Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 6

е. к постоянству полной энергии жидкой частицы, справедливому для всех точек потока. Следовательно, в рассматриваемом частном случае вихревого движения полная энергия сохраняется неизменной для всех вихревых линий. Особенность этого вида движения состоит в том, что каждая частица вращается вокруг оси, вдоль которой она движется. Действительно, условие (1-25) означает, что направления векторов линейной и угловой скоростей совпадают, так как пропорциональность этих векторов указывает на то, что эти векторы ориентированы под одинаковыми углами к осям координат. В рассматриваемом движении линии тока и вихревые линии совпадают.

Заметим, что во всех изучаемых случаях при адиабатическом течении в точках, связанных между собой интегралом (1-26), энтропия остается постоянной. Интеграл (1-26) можно преобразовать для практически важного случая, когда из массовых сил действует только сила тяжести; при этом х=у=б; (ось г направлена вертикально вверх). Следовательно, аи Ыг — = д и (/= иг. После подстановки [этих величин уравнение (1-26) приобретает вид: —;+а~+" Р=с и 1.

(1-27) .,"Р Для несжимаемой жидкости (Р=сопз1) находим: — + г + — = сопз1. с', р 2я (1-28) Последнее уравнение получено Д. Бернулли. Величина г я этом уравнении характеризует потенциальнук1 энвргию положения, обусловленную движением в однородном поле земного тяготения жидкой частицы, и называется нивелирной высотой. Величина — представляет собой потенциаль- Р т с' ную энергию давления (пьезометрическая высота), а —— 2д кинетическую энергию; все члены уравнения (1-26) отнесены к секундному весу протекающей жидкости.

ГЛАВА ВТОРАЯ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Значительное число технических задач газовой динамики можно решать, предполагая движение одномерным, т. е. таким, в котором все параметры течения меняются только в одном направлении. Этим условиям отвечает течение газа вдоль слабо искривленных линий тока или в трубках тока. Одномерным можно считать течение газа в трубе с мало изменяющимся поперечным сечением и малой кривизной оси. В ряде случаев результаты исследования одномерного течения могут быть применены и к потокам с неравномерным распределением параметров по сечению.

2-!. ОСНОВНЪ|Е УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ. СКОРОСТЬ ЗВУКА Для получения основных уравнений одномерного движения рассмотрим течение газа в трубке тока. Направление оси выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-1). Воспользуемся первым уравнением системы (1-16). Пренебрегая для газа влиянием массовых сил, полагаем Х = У = Х = О.

Имея в виду, что для рассматриваемого одномерного течения и =с, и= !э=О и перейдя в уравнении (1-16) к полным производным, получим: оно преобразуется к виду: с+ с =сонэ|. 2 (2-4) Здесь энтальпия газа с и тсплоемкость газа при постоянном давл авлеиии с отнесены к единице массы и измеряются в механических единицах'. Уравнение изменения количества движения (уравнение импульсов) (2-1) справедливо только для таких' течений, в которых отсутствуют силы трения, т.

е. для обратимых течений. Легко показать, что в этом случае если скоте* ма адиабатична, изменение параметров состояния совершенного газа подчиняется изоэнтропическому закону: р =сонэ!. (2-2) а Следует заметить, что формулируя обста|човку процесса течения, считая, что поток непрерывен, энергетически изоован и т ение отсутствует, мы тем самым определили его изоэнтропичиость, так как в таком потоке о у у тс тств ют необратимые преобразования механической энергии в тепло н, следовательно, энтропия потока не меняется. Поэтому мы можем непосредственно проинтегрировать уравнение (2-1), предполагая очевидной связь (2-2).

Действительно, проинтегрировав уравнение (2-1) и имея в виду (2-2), получим: ~дс+ +сонь|к ~ р !1р ,) р — + ~- = сопз|. (2-3) 2 й — 1 р Это уравнение, известное под названием у р а в н е н и я Б ля сжимаемой жидкости, выражает Бернулли для закон сохранен пения энергии для аднабатического течения. После простой подстановки — — = — йьТ=с Т=1 й — 1 р й †! с — + — — =О, ис 1 ир с)х р и'х или сс(с+ — = О.

с)р (2-1) 39 ' В ческой термодинамике внутреннюю э ! р |е гию, энгальпию техни н~ ах. Н н этом и теплоемкосги п ння и принято выражать в тепловых един ! . р 1(ккал(кГ) = — с (к*,сек ) и г. д., = — ' ( а1 ') г. д., где А в тепловой эквивалент и механической работы. (2-5) или (2-5а) и = рс г' == сопз(, Рис 20 Трубка тока (2-7) =. О. пх 40 Уравнению энергии (2-4) можно дать простое газокинс- 2 тическое толкование.

Член — — в этом уравнении выражает 2 энергию направленного движения частиц, а энтальпия «, пропорциональная температуре, определяет энергию движения молекул. Следовательно, уравнение (2-4) выражает факт взаимного превращения энергии направленного движения частиц и тепловой энергии. Таким с.бразом, мы установили, что при изоэнтропическом течении газа интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии'. Следует отметить, что уравнения (2-3) и (2-4) можно непосредственно получить и из интеграла (1-2б), записанного для сжимаемой жидкости (газа), Пренебрегая влиянием массовых сил, т. е.

полагая (1=0, из (1-2б) легко получаем уравнение (2-3), принимая связь между р и р по формуле (2-2)', Уравнение неразрывности для одномерного установившегося потока можно получить, рассматривая движение газа в трубке тока переменного сечения (рис. 2-1). Предполагая, что по сечению струйки параметры течения не меняются,' рассмотрим часть потока, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2. По определению трубка тока представляет собой замкнутую поверхность, образованную ли- ' Уравнение энергии легко может быть получено нз первого начзла термодинамики, заппсанного для потопа жидкости. ° с', «(«2 =- «(«+ с« — + Н., 2и1 г' где «(«З — удельное нолнчество тепла, сообщаемое газу (илн отводимое от гааз] в элементарном процессе; с««'.т — удельная работа, совершаемая газом. для вне ргетичесни изолированного течения («(«4 =- «(1. = О) после шщегрирования получаем (2-4).

* Уравнение (2-4) справедливо и для адиабатических течений (прн наличии трения), сопровождающихся возрастанием энтропии. В этом случае баланс энергии частицы должен быть дополнен двумя членами: одним, учитывающим работу сил сопротивления, и другим, выражаю щнм приращение теплоты в газовом потоке Эти два члена одинановы по величине, но име«от различные знаки и поэтому взаимно уничто- жшотся Это означает, что в такой изолированной системе работа сил трения не меняет полной энергии часгицы; меняется только соотно- шение между энергией направленного движения и тепловой энергией. Течение газа является необрат««мь«2« часть механической энергия необратичо преврзщаетсн в тепло. пнями тока. Через се боковую поверхность частицы газа не проникают, так как векторы скорости касательны к этой поверхности, За 1 сея через сечение 1-1 внутрь рассматри.

ваемой части трубки втекает масса газа, равная р,с,г'2; вытекающая через сечение 2-2 масса газа равна р,с,)г,, По условию неразрывности течения эти количества должны быть одинаковыми, т. е. Р«с«Г« == Рзсзг"„ где и — секундная масса газа. Уравнение неразрывности можно получить в дифференциальной форме. После логарифмирования и дифференциро. ванна под знаком логарифма формула (2-5а) принимает внд. — -~ — — 0 (2-б) с Р' Заметим, что для струйки постоянного сечения уравнение неразрывности (2-5) дает; т рс = — =сонь!. Р Произведение рс = — определяет у д ел ь н ы й р а сход массы с ы г а з а в д а н н о м сечении (расход массы через единицу площади сечения).

Выражение (2-7) для удельного расхода можно было также получить непосредственно из дифференциального уравнения неразрывности (1-12) для пространственного потока, полагая и =-с и и =- и« = О. Тогда, полагая движение установившимся и перейдя к полным производным, получим; Отсюда, интегрируя, получаем (2-7). Очевидно, что по смыслу вывода уравнение неразрывности (1-12) ) при перее к одномерному потоку может дать только условие рс = сопзт. Для одномерного течения несжимаемой жидкости (р= вид: =сопз1) уравнение неразрывности (2-5) принимает та й кой (2-8) или с1' = сопз1.

Формула (2-8) выражает условие постоянства секундного объемного расхода жидкости, протекающей через сечения тру ки , и г",. Эта формула применима к газовым потостке кам только в тех случаях, когда на рассматриваем трубки 1-2 изменением плотности можно пренебречь. ом учаДля газов это условие выполняется, если скоро ть корость движения мала по сравнению со скоростью звука. Скоростью звука, как известно, называют скорость распространения малых возмущений в физической с е е. С р ука имеет особенно большое значение при анализе ость зв процессов течения сжимаемой жидкости.

Многие св й потока, в о. ногие сво'ства в том числе и характер изменения параметров течения вдоль трубки заданной формы, при различных условиях взаимодействия с окружающей средои существешю зависят от того, в каких пределах лежит отношение скорости к скорости звука. Влияние сжимаемости в газовом потоке становится ощутимым в том случае, когда в результате изменения давления объемная деформация частицы и изменение скорости течения соизмеримы. Воспользуемся уравнением неразрывности одномерного потока, записав его в таком виде: ~РДУ лр дк + — =О Р ИМ' где — — относительное изменение объема элемента 1 — 2 (рис. 2-1), переместившегося в новое положение 1' — 2'.

чим: Умножив это равенство на пр, после преобразований и" полу- г)Р= Р Ыр ййМ кр дк Из уравнения импульсов (2-1) следует: дп = — Р сп'с. Сопоставляя два последних выражения, получаем: с(дУ са дс ,уг ~~р) д (Индекс з свидетельствует об изоэнтропнчности процесса.) Обозначим („~) =а'; (2-9) тогда ~/ с' ~~с дк а~ с а=3I й Р =~/йЯТ.