С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 3

Функция распределения непрерывной случайнои величины (а! и дискретной случаинай величины (б! Р(х «Х««,)=Р(,) — р(,). Значения функции распределения при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1: Г ( — со) = О, Р (+ оо) = 1, функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений (рис. 2, б2 Сумма всех скач- ков равна 1. Для непрерывной случайной величины наиболее часто употребляет- ся производная функции распределения — плотность распределения случайной величины Х.

Если Р(х) непрерывна и диффереццируема, то ((х) = —. (1, 14) Задание ф(х) тоже полностью определяет случайную величину. Плотнос~ь распределения является неотрицательной функцией (рис. 3). Площадь, ограниченная осью х, прямыми х=х и х~ и кривои 1 2 плотности распределения, равна вероятности того, что случайная величина примет значения из интервала х †.'х: 1 ' 2 яе Р (хз «Х «ха) = ~ ( (х) бх = Р (»а) — Р (хз), аг (1. 16) в частности Р (х) = Р ( — «Х «х) 1 ( (х) дх Отсюда же выводится еще одно важное свойство плотности распределения: (1, 16) О ~ 7(х) б»= 1, (1.

!7) В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной, так и дискретной случайной величины, Как видно из определения, Г(х) есть неубывающая функция х( если х,<х, то Г(хз)<г(хз) (рис. 2, а). Ордината этой кривой, соответствующая точке х„ представляет собой вероятность того, что случайная величина Х при испытании окажется <хр Разность двух ординат, соответствующая точкам х, и х, дает вероятность того, что значения случайной величины будут лежать в интервале между х, и хя: Рис. 3 Плотность распределения не- прерывной случаинои величины Удобно пользоваться вероятностью событий Х<х, где х — произвольное действительное число, а Х вЂ” случайная величина. Эта вероятность является функцией от х: Р (Х «х) = Р (х) и называется функцией распределенил случаиной величины.

гак как попадание случайной величины в интервал — <Х<+ есть достоверное событие. 2. Числовые характеристики. Вмес го полного определения случайной величи- для непрерывной Рз = тз Зт,та+ 2тз (1. 29) М (Х!, (1.30) (1.31) гл, = М (Х) = ~ х! ра, (1. 20) г=! (1.22) Ха = (Х вЂ” тк)га„. !1.32) Р» = ~ (х — т )» г'(х) дх.

Ф (1. 23) Для нормированной случаиной величины м(х.)ФО, (з(х,)Ф1. (! 33) Многие саблины распределений построены именно для нормированных случайных величин. Существуют следующие соо !ношения между функциями распределения, соотве!- (1.24) В (Х) = М ЦХ вЂ” а!.)з1. (1. 25) г=! г ны в виде законов распределения вероятностей в прикладных задачах ее часто определяют при помощи числовых характеристик— чисел (вещественных), выражающих характерные особенности случайной величины, называемых моментами случайной величины, Для дискретной случайной величины началвный момент )с-го порядка опрЬ- деляется формулой т = ву'х",.рг, »=1, 2,.

(1. 18) г=! для непрерывной случайной величинь! — формулои т» = ~ х" г" (х) дх. (1. 19) Начальный момент первого порядка ()с- 1) называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины. Математическое ожидание принято обозначать различным образом; Для дискретных случайных величин Для непрерывных случайных величин математическое ожидание выражается интегралом; ,=М(Х1 =- ~ )()д .

(1.21) Чаще, чем начальные моменты, применяются центральные моменнгы. Центральный момент )с-го порядка для дискретной случайной величины определяешься формулой л Р»= ~(х! т )»р! для непрерывной случайной величины — формулой Нервыи центральный момент всегда равен О, р! =О. Второй централь- ный момент называется оисиерсией. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от се математического ожидания, т. е.

Для лискретнои случайной величины л 1)(х) = Р,=- чг',(х! — гл,)' рг, Р [Х1 = ~ (х — т )з ) (х) дх. (1. 26) Другие обозначения для дисперсии )), и з, пз. Корень квадратный из второго центрального момента называется средним квадратичным отклонением (или стандартом): ., = $'(У(х)= 1 н,. (1. 21) Третий центральный момент, разделенный на п,з, называется козегуфициентом асимметрии: т! = Рз)о„ (1.28) Через начальные моменты )аз выражается следующим образом: Четвертый центральный момент вычисляется по формуле Ра = та — 4т,та+ 6т, т, — Зт, .

Величина т, = (Р,)о.) — 3 4 называется козф!))ициентом эксцесса. На рис. 4 приведены примеры плотностеи распределений с ненулевыми коэффициентами асимметрии и эксцесса. Для сравнения штриховой линией июбражена кривая с тем же математическим ожиданием т, и дисперсией и„', но с нулевьгми значениями коэффициентов эксцесса и асимметрии. Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды для дискретных величин сходятся. Для случайных величин, значения которых ограничены моменты всегда существуют. Если у случайной величины Х существу!от первыи и вгорой моменгы, го можно посгроигь нормированную шучоиную ве.гиги!!!ус Рос.

4 Плотлосгь Оаслрслслслвв с нслулсвмми ко~фсгииисгггггкги аслммсарлл и лкслссса 1 ! ( х — т»'з 7 (х)= — [т (хю) = — [х [ а» ак а» (1. 34) (1. 35) (х (хю) = ак! (к) а»1(тик+ а.тлю) х — т к ! р( )=р,(,)=р,~ ) а» (! .36) (1. 37) рт (ха) = р (к) .= р (лз, + а» ха). (1.:!9) (1.4!) (1.42) к = — — кт -л. м[х,]=о, 2у[х,]=. 1, (1.43) М [с] = с.

(1. 44) М [сХ] = см [Х]. Рис 5, Медиана распределения !5 !4 ствующимн нормированной величине Хо н ненормированной Х; Моменты являются общими (интегральными) характеристиками распределения. Вторая группа параметров характеризует отдельные значения Функции распределения. К ним относятся хвантили. Квантилем х, распределения случайной величины Х с функцией распределения р(х) называется решение уравнения Г (хр) =- р, (!. 38) т.

е. хр есть такое значение случайнои величины, что Р (Х ( кл) = р, Если известны два квазпиля хр и х, то Р(хл~х~х )==в — р. (1. 40) Наиболее важное значение имеет квантиль хв, называемый медианой распределения (рис. 5), Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам Если распределение симметрично, Квантили хр н .к, р называются симметричныии. Для симметричного относительно нуля распределения всегда Наиболее часто в приложениях математическом статистики используют математическое ожидание (характеристику положения значений случайной величины на числовои оси) и дисперсию (или среднее квадратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины.

3. Свойства математического ожидания в дисперсии. Примем без доказательства следующие свойства математического ожидания н дисперсии случайных величин: 1 Математическое ожидание неслучайной величины равно шаченню зтои величины. 2. Неслучаиную величину можно выносит ь за знак ма ! е мат нчее кого ожидания: 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин: М [Ха+ Хя+ ... + Хл1 =- М [Хт]+ М [Х,1+ ... + М [Хл] (1 45) 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей; м[х х ... хл1=м[х]м[х1 ... М[хл1.

(1. 46) Случайные величины называются независимыми, если каждая из них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от возможных значений других величин. Свойства дисперсии: 1. Дисперсия неслучайной величины равна нулю; (з (с] = О. (1.47) 2. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат: )3 [сХ! = СЧ! [Х]. (1. 48) 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания: 2) [х]= м[х*] — „'. (1.49) 4 Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин: !З1Х + Ха+ ° ° ° + Хл! = )З[Х 1+2!(хя]+ ... +() [Хл1. (1.50) Используя свойства математического ожидания и дисперсии, покажем, что для нормированной случайной величины справедливо утверждение (]. 33), т. е.

если Х, =(Х вЂ” т,)! о„то /Х вЂ” т»1 1 ! М[Хю]=М ~ "[ = — М(Х вЂ” лз,)= — ]М(Х) — лз, ~=0, » ак 1 зт Х вЂ” т» "т ! ! г 3 !)[Х] 2) [Х ]аа (З ~ = — 7)(Х вЂ” т ) = — ~ 2З(Х) — 0~ = ах ~ ар ар к к к Пример 2. В резулыате испытаний двук раскодомеров установлена вероятност~ наблюдения помех, опениваемых по двухбалиьнои системе. М, [Х] = 0,20 1+ 0,055 2 = 0,33, (!.Ьз) (1.54) = — ] [х — — )йх =- а Рнс 7 График функннн У(х) рав- номерного распределения Рвс, Ь. Плотность вероятности равномерного раслределеннн отсюда гр — а Р (с с Х с 5) —.--— Ь вЂ” а (1 55) с прн а С кСЬ, ( (х)= 0 прн к с а нля х»Ь. 1 ((к) = — прн а с хсь, Ь вЂ” а (1.51) /(х) = 0 прн т с а ндн х» Ь. тле т„и о'„— математическое дание и дисперсия случайнои чины Х.