С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 11

Число степеней свободы ( среднеарифметической дисперсии равно (= л(т — 1/. 14. Сравнение двух средних. Для сравнения между собой двух средних, полученных по выборкам из нормально распределенных генеральных совокупностей, применяется критерий Стьюдента, или /-критерий.

Пусть заданы две случайные выборки: хь х,...,х,, и уо у,,...,у»ь Первая выборка взята из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами лз„и о,г, вторая — из генеральной совокупности с параметрами лг„и о,з. По выборкам получены оценки для этих параметров: .х, 52 и у, з,'. Требуется ПРОВЕрнтЬ НуЛЕВуЮ ГИПОтЕЗу: ЛЗ, = ГЛ» Прн УСЛОВИИ Оу»2 — пуз — О 2 Рассмотрим случайную величину г= х — у. По свойству линейности нормального распределения (см гл 1, 5) г распределена нормально с параметрами: лза — гггх глы, 2 2 е.

»Ы ! ! 2 2 о =-е-+е-= — + — =е — + — ) и л, л ) л, лв / Составим нормированную случайную величину которая имеет стандартное нормальное распределение. Если генеральный стандарта заменить выборочным, получится величина, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы у; равным /"=. л, -ь л,-2. Однородность выборочных дисперсий з и зу можно проверить 2 2 по критерию Фишера. При доверительной вероятности В -1-р имеем двустороннюю оценку для разности т„— лгу! 54 Г( — Г ! У /! р/2 5 + «ЛЗ вЂ” ГЛ «К — У+! $/ л, л, х ы )-р/2 1/' лз лз (11.90) гл — гл «х — у+ !г р з )г' ! /лз -Ь ! /ла В условиях нулевой гипотезы гл = лгр и неравенства (П 9 1) и (П92) дают критерий проверки этой гипотезы.

Нулевая гипотеза отвергается при двустороннем критерии, если при одностороннем критерии, если Приведенными критериями нельзя пользоваться, если генеральные дисперсии оз и а,'. не равны между собой. Для этого случая сузцествует несколько приближенных критериев для сравнения двух средних. При л, = лз — — л можно воспользоваться приближенным !-критерием (х — ууу у)г гз ~Г 2+ 2 с числом степеней свободы Если число степеней свободы 5,' равно уг =л,— 1, а 52 равно (2 = л2-1, можно использовать другой приближенный критерий.

Вычислим отношения р,= з„' г'лр рз= 52 г'л,, По табл. 3 приложе- ниЯ найдем квантили !, гз(/з) и !, „2(/2). Вычислим величинУ Нулевая гипотеза глх = лзг отвергается, если Сформулированный критерий является двусторонним, он превращает- ся в односторонний при замене р/2 на р. Пример !б. Исследовачся процесс радикальной полимеризации солей на основе 4-винилпиридина и двух различных гачаидиых алкилов иадистага бутила — С»Н»! и бромистого этила — Сзиавг. Сравнить реакционную способность гачондньзх ачкилов если средний (л-8) выход полимера при проведении синтеза с С»Н»! составил Ы)2% (х) а среднии выхол (л-В) с СзНеВг — 91,6!% (У) Ошибка аоспдоизводимостн процесса полнмеризации равна з — 16,6И.

Р . В качестве нулевой гипотезы рассматривается гипотеза равенства реакционных способностей галоидных алкилов, Число степеней свобод дис р воспроизводимости равно У-В+ — 2 — 14. Поскольку средние данные позволяют предположить, что реакцноин ая способность бромистого зтнла выше, можно применить для П и -14 и -0,05 оценки значимости различия односторонний критерий !П.95). При /-14 и р1г р 5)т 1/л, + !/иа — — 1,76 . 16,6 )' !78 + !/ = 14,!61 у — х - 23,69 > !4,15. Следовательно, при 5 / иом уровне значимости нулевая гипотеза акциониых способностей галоилных алкилов следует считать значимом Если ие лелать предположения, что реакционная способность р этила выше, длв проверки нулевой гипотезы иапо использовать двусторонний критерий (П94) ПРиу- !4 и р -005 акме-2,15.

Поэтому 5 Р !/л + !/лз = 2,!б . 16,6 )' 1/8 + 1/8 = 17,2; 5 Лх ства математического ожидания в гхй подгруппе т, и математического ожидания всей выборки т; Не Нулевая гипотеза отвергается, если не выполняются неравенства (П 55) для двустороннего критерия или неравенства (11 59) и (П60) для одностороннего. Обычно в качестве среднего х, рассматривают наибольшее (наименьшее) среднее среди средних подгрупп.

15. Сравнение нескольких средних. При сравнении нескольких средних можно использовать !-критерий, проводя сравнение попарно. Однако для использования при сравнении полной информации о всех средних такое сравнение проводят при помощи множественного рангового критерия Дункана. Пусть по й выборкам разного объема получено /г средних значений: у — х = 23,89 > !7,2, Таким образом, и при двустороннем критерии нулевая гипотеза отвергмтся. Нередко на практике выборка наблюдений составляется из нескольких подгрупп, полученных в том или ином порядке (наазличных частей генеральной совокупности) Для объединения таких подгрупп в одну выборку необходимо у ед в одн р о одности средних по подгруппам.

Для этого проверяют значимость различия между средними подгрупп и щ р всей выборки по критерию Стьюдента. Пусть имеется /г подгрупп значений случайной величины Х объемом тп та,...,тк. б,,...,т . По этим данным определены средние ПОДГРУПП Хн Ха,...,хд..., ,...,х среднее всей выборки х и среднее квадратичное отклонение всей выборки вг ег/ л ~,"' х/ — г=! — '=! х/ = — я =в т/ л где и = т, + тя+... + тк: л ~э~ (х! — 'х) г=-! 5 = и — 1 Обозначим у/ = (х/ — х)/5. (1!.!00) Можно доказать, что величина у! )' т/(л — 2) л — т/ — т/у В имеет распределение Стьюдента с /=и-2 те -2 степенями свободы.

Прн помощи этого критерия проверяется нулевая гипотеза //о равен- 56 хз, ха, , х/, ..., ха, л/ х/ г=! х/ =- и/ Генеральные дисперсии равны между собой, т. е. = я= 2 ''' а ' х' При применении критерия Дункана следует; 1) проранжнровать средних значений, расположив их в порядке возрастания; 2) определить ошибку воспроизводимости результатов 5, с соответствующим числом степеней свободы 7„/ 3) определить ошибку для каждого среднего: 5 =1/ 52/'л/, /= 1, 2, ..., й; х ° 4) выписать из таблицы Дункана (табл. 7 приложения) (/г-!/ значений рангов с выбранным уровнем значимости, числом по=/„и р = 2,3,...,/с/ 5) умножить эти значения рангов на 5„-, и таким образом определить (/г — !/ наименьших значимых рангов; 6) проверить значимость различия между средними, начиная с крайних в ранжировочном ряду; разность максимального и минимального значений среднего сравнить с наименьшим значимым рангом при р =/г.

затем найти разность максимального среднего и второго среднего в ранжировочном ряду и сравнить ее с наименьшим значимым рангом при р=/с — 1 и т.д. Это сравнение продолжить для второго по величине среднего, которое сравнивается с наименьшим, и т.д., пока не будут исследованы на значимость различия между всеми /г(/г-1)/2 парами. Првмер и. Исслеловался процесс раликапьиои полимеризации солеи на основе 4-вниилпиридииа и различных галоидньт алкилов СНз1, Свих!, СзНт1, Сене), СгНеВт, Сзу!твг, СенеС1, СзНтС1.

Средний выход полимера по восьми параллельным опытам Лля кюкдого гало идного алкила приведен ниже: 57 Ра пуп . Галоидные алкилы Средний выход,% 0 СНв! СвНв! СвНт! СвНН СвНвВг Свнтвг СвНвС1 СвН;С1 95,12 85,46 87,77 67,72 91,6! 76,04 13,28 Н,72 Ошибка воспроизводимости при измерении выхода полимера в - 16,83. Число степенен свободы ув-56.

В соответствии с правилом применения критерия Дункана расположим средние результаты в порядке возрастания. 11,72 13,Ж 67Л2 76,04 85,46 87,77 91,61 95,12 (7) (6) (3) (5) (1) (2) (4) (0) Ошибка среднего равна вк-1637М 8 -5 95. Выпишем из таблицы Дункана (табл 7 приложения) для ш-56 и уровня значимости 0,05 значимые ранги; 2 2,85 Р Ранги хывх (11.102) Наименьшие значимые ранги (НЗР), умноженные на ошибку среднего, равны 7 8 19,34 19,58 2 3 4 5 6 16,96 17,85 18,39 18,56 19,1 Р НЗР.

вх или х — хщ!и 95,12 в !1,72 = 83,4 д 19,58 в различие значимое 95.12 — 13,28 †.. 81,84 ) 19,34 — различие значимое 95,12 — 67,72 = 27,4 ~ 19,1 — различие значимое 95,12 — 76,04 = 19,08 ) 18,56 — различие значимое 95,12 — 85,46 =- 9,66 « 18,39 — различие незначнмое 95,12 — 87,77 « 17,85 — различие незначимое 95,12 — 91,6! « !6,96 — различие незначнмое 79,89 ) 19,34 — различие значимое 78,33 ~ 19,1 — различие значимое 23,89 ) 18,56 — различие значимое 13,57 « 18,39 — различие незначнмое 6,16 « 17, 85 — различие незначимое 3,84 « 16,96 — различие незначимое 76,05 ~ 19,1 — различие значимое 74,49 ) 18,56 — различие значимое 20,05 ) 18,39 — различие значимое 11,76 « 17,85 — различие иеэиачимое 2,31 « 16,96 — различие незначимое 73,74 ) 18,56 — различие значимое 72,18 ~ 18,39 — различие значимое 17,74 « 17,85 — различие незначимое 9,42 « 16,96 — различие незначимое 64,32 ) 18,39 — различие значимое 62,76 ) !7,85 — различие значимое 8,32 « 16,96 — различие неэначимое 56,00 ) 17,85 — различие значимое 54,44 ) 16,96 — различие значимое 1,56 « 16,96 — различие иезначимое (и.