С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 4

Функция распределения равна: ожи- вели- 0 прн хса„ (х — т )-' к 1 Г 2, Е(х) -- ) е * дх [г 2к ек Рнс 8. Определение вероятности попадания равномерно распределенной случайнон величины на заданный участок х — а — прн а с х < Ь, Ь вЂ” а (1. 52) Р(х) = (1. 57) 1 прн х»Ь. !7 (б По прнведенным данным выбрать расходомер, который в среднем нмеег меньшая уровень помех н более устойчивые показания Р е ш е н н е.

Обозначим через Х случайный уровень помех расходомера, Определим средний уровень помех для каждого расходомера по формуле (! 20). Мх [Х] = 0,03. 1+ 0,15 2 = 0,33. Такнм образом, средннн уровень ломах у обоих расходомеров одинаков н по атому показателю нельзя выбречь лучший прибор Определим устойчнвость локазаннй, для зшго по формуле (!.25) посчитаем днсперснн уровня помех для каждого расходомера: )7,[Х] =(1 — 0,33)в 0,2+(2 — 0,33)в.0,055=0,!1; )7 [х1= ( ! — О,ззр о,оз+(2 — о,зз) О,ГО = 0,4з.

Следовательно, лучшнм являезся первый расходомер 4. Равномерное распределение. Определим основные числовые характеристики одного из простейших непрерывных распределений— равномерного распределения. Равномерным распределением называется распределение, для которого плотность вероятности постоянна в определенных пределах и равна нулю вне этих пределов (рис. 6). Плотность ((х) постоянна и равна с на отрезке [а, Ь]; вне это~о отрезка она равна нулю: Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: с(Ь вЂ” а) =1, то с-1((Ь вЂ” а), и плотность распределения )(к) имеет вид Функция распределения выражается площадью кривой распределения, лежащей левее точки к. Следовательно, График функции Ь(х) приведен на рис. 7, 'Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], равно Ь Г к а+Ь т,= ! — г)к= —.

о Ь вЂ” а 2 В силу симметричности равномерного распределения медиана величины Х также равна (а ф Ь)/2. По формуле (126) определим дисперсию случайной величины Хг ь к=Ь а(( 2 ) !2 в Коэффициент асимметРии 7( — Рз(цз Равен нУлю (РаспРеделение симметрично). Для определении коэффициента эксцесса найдем четвертый центральный момент: тх =- — - — 3 = — 1,'2 с Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Х на отрезок [ а, [) ], представляющий собой часть отрезка [а, Ь] (рис.

3), определяется отношением длины отрезка [ и, 'р ] к длине всего отрезка [а, Ь]: 5. Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид (к — т к ! як ) (к) = — — е " ( — со< кСсо), (1. 55) ]Г2к ск (( Ф( — к) = — Ф(к), (1, 62) В общем случае Ф( «) Ф(») (!.64) (1. 66] Рис. !О, График функнии Ро/х) стандартного нормального рас. пределения !'ис 9 Кривая Гаусса » Го (х):.— 1 е ж дх. (1.58) (1. 69) Отсюда Р(/ГХ ~ а») = 2Ф (!) = 0 6826 Р (ЛХ ~ 2а») = 2Ф (2) .

— 0 9544 (1. 70) Р (х, ~ Хо ~ х,) = Ро (хо) — Ро (х,). (1. 59) Функция 1 Ф(.к) = Ро (х)— 2 (1. 60) называется /пункцией Лапласа: (1.6!) Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы большого числа и независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому угодно закону распределения (теорема Ляпунова). Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмушений. У таких явлений закон распределения близок к нормальному Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений.

Пользуясь методами теории информации, можно показать, что нормальное распределение содержит минимум информации о случайной величине по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности нормального распределения называется нормальной кривом или кривой Гаусса (рис 9). Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стппдарпгпым.

Его функция распределения имеет вид График этой функции представлен на рис. 10 Для такой величины 1 !' — ко/о Ф(х)=Р,(х) — Р,(0)= — ) е дк. 1' 2я Значения этой функции приводятся в табл, 1 приложения. Функции Лапласа †нечетн функция, т, е. поэтому таблицы значений Ф(х) составлены лишь для х>0. Для нормированной случайной величины, учитывая (1.59) и (1.60), имеем Р (ха С Хо С хо) = Ф (ха) + к/о — Ф (хг) — г/о = Ф (ха) — Ф (хо). (! .63) гл« к,— и« Р(хкСХСхо)=Р( СХоС вЂ” «) = а» Во многих практических задачах х, и х, симметричны относительно математического ожидания, в частности в задаче об абсолютном отклонении. Абеолкугпо/ым отклонением называется величина 8Х " (Х гл«! (1.65) Требуется найти вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины не превюйдет некоторого заданного числа гл Р (/ГХ ~ о ) = Р (сд» вЂ” а ~ Х ~ па» + а) .

В частности, для нормированной случайнои величины Р (6Хо ~ а) = Р ( — а ~ Хо к + а) = Ф(о) — Ф ( — а) = 2Ф (а). (1.67) Для случайной величины, имеюшей нормальное распределение. с параметрами т„и о,, а / а Р(ОХ~ ) =Р(ЛХа к — ~=-2Ф( — /1 . (1.68) « Обозначив е/о, =/с, получим нз (1.68) следующее соотношение: Р (/!Х ~ йа«) = 2Ф (/о), Р (/!Х ~ За ) = 2Ф (3) =- 0,9973.

Таким образом, отклонения больше чем утроенныи стандарт (среднеквадрагическое отклонение) практически невозможны. Нормальное распределение обладает свойством линейности: если независимые случайные величины Х, и Х, имеют нормальные распределения, то для произвольных чисел а и !) величина У = ах, + 9хо (!.7!) также имеет нормальное распределение, причем из свойств математического ожидания н дисперсии следует !9 (1.72) ггту — «лзк + (Зщкк «у = [г «а еа + реев к, к, (1.73) откуда (1.

80) Р[(Х, 1') щ ()[ = 0((х, у) бхбу. (1.8И (1.74) Р(х, у) .—.— Р(Х ~ к, !' ~ у). ( (х, у) > О. (1. 83) при ха > хт Р (ха, у) Ъ Р (хг, у)1 прн ук>уз Р(х, уа))Р(х, у). (!.75) обраюм: (1.76) Р (х, + оо) = Рз (х), Р (+ ' , у) = Р. (у), (1.77) 6 х Рис. 11. Прямоузольннк я 21 Пример 3. Толщину керамической глазурованнои плитки 6 можно считать нормально распределеннои случаиной величиной со стандартом о = 0,3 мм. Какова вероятность брака, если бракуются плитки толщина которых отклоняется от номинала (математического ожидания) более чем ив 0,5 мм.

Р е ш е н и е, Определение вероятности брака сводитсн к решению залачи об абсолютном отклонении для случаиной величины Ь вЂ” толщины плитки. Необходимо опрелелить Р(ья м 0,5), Найдем вероятность противоположного события по формуле (108). Р (Л)т ~ 0,5) = 2Ф (0,5/0,3) = 2Ф (1,Б7) = 2.0,4525 =- 0,905, Р (М ~ 0,5) = 1 — О, 905 = О, 095, 6. Системы случайных величин. В практических приложениях теории вероятностей и математической статистики очень часто приходится иметь дело с задачами, в которых результат эксперимента описывается не одной случаиной величинои, а двумя или более случайными величинами, образуннцими систему.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин ее составляю(цих: помимо этого, они определяются также взаимными связями (зависимостями) между случайными величинами Информация о случайных величинах содержится н законах распределения, Рассмотрим систему из двух случаиных величин (Х, У), Функуией распределения ещтпежы двух случайных величин (Х, у) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: В 51 приведены основные свойства функции распределения Р(х) для одной случайной величины.

Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы (Х, У). 1. Функция распределения Г(х, у) есть неубывающая функция обоих аргументов, т. е. 2. Всюду на — ' функция распределения равна нулю: Р(х, — ) О Р( —, у) О Р( —, — ) = О. 3. При одном из аргументов, равном +, функция распределения системы превращается в функцию распределения случаиной величины, соответствующей другому аргументу: где Рз(х), Рз(у) — соответственно функции распре;(еления слугаиных величин Х и )'. зо 4. Если оба аргумента равны +, то функция распределения системы равна единице: Р(+», +»)=1.

(1.78) Зная функцию распределения системы Р(х, у), можно определить вероятность попадания случайной точки (Х, У) в прямоугольник Я, ограниченный абсциссами а и [) и ординатами у и 5 (рис. 11): Р [(Х, У) щ Я[ = Р (5, Ь) — Р («, б) — Р (5, Т) + Р (», Т), (1. 79) Если функция Г(х, у) непрерывна и дифференцируема, то можно определить плотность распределения системы )(х, у) как вторую смешанную производную функции Р(х, у): даР (х, у) / (к, у) = дх ду Вероятность попадания случаиной точки (Х, У) в произвольную область (э выражается интегралом от элементов вероятности ((х, у) по области ()г (о) В соответствии с (!.81) вероятность попадания в прямоугольник )( определяется следующим образом; ч а Р [(Х, Г) щ )7[ =) ~ [ (х, у) бх бу. (1.82) 11лотность распределения системы есть функция неотрицательная: Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице О ~ 1 ((х, у) бхбу ОО 1 (1.84) — О, — ОО н представляет собой вероятность попадания на всю координатную плоскость, т е.

вероятность достоверного события Функция распределения Г(х, у) выражается через плотность распределения следующим Р(х, у) = ~ ~((х, у)бхду. (1.85) Зная плотность распределения системы, мо- жно получить плотности распределения каж- дой из величин: к ю Р (х) = Р(х, ео)= — ~ ~ ((х, у) бхбу, (1.86) откуда, дифференцируя по х, имеем дР, (х) /, (х) = — = [ /(х, у) ду, 6х (1,87) аналогично /в (у) = — = ~/(х, у) дх.