Налимов В.В. - Теория эксперимента, страница 10

тт >и:» ирш>иым образом выход из системыв виде апостериорОий вароятносли. Б традиционной статистике доверительные границы зада>отея еп[е до проведения измерений, и остается непонятным, почему опи должны сохраттяться тл после ттыполпсння нзмероний -- в ряде случаев здесь возникатот весьма серьезпью трудности. Рассмотрим, например, задачу с выделением сигнала на фоне шума при анализе ещества [.6Б На порвый взгляд кажется естественным принять за пороговый сигнал [граница обнаружения) величину д ) Зп [критерттй Кайзера), гдг а — квадратичная ошибка, характаризующая флуктуацию фона. Ло>тучается простое правило принятия решоний: вещество в проба отаутствуег, если у' ( Зш Но мы здесь на используем всей ипформацмн, содержащейся в наблюдениях.

В частности, мы на придаем никакого значения тому, что для какой то пробы было пол учано значение у ( О, хотя заранее знаем, что содоржанио вещества в пробе не может быть меньше нуля. [Утрт>цатт>льньтт> значения могли бы служить още и основанном д>тя утверждания о том, что действительное содержание вещества в пробе ниже некоторой велилттттттз, значитольпо меньшей трохскгмовой границы обнаружения. Вся трудность здось связана с гем, что при значениях у;. Зп мы но можем построить функции распрадалепия, ио попав в область отрицательных значений сигнала, что, конечно, ужа тте имеет физичесттого смысла.

Все сущостванно упрощается при бейасовском ш>дходе. В правило принятия решений надо ввести априорное утверждение о невозмолтностп отрицательных зпа шито>» концентрации, а далее можно принять равновароятпь>мм ') все положительные значения сигнала [конечно, и ит которых границах). 'Гогда на выходе репштавтай системы и», естественным образом получим апостгриорпыа и< [и»ш пасти. В случае равновероятного априорного распрадслоиии зи тача в коночном счете сведетс>т просто к перапормироште— единнце прираапиваетая часть площади под том участком л) К ) [авочна, далека по всегда мы имеем доло и и»ли»и и»пи»рнымм возваааом, залисыппемым равнапоролтаыи р;и и[и >>>пи илом [аисиалш покоса).

В некоторых случаях, >т>тттрпл>~ р и и>л>пити >ослах задачах сваля, можно иаовальзааатьс и дани Ош < > и пи ти ил и>1> о аиалаза языка илв кода, лродшоствутощилш Лзаииии и рлвпт> рпдиалахатара и т. д. цз) ИРЙРОдА стАтистичзских выводов распределения, которому соотвотствутот положительные значен я ния сигнала. Используя апостериорнуто вероятность, мы принимаем реп>анна, основываясь на некоторой смеси из н и новых знаний и прошлого знания или пазнавия, т. е.

поступаем так, как человак в своей повсодневвой деятельности. Байесовский подход можно использовать и в более сло>гпых задачах — при наличии двух т лн наскольких конкурирующих гипотез. Пользуясь приведенной выше формулой Бейега, мы можем вычислить апостериорные вероятности для каждой из конкурирующих гипотез.

Далеа можно поступать так, как нам заблагорассудится. Можно принять ту из конкурирующих гипотез, у которой окажется болыпе апостерпорная вероятность или, если апастериорньп, вероятности мало различаются,— продолжить испытания до тех пор, пока разлттчие в апостериорных вороятнастях не превзойдет некоторый критический уровень. С позиций бейесовского подхоца легко дать четкое логическое обоснование всем последовательным процодурам статистического анализа. В последнее время пытаются также применить байесовский подход при принятии решений в коммерческой деятольности [27), но этот интересный вопрос уже не относится к теме налтей книги.

Возможно, что тамон подход удастся использовать и при формализации процесса принятия решений в деятельности исследователя-зкспериментатора. 11о последняя проблема аще находится в стадии изучения. Если исследователь почему-либо стоит на аптибейасовских позициях и иа хочет вводить априорной вероятносттт, то принятие решения можно производить в рамках традиционного статистичаското мыпшення, исттользуя принцип максимального правдоподобия. Чтобы разъяснить этот принцип, нам надо напомнить два хорошо из е шо известных статистических попятил, а именно, понятия ошибок первого и ошттбок второго') рода. Иак нетрудно впдетт» при пали- т) Паиомивм здесь, чта атвкбка первого рода заклтачаотса в иеаркнатва проверяемой гавотовы, когда ааа верна; вероятное>ь совершоввя такай ошибки обозпачаотсп через ол и иазыппотса ррооиом зпаиимооти.

Ошибтта н>араго рода — принятие проверяемой шшатеша, когда ааа и>перва; вероятность опвершевиа ошибки второго рода або>вача»тол порол б. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ [ГЛ. 11 44 ! 2! иги1'ОдА стАтистичаснях ВыВОдОВ чии двух конкурирующих гипотез 11„и Н< правило принятия репюипя сводится к рааделенпю пространства наблюдений У на два подпрострапства с и и 1,. Если в разуль тате измерения мьс получаем некоторое зпачояпс у, попадающее в надпространство 1„, то не отвергаем нуль-гипотезу 11<„если жо мы попадаем в надпространство )' „то прининшем альтернативную гипотезу 11,.

При этом, естественно, мы можем допустить одну из двух опсибок, а именно, отвергнуть нуль-гмпотазу П, когда оиа варна, т. е. аоварпсить ошибс,у первого рода, плп припать нуль-гипотезу, когда в действительности верна альтарнатишшя пспотеза 11„22 е. совершить ошибку второго рода.

Лспо, что последствия этих двух ошибок обьсчпо оказываются совершенна различными. Предположим, например, что па металлургическом заводе-изготовителе выполняется анализ стали па с<<дарг<<ание вр<днай примеси серы. Если лаборатория допусссст ошибку первого рода — забракуат годную сталь,— то это привсдат к некоторому экономически чатка оценвваамому убытку, Если будет сделана ошибка второго рода — пакопдиционнан сталь будет прслзнана годной — то могут произойти крупные аварии с человеческими жертвами.

При такой постановке задачи четко разграпичивается риск поставщиков продукции и риск аа потребителей. Вероятность отвергнуть пуль-гипотсзу 11н, когда на СаМОМ ДЕЛЕ ана ВСРССа, НаЗЫВаотСЯ УРаВИЕан ани ШМПЕСИН, КРиисерил. Вероятность отвергнуть нуль-типо<< зу К„когда аиа является ложной, называется масс!1<ос<с<пса А<расс<сер<<я. При неизвестных априорных вероятностях и заданном число измерений нельзя иостропть рсшаюпь<ч прас<ила, минимизирующее вароятностп обеих ошибок.

1!!<с<ходит<<я поступать иначе — поддерживать значопиа вероятности оспибкя первого рода меньшим нли равным пакаторай паиарад ааданной величина и обеспечивать мпипмум ошибки второго рода. Хорошо изв<ьстная в матамптп я<ской статистико теорема Ноймана — Пирсона утварлсдпат, что осли — дейссвительноа неотрицасельное чпс,.<а, тн крптм'сасная область 1, (б), состоящая из всех апанас<пи у, длн которых отношение максимального правд<на«добпя ') ') 11пнамппм здесь ппрсдсл<нпп фунппвп мрппн<шндан нн, с'.слсс мм пмеам да ло с вь<боркнй об немом н< пн гнпп ран<.а<<а<а г анажь пшагтп Рс(т)/Рн(у)~~5, определяет критерий вьсбора между 11п и П„ абладакиции максимальной мощностью по сравиеьнмо гн <<семи критериями с уровнем значимости ~рп!Ус (ьн)) Вся трудность здесь заключается в выборе числа $, которым задасто<с граница, ири переходе через которую принимаотся ран<ение.

Поясним алгоритмвчаский смысл отношения максимального правдоподобия па примере последовагпельссово анализа ~ 281, где число измерений на задастая заранее. Доиустим, что экспериментатор проводит последовательно ряд опытов, получая значения у„ую..., относящиеся к нормальной совокупности с неизвестным средним и известной ошибкой опыта и, Проверяемые гипотезы: Оп . р ( !<о и 111: !1 )~ )сс. Смысл последовательного анализа закспочаатся в том, чтобы, не устанавливая заранее иекоторого фиксированного числа опытов, продолжать испытания до тех пор, пока они на попадут в область У, или Угн После каждого испытания вслчислссется отношение максимального правдоподобия Р, (у, )1Р<, (ум), где для совокуипости с нормальным распределением можно напиаать м 1<„(гн,) = ( — = — -) схр ~ †.— — „е ~с (Ус !<<ь) ) с=с па Р( ) ( ) схр~ 2~(У р)~ Испытания продолжают до тех пор, пока отношение максимального правдоподобия 1-', (ун,)1Р„(ун,) мало отличается от единвцы; правило выбора оиредевяотсл саоткоппьнием гбп — Рс (у )11 и (У и) -- ньс сде ьо пекотарыьс образом выбранные постоянные числа.

Касс только окажется, что Рс (ую)1Рп (у ) )~ ьс или что Р< (у н)11'и (ун,) ~ арпа тасс процасс испыташсй заканчивается прянятвсм гипотезы 11, или, соответственно, Нп. с плотностью вералгпостей р (у), та фу<акцией правдоподобна пазываегся вьсражгпьсс Р(У;н)=У(пйу(1<с) "РЬ ) Длл пыбаулп, запанппмсй т-мпуным всвгаРом Улс 47 [гл. |! мг! д логячкскпь концвпции |в | | н:! [о|инин Св >! с! выбирают заранее, фиксирован с[ и р-- н! ре|гм|ости доиус|пть ошибки первого и втор! нльд 1281, в частное! и, показал, что ири последовательном анализе можно выбрать ~ ! и $„полол[ив б в .! — Д 3~ Итак, при испол з ' |к овании принципа максимального правдоподобия нужно выбрать чис! о ь Л ь ЯЛП вЂ” ИРИ' ПОСЛРДО5в и ьы что, кнк мы видим, нательном анализо †.