок используют различные методы, Широко применяется метод максимаяе- ного правдоподобия. Оценки, полученные при помощи этого мегода, отвечают большинству изложенных требований, Сущность метода максимального правдоподобия заключается в нахождении таких оценок неизвестных параметров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объема п будет иметь максимальное значение Пусть известен общий вид плотности вероятности)(х, а) теоретического распределения; а — неизвестный параметр, входящий в выражение закона распределения На опыте получена выборка значений случайной величины хн х,, ..., х„.

Окружим каждую точку х< окрестностью длиныг, а а Вероятность попасть в интервал с границами «< — —, х< -(- — при- 2 2 ближенно равна ((хп а)с. Если произведено и наблюдений, то вероятность того, что одновременно первое наблюдение попадает в первый интервал, второе — во второн и т д,, есть вероятность совместного осуществления событий и в силу независимости событий равна произведению вероятностей.

Р(х, а) = /(х<)((ха) ... ) (х„) а". (И.д) Событие с вероятностью Р осуществилось на самом деле Естественно ожидать, что событию, осуществившемуся при первом же испытании, соответствует максимальная вероятность Поэтому в качестве оценки для а следует взять то значение а* из области допустимых значений параметра а, для которого эта вероятность принимает наибольшее возможное значение, т.

е, корень уравнения представляющего собой необходимое условие экстремума вероятности Р, Достаточным условием максимума при этом является выпол- пение неравенства с О. (И.10) даа Если максимумов несколько, необходимо выбрать среди них наибольший Решение проще получить, если перейти к функции Р(х, а) '%~ б (х, а) = 1п „= ~!я <'(х<, а), <=! которая называется р<унк«ией пуавдопадобия, Вероятность Р и функция Е имеют максимумы при одних и тех же значениях определяемых параметров, так как В общем случае требуется оценить одновременно несколько параметров одномерного или многомерного распределения, Если а и х понимать как векторы, то формулировка принципа максимального правдоподобия сохранится; надо найти такую совокупность допустимых зиаЧЕНИй ПараМЕтрОВ а*,, а*, ..., аа, КОтОрая ОбращаЕт фуНКцИЮ ПраВдОЗ1 подобия в максимум Необходимые условия экстремума дает система уравнении дЕ (х, а,, ае) у'= 1,2, да/ а неотрицательная определенность матрицы ( да! да/ )' (И.

14) (И. !5) л ла = и или Л* = 1/х, где х †средн выборки Пусть распределение случайной величины Х подчинено нормальному закону. Тогда вероятность совместного осуществления и независимых событий Х-х?0-1, 2,, и) равна ! ЧГ2 Р(х, т, аа) = ехр — — '~ (х! — т)1 аи (1!. !7) (2аае) и функция правдоподобия является достаточным условием того, чтобы локальный экстремум был максимумом функции правдоподобия, Найдем методом максимального правдоподобия оценку парамет- ра л показательного распределения с плотностью /(х) = Ле, О а х ~аа по выборке х, э", ..., х„. Для этого распределения функция правдоподобия имеет вид и и Е.=ах'!в( Ле !) =«!вЛ вЂ” ~~~~~Лх!.