С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 10

По табл. 4 приложения при числе степеней свободы 7-30 н доверительной вероятности 0-09 находимхом -43 8 и хо ьь -18 5. По формуле (П69) определим двустороннюю доверительную оценку для дисперсии воспроизводимости. Доверительные границы для ошибки воспроизводимости определятся неравенством 0,69» ск» 1,05. Определим доверительные границы для о„, воспользовавшись нормальным распределением По формуле (П.72) определим оы з 0,85 =0,1!. у'2/ угу 80 По табл.

2 приложения для доверительной вероятности 0-09 находим ва,м-!,64. В соответствии с (П 73) доверительные границы для ошибки воспроизводимости определяются неравенством 0,85 — О,!! 1,64 ~ е„~ 0,85+ О,! 1 ° 1,64; окончательно 0,67м охи 1,ОЗ. ПолУченные с использованием ноРмального РаспРеДелениЯ доверительные границы мало отличаются от приведенных выше 14. Сравнение двух дисперсий. При обработке наблюдений часто вози икает необходимость сравнить две или несколько выборочных дисперсий Основная гипотеза, которая при этом проверяется; можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Рассмотрим две выборки х1, к2, хе, средние значения которых соответственно равны х,и х,. Выборочные дисперсии л ~чР ~( к,. — х,)2 ~~' ( к,, — хя)2 а г=! л, а г=! 5 и,— 1 ла — ! определяются со степенями свободы /з=-л! — 1, /я=-ла — !. Р = ( 2/ ',): ( ааа/ с,'). Плотность вероятности Г-распределения определяется выражением г!1 — ! / ~+/я! Пг — 21!2 (И. 75) а (/,)2) Г (/,)9) / /а (/,+/,Р)1)а 81!гз ' ( ° ) (11.

74) Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии а и ~~ значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией а 2, а вторая в из генеральной совокупности с дисперсией Оа Прове! 2 ' ряется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий Н, сг' — сга Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать ! 2 ' значимость различия между х; и ~~ при выбранном уровне значимости Р.В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера Распределением Фишера (Рраспределение, 02-распределение) называется распределение случайной величины; На рис. 19 приведены кривые плотносги вероягности Рраспределения для некоторых значений/! и/2.

Кривые имею! асимметричную форму. В табл. 5 приложения приведены квантили Р для ! — р уровня значимости р -0,05 и чисел степенейй свободы 7! и /', Для определения квантилей Р для значений Р используется соо!ношение Рис 19. Плотность Ртраспрсделенив (П.76) 1 тр(/ /я) = ~з-р (1а, /!) 2 —, и, следовательно, В условиях нулевой гипотезы Оа — Оа и а2 / Оа -1, и, следов Р-распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения выборочных дисперсий ~ /зу.

При доверительной вероятности 1- р двусторонняя доверительная оценка величины Р имеет вид ургенч ° /я) ~Р~Рг-ря(/ы /я). С уче~ом (1! 75) ! Р! гя(/, /,) ! — Р,а(/з, /.). (11. 77) В 2, д ельно, с вероят. условиях нулевой гипотезы Р=Ф /, еле овате ностью 1 — р должно выполняться двустороннее неравенство 2 ! ) ~ —, ~ Р! руа(/з, /а) З2 или одно из односторонних неравенств: (11. 78) з!/ 4 ~ "'т-р(/з, /а) (оценка сверху), Р Р г/ 2 ~ 1)рз-р(/а /з) (оцеика снизу), (11.79) Вероятность неРавенств, ПРотивоположных (Ц 78) и (Ц 79) р на уровню значимости р Они Образуют критическую Область Для нулевои тип"тезы Если полученное дисперсионное ОТНОШЕНИе попадает в критическую область, различие между дисперсиями надо считать значимым Будем для удобства обозначать через з боль шую выборочную дисперсию.

При проверке нулевой гипотезы аа — Оа односто о ! 2 р нний критерий применяется, если альтернативной гипотезой является гипотеза О;2> гу,а, т. е. если бо выборочной испе 2 гу, т е если ольшеи дисперсии з, заведомо не может соответствовать меньшая гене альная, р ьная, При этом различие между дисперсиями согласно (1179) следует. считать значимым. если 50 где Г(7) — гамма-функция, Р-Распределение зависит только от числа степеней свободы /; и '!/'2 ~ Рз-р(/г, /я). 2 2 (11.80) 51 (П.ВП и а-2. 3(11г, 21'>ге~ з=1 (1! . 82) в С.— аю,„( ~ згю ,-1 (11 84) 52 Значение й; (уг, Я для р -0,05 можно определить по табл. 5 приложения. Двусторонний критерий значимости (П78) применяется для альтернативной гипотезы озгчаог, т.

е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (1178) надо проверять только правую часть, так как левая часть всегда выполняется; по условию ь! а м,1 1 1 — р/2 ()г' для небольших р. При этом различие между дисперсиями следуе~ считать значимым, если зз/ьг Р! „2(!, )г) Пример 8, При оценке точности определения содержания усвояемои Рзое в сложном удобрении сернокислотным методом дисперси» воспроизводимости составила з)-0,73; 1 = 2 Требуется сравнить зтот метод анализа усвояемон Рзое с более точным цитразным методом по результатам четырех параллельных опйеделении Ртое: 16,5; 15,9; 1б,б; 15,8.

Р е ш с н и е Дисперсия воспроизводимости цитратного метода а ~~ (х; — х) з = =-0,16 4 — 1 ори числе степенен свободы 6-3 По условиям залачи для оценки значимости различия между дисперсиями .гт н зтт можно использовать одностороннин критерий значимости (П,80), днсперсионное отношение р — 0,7370,16 — 4,5 надо сравнить с табличным для уровня значимости р — 0,05 н чисел степеней свободы гз -2 н л — 3 Н вЂ” рць да)-9,6, Таким образом, выборочное днсперсионное отношение меньше табличного н данные опытов не позволяют считать точность методов значимо различнон, Критерии Фишера можно использовать для сравнения дисперсий, если одна из дисперсий является генеральнои, Число степеней свободы генеральной дисперсии считаешься равным ' .

13. Сравнение нескольких дисперсии. При определении оценки дисперсии по текущим измерениям по формуле г .1 2,.2 ХЫ Г заз г )ззз+)згг+ .. + )вз„ 1 +)х+ +)н была принята нулевая гицозеза равенства соответствующих генеральных дисперсий. Проверить эту гипотезу для выборок разного объема можно по критерию Бартлета. Бартлет показал, что в условиях нулевой гипотезы отношение В/С, где распределено приближенно как Х'с и — 1 степенями свободы, если все у) > 2.

Гипотеза равенства генеральных дисперсии принимается, если В(С~ Хз, (!!.83) при выбранном уровне значимости р. Различие между выборочными дисперсиями можно считать незначимым, а сами выборочные дисперсии — однородными. Так как всегда С>1, если окажется В<Х1 юнулевую гипотезу следует принять; если В>Х,, критерий Бартлета вычисляют полностью, Пример 9. При получении фосфора возгонкой из фосфатов измерялась степень восстановления фосфата при четырех различных температурах.

В таблице приведены результаты статистического анализа однородносзи дисперсий воспроизводимости результатов при разных температурах, Определить, не меняется лн точность анализа с температурой, Р е ш е н и е По данным таблицы дисперсия воспронзвоцимости равна зг == 45,78723 = 1,99 18 хг = 0,2889, 7 !Взг =- 23 0,2889 — -- 6,874, 17) =- !з23 =- 0,0435 В = 2,303(6,874 -- 6,755) = 0,278, 0,742 — 0,0435 С = — 1 + 0,077 =: 1,077, 3 (4 — 1) По табл 4 приложения находим нри трех степенях свободы и уровне значимости р-005, Хам=78 Величина В( Хесе и, следовательно, на уровне значимости р = 005 можно принять гипотезу о равенстве генеральных дисперсии Величину С можно было ие вычислять Таким образом, критерий Бартлета позволяет считать что точность анализа нс зависит от температуры.

Выборочные дисперсии однородны, но»тому в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости можно взять средневзвешенную дисперсию 6 с числом степенен свободы Х равным 23. Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов т, = т, =... = т „. т, для их сравнения используют более удобный и точный критерий Кахрена. Кохрен исследовал распределение максимальной выборочной дисперсии к сумме всех дисперсий; или односторонние оценки: (11.9!) (11.88) 0<аз р(л, В, гл — гл ~ х — У вЂ” !з р 5 У' 1/лз+ ) /ла (11.92) ) х — у ~ Ъ !, з )гр)/л, +!/ла ( 1!.98) — ! р з )Г)/л + !/ла (11.94) (11.95) (1! Вб) л — ! (11. 96) сз — (! — с)а где с = 52/( зг - 52), (11. 87) (11.

97) (11.88) е е )'!/л, + !/ла "з!1 Р/2 (/з) + оа!) р/2 (/а) Т— (П. 98) Уо~+ пз (х — у) — (гл„— ы) !х — у)>Т. (11.99) (11. 89) 5 )г!/лз + 1/лв Распределение случайной величины 6 зависит только от числа суммируемых дисперсий л и числа степеней свободы ( с которым определена каждая дисперсия: (= гл — 1.

В табл. 6 приложения приведены квантили 6), для уровней значимости р=0,05. Если найденное по выборочным дисперсиям значение критерия Кохрена окажется меньше табличного где л — число суммируемых дисперсий; /"-лг — 1,расхождение между дисперсиями нужно считать случайным при выбранном уровне значимости р. Если при этом определяется оценка для дисперсии воспроизводимости, однородные дисперсии можно усреднить.