Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 10

3-1). Р, Зчтвну - 1,. у Уравнение потенциала скоростей плоского потока несжимаемой жидкости (3-8) позволяет развить широко применяемый метод наложения потенциальных потоков. Из теории дифференциальных уравнений эллиптического типа известно, что если функции Ф„п Ф„, ... Фн„являются решениями такого уравнения, то и сумма Фн = Ф„, + +~11н +...

+Ф е является также решением этого уравнения. Отсюда следует, что, складывая потенциалы скорости Ф и функции тока Т простейших потоков, можно получить характеристики более сложного движения. При этом потенциалы скоростей и функции тока складываются алгебраически, а векторы скоростей — геометрически. Метод наложения потенциальных потоков при некоторых условиях может быта использован также для построения сложных течений сжимаемой жидкости. На рис. 3-2 приведен простейший случай сложения двух плоских поступательных потоков, понятный без пояснений.

Другой пример сложения потенциальных потоков показан на рис. 3-3. Сложение плоского источника (стока) и циркуляционного течения дает более сложное движение, называемое вихреисточником (вихрестоком), линии тока которого имеют форму спиралей. а 3-2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ. КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО М Остановимся на некоторых простых понятиях, имеющих существенное значение при рассмотрении конкретных теоретических и экспериментальных задач газовой динамики и используемых нами в дальнейшем. Поместим в газовой поток дозвуковой скорости некоторый криволинейный профиль и рассмотрим изменение параметров элементарной струйки, охватывающей такой профиль (рис. 3-4). Создаваемые профилем возмущения потока при дозвуковых скоростях будут распространяться во всех направлениях, в том числе и против течения.

Под влиянием этих возмущений элементарные струйки, движущиеся к профилю, будут деформироваться. У носика профиля центральная струйка расширяется; скорость течения при этом падает и в точке разветвления А обращается в нуль. В этой точке параметры будут равны параметрам полного торможения потока. На передней части профиля сечение струйки уменьшается, вследствие чего скорость увеличивается, а давление падает.

На верхней и нижней поверхностях профиля продолжается поджатие струйки с соответствующим нарастанием скорости. В некоторой точке сечение струйки минимально. В этом месте скорость будет максимальной. Далее, на задних поверхностях профиля струйка вновь расширяется, скорость ее падает, а давление растет. Таким образом, в результате деформации струек, характер которой определяется формой обтекаемого тела, вдоль поверхности профнля давление меняется. Распределение давлений обусловливает возникновение аэродинами- Р~,т Тоз Рис.

3-4 Распределение коэффициентов давления по профилю. ческих сил, действующих на профиль; подъемной силы, вызванной разностью давлений на Рерхней и нижней поверхностях профиля, и силы лобового сопротивления, вызванной разностью давлений на переднюю и заднюю части профиля и силами трения'. Распределение давлений вдоль обтекаемой поверхности характеризуется безразмерной величиной — к о э ф ф ициентом давления, который определяется как отношение разности давлений в данной точке на поверхности ' Если пренебречь влиянием вязкости н рассматривать дозвуко. вое и безотрмвное обтекание профиля, как это делается в настояшея главе, то сила лобового сопротивления будет отсутствовать 7В н статического в бесконечности к скоростному напору не- возмущенного потока: — Р Роь (3-13) Р= р с 2 С оростной напор можно выразить через безразмерную к - 1 скорость М или 2, воспользовавшись формулами (2-2 ) и (2-55).

Тогда ' '~(:= ')="-'(-'- ')(' ' '"-) (3-14) В некоторых случаях распределение давлений вдоль поверхности характеризуется безразмерным давлением Р, которос представляет собой отношение давления в данно иной точке к давлению торможения невозмущенного потока: Р Р= —, Очевидно, что связь между коэффициентом давления р и относительным давлением Р выражается формулой в — 2 + 2 ( 2 ) При малых скоростях набегающего потока более удобно для подсчета коэффициента давления пользоваться форму- лой (3-13).

На рис, 3-4 показано примерное распределение р вдоль поверхности профиля. До тех пор, пока скорость с значительно меньше скорости звука, характер дефор- мации струек, а вместе с тем и картина распределения коэффициентов давления по профилю при изменении ско- рости невозмущенного потока сохраняются практически неизменными.

Однако по мере увеличения М влияние сжимаемости сказывается все более онгутймо; распреде- ление р по профилю начинает меняться особенно сильно 79 там, где местные скорости в струйке (иа поверхности профиля) велики. В минимальном сечении струйки скорость наибольшая. Найдем зависимость между безразмерной скоростью М и скоростью в некоторой точке на профиле Мг С втой целью воспользуемся формулой (3-14), заменив в ней отношение давлений через соответствующие числа М: получим ь — ! '+2 2, — 1 13-1б) 2 При некотором значении М = М, в минимальном сечении трубки тока устанавливается критическая скорость М, = 1. Соответствующая величина коэффициента давления будет: Величина М.

называется критическим числом М набегающего потока; оно определяет то значение безразмерной скорости набегающего потока, ппи котором максимальная местная скорость на контуре тела становится равной местной скорости звука. Из определения критического числа М, следует, что эта величина разграничивает дозвуковые режимы обтекания тела на две группы. Первая группа докритических режимов (М ( М.) характеризуется тем, что во всех точках поля потока местные скорости дозвуковые 1М,.( 1).

Ко второй группе (М ) М,) относятся режимы обтекания с местными сверхзвуковыми скоростями. При исследовании плоских движений сжимаемой жидкости, относящихся как к первой, так н в особенности ко второй группе режимов, необходимо учитывать влияние сжимаемости. Эта задача решена в работах ряда советских ученых. Еще в 1902 г. С. А. Чаплыгин в своей работе,О газовых струях опубликовал метод учета сжимаемости для плоского потока.

Эта работа приобрела особенно большое значение в настоящее время н явилась отправной для большинства современных исследований го определению влияния сжимаемости прн обтекании тел потоком газа. Советские ученые С. А. Христианович, Л. И. Седов и др., плодотворно развивая идеи С. А. Чаплыгина, разработали надежные методы учета влияния сжнмаемости. Эти методы находят широкое распространение и при решении задач, связанных с течением газа в проточной части турбомашии. Наряду с относительно сложными методами учета влияния сжимаемости рядом авторов предложены приближенные методы, позволяющие ценой тех или иных допущений упростить задачу и путем сравнительно простых вычислений оценить влияние сжимаемости на обтекание тела.

К числу таких методов относятся методы Л. Прандтля, С. Г. Нужина, Г. Ф. Бураго, А. Н. Шерстюка и др. З-З. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ СЖИМАЕМОСТИ НО МЕТОДУ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ Рассматриваемый ниже простейший метод оценки влияния сжимаемости в плоском дозвуковом течении применим в тех случаях, когда возмущение потока можно считать слабым. Выберем систему координатных осей так, чтобы ось х была направлена по скорости невозмущенного потока, а ось у — нормально к скорости. Обозначив через с' и соответственно и' и Ф добавочные скорости, вызванные,тем или иным возмущением потока (так, например, влиянием обтекаемого тела), представим скорость в некоторой точке возмущенного течения в таком виде: с=с +с', или и=и +и'1 о=о'. При атом мы считаем, что о = О, так как поток иа бесконечности параллелен оси х 1с = и ).

Полагая далее, 81 6 и и. лезч 80 ди ди'. ди ди' аи ди дх дх ' ду ду ' дх ' ду 2 1 "Ф вЂ” 1 "," +Ь+Ь; а. -"-- = Ь вЂ” "- у х (3-18) у =йу. (3-21) (3-22) а Ф. аФ„ дх~ ду„ (3-8а) 82 83 что й и гг' являются малыми величинами порядка Ь, приходим к заключению, что производные имеют тот же порядок д. Оценив члены, входящие в урав- нение (3-6), найдем: где Х и Х вЂ” малые величины, имеющие порядок й нли Ь'. Оценка членов, входящих в уравнение (З-б), позволяет упростить это уравнение, если пренебречь членами, порядок малости которых выше д. После указанных упрощений получим: илн для потенциального течения (1 — М ) — + — =О. д'Ф д'Ф дхх ду' Таким образом, излагаемый метод, предложенный Л.

Прандтлем, основывается на предположении, что отклонение скорости возмущенного течения от скорости не- возмущенного потока с =и настолько мало, что степенями указанного отклонения выше первой можно пренебречь. Уравнение для потенциала скорости (3-19) в отличие от (3-7) является линейным дифференциальным уравнением, поэтому метод малых возмущений вызывается также методом линеаризации, Рассматриваемый метод может дать удовлетворительные результаты при расчете обтекания тонких слабо изогнутых профилей, расположенных под небольшими углами к направлению скорости невозмущенного течения, а также при исследовании потока в каналах с малой кривизной ограничивающих стенок.

Отметим, что вблизи точек разветвления потока (критические точки на поверхности обтекаемого тела) основное допущение метода не оправдывается, так как в этих областях поток тормозится и величина изменения скорости соизмерима со скоростью на бесконечйостн. Уравнение (3-19) прн дозвуковых скоростях можно привести к уравнению (3-8), определяющему потенциал скорости потока несжимаемой жидкости, Действительно, сравним рассматриваемый дозвуковой поток газа с потоком несжимаемой жидкости, полагая, что скорость и плотность обоих потоков на бесконечности будут одинаковыми.