С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 2

Поэтому при обработке и анализе экспериментальных данных используют методы математической статистики, Так, для полиномиальной модели (2) получают так называемые выборочные коэффициенты регрессии Ьо, Ь,, Ь„,, Ь„, являюгциеся оценками теоретических коэффициентов ()о, .

Уравнение регрессии, полученное на основании экспериментальных данных, запишется следующим образом: ь ь х У.= Ьо Р ~ЧР ~Ь)ху+ ~ Ь«ух„ху + ~~Р~ Ьзухо + )=! и, !.=! ).=1 иф) ь + ~~ Ь|«) х~х хи ) ьи,!=! ~'«! ~и зде Ь вЂ” свободныи член уравнения регрессии; Ь,— линеиные эффеко |ы,у =-1,2,...,/гг ܄— квадратичные эффекты; Ь„, — эффекты парного взаимодействия; Ь„„— эффекты тройного взаимоденствия. С познавательной точки зрения полиномиальная (регрессионная) модель не представляет особо~о интереса.

Зная оценки коэффициентов отрезка ряда Тейлора, нельзя восстановить исходную функцию, аналитическое выражение которой остается неизвестным исследователю, и, следовательно, невозможно получить информацию о механизме процесса Полиномиальные модели справедливы только для объекта, на котором проводился эксперимент, В практическом отношении полиномиальные модели очень полезны и широко используются при решении задач оптимизации и управления химико-технологическими процессами. Следует также иметь в виду при применении экспериментально- статистических методов, что в ряде случаев экспериментатор располагает определенной априорной информацией о физической сущности исследуемого процесса, пользуясь которой можно получить представление о структуре модели.

ЭФфективность экспериментов в большой степени зависит от мегодов их проведения. Различают пассивный и активный эксперименты. Пассивный эксперимент является традиционным методом, когда ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных. К пассивному эксперименту относится также сбор исходного статистического материала в режиме нормальнои эксплуатации на промышленном объекте, Обработка опытных данных для получения математической модели проводится статистическими методами Методы математической статистики позволяют в этом случае извлечь максимум информации из имеющихся экспериментальных данных — оптимизировать процедуру обработки и анализа эксперимента. Используя активный эксперимент (планирование эксперимента), можно достичь существенно большего — оптимизировать и стадию постановки эксперимента.

Планирование эксперимента — это оптимальное управление экспериментом в условиях неполной информации о механизме процесса, Развитие концепции планирования эксперимента связано с работами английского статистика Р. Фишера. В концепции Фишера главная цель планирования эксперимента состоит в раздельной оценке эффектов в многофакторной ситуации. Широко применяемое в настоящее время планирование эксперимента при поиске оптимальных условий процесса связано с работой американских ученых Бокса и Уилсона, предложивших последовательную стратегию решения экстремальных задач.

Работы Бокса и его школы нашли широкое применение в практике. Одновременно с эмпирико-интуитивным подходом Бокса стало развиваться чисто теоретическое направление в планировании эксперимента. Наибольший вклад в развитие этого направления внес американский математик Кифер. Среди предложенных критериев оптимальности планов наиболее распространен критерии 0-оптимальности, связанный с минимизацией ошибок всех коэффициентов модели. В нашей стране применение и развитие идей и методов планирования эксперимента связано с работами В.

В. Налимова и его школы. В настоящее время методы планирования эксперимента, широко применяемые для изучения процессов в лабораторных и полузаводских условиях, в промышленных условиях применяются редко. Однако развитие методов планирования эксперимента применительно к промышленным условиям и технический прогресс производства несомненно создадут предпосылки оптимизации эксперимента на всех стадиях изучения процесса. часть 1 Р(А) > О. Р(Ц= 1, ГЛАВА ! ОСНОВНЫЕ ХАРАНТЕРИСТИ)4И СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Р(У) = О.

(1. 4) Таким образом, Р(АВ) .= Р(А) Р(В/А). Р(АВ) = Р(В) Р(А/В), р; = Р(Х= яд титг(». (1. 9) 9 Методы статистического анализа эксперимента 1. Случайные величины. Аксиомы теории вероя ве оятиостей. Законы РаснРедепеиии. ПоД слунаиной веггичиной пони илгают величину, ' при, кото ое принципиально нимаюшую в Результате испытания значение, ко ор Р Сл чаиная величина нельзя предсказать, исходя из условий опыта. у ий, но в результате обладает целым набором допустимых значени, каждого отдельного опыта принимает лишь ь какое-то одно из них. яю их свое значение В отличие от неслучайных величин, изменяюш л чайная величина может лишь при изменении условий испытания, случа н и неизменном комплексе еличины от опыта к принимать Различные значения даже при неиз основных факторов Изменение случайной величин опыту связано с неучитываемыми (случайными) факторами.

, н жно прежде всего Чтобы охарактеризовать случайную величину, азличают дискретные и ~адать набоР ее допустимых значений. разл ые значения дискретных непРеРывные слУчайные величины Возможные ить. Значения непрерывной случайных величин можно заранее перечислить. ее пе ечислены, они неслучаиной величины не могут быть заранее Р ток, Набор допустимых преРЫвно заполияют некоторый промежуток.

ет с чайную величину. значений сам по себе слабо характеризует лу ю величину, нео ходимо Чтобы полностью охарактеризовать случайнУю ожет принимать, но и как не только указать, какие значения она может Р часто. а Х может принимать в Пусть дискретная случайная величина Х може тношение числа опытов тн результате Опыта значения х1 -, хг Отноше а Х приняла значение х„ в Результате которых случайная величина Х р опьпов и называется частотой к общему.

числУ произведенных опьпо чайной поЯвленил еобытил Х -х,. Частота т, Уп са п сама является случайн количества произведенных величиной и меняется в зависимости от кол ов она имеет тенденцию опытов. Но при больцюм числе опытов ия, называемого вероятстабилизироваться около некоторого значени рн ностью события Х =х, (статистическое определение): Можно доказать (теорема Бернулли), что каково бы ни было наперед заданное положительное число е, вероятность того, что частота события отличается от его вероятности больше, чем на е, стремится к нулю при неограниченном числе испытаний. Следующие аксиомы теории вероятностей были сформулированьг А Н Колмогоровым.

1. Вероятность появления случайного события А является неотрицательным числом: 2 Вероятность достоверного события (( равна единице; а вероятность невозможного собьпия !' — нулю: О~Р~1, (!.5) Суммой нескольких событий (А, +А,+.. +А.) называют событие.

состоящее в появлении хотя бы одного из этих собьпий. 3. Вероятность того, что наступит хотя бы одно из нескольких несовместных собьпий Ап А,,...,А„, равна сумме вероятностей этих событий (теорема сложения вероятностей): Р(Аз+Аз+ .. +А») = Р(Аг)+Р(Ат)+ ..

+Р(А»). (1 6) Произведением нескольких событий (Аг А, .... А„) называется собьпие,состояц!ее в совместном появлении всех этих собьпий, Случайные события Аь А,,...,А. называются независимыми, если вероятность любого из них не зависи~ от того, произойде~ или нет любое из остальных событий. Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(Аг'Ат . А») =Р(Аг) Р(Ат) ° ., Р(А») ° (1. У) Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нег. Вероятность события А, вычисленная при условии, чпз произошло другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А УВ). Для зависимых событий вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло: Аналогично, если событие В предшествует событию А иопределенным образом влияет на него, то Пример 1, Вероятность безотказной рабаты вычислительного устроиства зависит от грех узлов, соединенных последовательна, каждый из которых независима от других может выйти.

из строя Вероятность безотказной работы первого узла равна Р(АП -ОР, ВтаРата Р(АП-0,8 И тРЕтЬЕГО Р(ла)-0,8 Найтн НаДЕжваетЬ ВЫЧИСЛнтЕЛЬНага УетРОИ- ства в целом. Р е ш е и и е, По теореме умножения для независимых собьпии (1.7) Р(А) = Р(А ) Р(А ) Р(Аа) = — 0,9 0,8.0,8 = 0,676. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице: л ~р =1, (1. 10) (=! так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена определенным образом между отдельными значениями.

Дискретную случайную величину можно полностью задать веролтноетным рядом, указав вероятность р, для каждого значениях,: Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется заковом распределени», Вероятностный ряд является одним из видов законов распределения случайной величины.

Распределение непрерывной случайнои величины нельзя задавать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю, т.е. событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для непрерывных случайных величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторый интервал и б Рис 2.