Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 9

Расход газа через заданное сечение Р меняется весьма интенсивно при изменении 2, если статическое давление го зппп гоо Зпп бпо боа Опа Гао~~ б) Рнс. 2-6 Изоэнтропнбескнй процесс расшнреннв в тепловой днзграмме (а) н определение нрнтнче- сннх параметров длн реального газа (б). сохраняется постоянным, что характеризуется поведением функции о (рис. 2-4). В выведенные выше формулы входят постоянные, зависящие только от й.

Значения некоторых постоянных приведены в табл, 2-3. Таблица 2-З 2-6. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОДНОМЕРНОГО ПОТОКА РЕАЛЬНОГО ГАЗА Уравнение энергии (2=10) позволяет широко использовать диаграммы состояния для расчета газовых течений, что особенно важно при исследовании потоков реальных газов, изменение состояния которых не подчиняется уравнению (1-1), а теплоемкость является функцией давления и температуры. В практике расчетов тепловых двигателей (паровых и газовых турбин, компрессоров и др.) наибольшее распространение находят тепловые диаграммы, в которых по осям координат отложены либо температура н энтропия, либо энтальпия и энтропия (диаграммы Тз и 13).

Такие диаграммы строятся по экспериментальным данным и позволяют с достаточной точностью рассчитывать различные процессы изменения состояния газов, в том числе в области влажного пара и вблизи линии насыщения. Диаграммы состояния Тз и гз могут быть широко использованы н пои исследовании газовых течений. Действительно, выразим. из уравнения энергии (2-10) скорость течения: С =2(1, — 1).

После подстановки 1 (ниал,77гг) получим:, дм д: ду дг дв дм д дх (3-1) дв ди дх ду дф и= дх дф и=— ду (3-2) дф Ж= — . Ф дг Действительно, к тождествам. Подставляя значения постоянных д и А, находим: с = 91,53 у/(ю — 1). (2-1 06) Формула (2-10б) показывает, что для определения скорости течения необходимо знать разность энтальпий 1, — 1, которая легко определяется по диаграмме Ы, если известны параметры полного торможения газа (р„ Т,) и статические параметры течения (р, Т). На рис, 2-5,а представлена часть диаграммы и для водяного пара. Если нам известны два любых параметра полного торможения (р, и Т,), то на диаграмме (з легко находится точка О, определяющая состояние заторможенного патока.

Эта точка может быть'найдена и по другим параметрам состояния (например, 1, и зз). Проведя вертикальную линию до точки пересечения с изобарой статического давления р, изотермой Т или изохорой и, определим состояние движущегося газа (точка 1) и прежде всего его энтальпию ~'; тогда скорость течения легко может быть определена по уравнению (2-10б). Входящую в это уравнение разность эитальпий Н, = =(з — 1 называют изоэнтропическим перепадом энтальпий. Тепловые диаграммы могут быть использованы и для расчетов необратимых течений (см, ниже). В этом случае, однако, для определения скорости течения трех параметров состояния недостаточно.

Рассматривая изоэнтропическое движение вдоль трубки тока переменного сечения в диаграмме ( — з, нетрудно найти удельный расход газа в различных сечениях — и по- строить эту величину, а также и другие параметры в зависимости от скорости с (рис. 2-5,б). Максимум удельного расхода соответствует критическому сечению трубки, определяемому по уравнению расхода; Параметры в критическом сечении находятся из условия г =а,. С этой целью можно построить кривые изме- пений скорости звука а(1) и скорости потока с(1) в зависимости от энтальпии; точка пересечения указанных кривых дает значения а и 1 в критическомсечении. Перенеся эту точку в диаграмму 1 — з, можно найти и другие параметры в этом сечении (рис. 2-5,6).

ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ 3-Ь ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Условие безвихревого движения можно получить из уравнении (1-6). Для пространственного безвихревого потока (м = а =е =О) из (1-6) следует: Имея в виду механический смысл частных производных в уравнениях (1-6), можем заключить, что формулы (3-1) действительно выражают условие отсутствия вращательного движения жидкой частицы. С другой стороны, равенства (3-1) математически выражают тот факт, что существует некоторая функция координат Ф (х, у, г), частные производные от которой по координатам равны проекциям скорости на соответствующие оси координат, т. е.

подстановка (3-2) в (3-1) приводит ди ! ди ! ду и — +и — = — —— дх ' ду р дх да да ! ду и — +о — = — —— да + ду р ду (3-3) Градиенты давления — и — можно выразить следа ар ау дующим образом: (3-4) — =( — ) — =а — . ду гар др, ар ду ( др ду ду ' Из третьего уравнения (3-3) после дифференцирования получаем: р+, + ( + )=о, д др /ди да~ дх ду (,дх ду ) Функция Ф(х, у, з) называется потенциалом скорости. Понятие потенциала скорости в аэрогидромеханике тождественно понятию потенциала сил в механике твердого тела.

Из механики известно, что производная потенциала снл по какому-либо направлению дает проекцию потенциальной силы, действующей в этом направлении. По аналогии интенсивность изменения потенциала скорости в направлении координатных осей определяет проекции скорости на соответствующие 'оси (формулы (3-2)).

Изложенное выше показывает, что потенциальное движение газа в изолированной системе является изоэнтропическим, т. е. если поток безвихревой и адиабатический, то изменение энтропии по любому направлению в потоке равно нулю и течение газа описывается некоторой функцией координат Ф (х, у, з). Ограничиваясь в этой главе рассмотрением только плоских потенциальных течений газа, мы можем получить уравнение потенциала скоростей с помощью уравнений Эйлера. Для плоского установившегося потока в предголожении Х = У =О уравнения (1-12) и (1-16) дают: После подстановки (3-4) в (3-3) будем иметы др р 7 да да ~ ду а'~ дх+ ду)' Подставляя производные плотности в (3-5), получаем: Имея в виду (3-2), перепишем (3-6) в виде: ( а',~ дх' ( а' ) ду- 'и' дхду и' д'ф I а' х д'ф 2ии д'ф Уравнение (3-7) является нелинейным д и ф ф е р е нциальным уравнением потенциала скоростей в частных производных второго порядка.

Введение потенциала скорости позволило систему трех уравнений (3-3) свести к одному (3-7), уменьшить число неизвестных с шести до пяти и оставить в уравнении только кинематические параметры. Если в исследуемом поле потока известен потенциал скорости Ф (х, у), то при заданных граничных условиях могут быть определены все параметры течения. Потенциал скорости позволяет определить скорости потока (и, и) по формулам (3-2). С помощью уравнения энергии совместно с уравнением изоэнтропического процесса легко определяются давление р, плотность р и температура газа Т. Таким образом, при исследовании потенциальных движений газа основная задача сводится к определению потенциала скоростей Ф (х, у) для данного вида движения, т. е.

к нахождению решения уравнения (3-7). Если потенциальная функция Ф(х, у) определена, то кинематнческая часть задачи решена. Далее без особых затруднений решается и динамическая часть задачи. Однако уравнение (3-7) в общем виде не интегрируется. Заметим, что потенциальная функция должна удовлетворять определенным начальным и граничным условиям данной конкретной задачи. В качестве кинематических начальных условий должно быть задано распределение параметров течения в определенной †начальной †обл по- 71 днгк ду (3-11) дягн и — н дх и=и„; иЛ сои (х, п) = ис(у вЛ соз (у, и) = ог(х.

Но игту — пг(х = УУ; тогда г 74 В простейшем случае движения несжимаемой жидкости в уравнениях (3-9) величину относительной плотности — — 1+ — М ) — 1+ — И + — М +... (3-10) можно положить равной единице. Прн этом уравнения (3-9) принимают вид.' Нетрудно заметить, что в случае безвихревого потока [условия (3-1)) функция гГн удовлетворяет уравнению н д н д . = дуз . Если во всей области течения газа скорости изменяются незначительно н можно принять †' = сопз1, то переРо Р ход к уравнениям (3-11) достигается подстановкой 'е'н = — При такой подстановке скорость газа просто О равна скорости несжимаемости жидкости: Таким образом, указанные простейшие случаи перехода от дозвуковых течений газа к течениям несжимаемой жидкости являются по существу просто пренебрежением влиянием сжимаемости.

Возможности такого пренебрежения, обусловленные зависимостью плотности от числа М, являются весьма ограниченными. В самом деле, если потребовать, чтобы величина Р' отличалась от единицыне более Р чем на 2а1а, то в соответствии с (3-10) число М должно быть не больше 0,20. Физическое значение функции тока 'Г выясняется при определении расхода газа через элементарный незамкнутый контур в плоском потоке. Можно показать, что функция тока численно равна объемному расходу газа через такой элементарный контур. Отсюда следует, что функция тока сохраняет пос постоянное значение вдоль линий тока плоского течения. Действительно, проведем в плоскости потоканекоторый контур П., (рис.

3-1) н подсчитаем секундный объемный з" ов Рис. Згь К выводу условии Оезвихрсваго лвижееии. расход 1г через этот контур, В соответствии с обозначе- ниями на рис. 3-! получим': ы ы !., (г=(с Л= ((исоа(х,п)+исоа(у,п))Ю= ((иг)у — иг(х), 1 а так как Ъг = 1сР1г= 1 ~ г(у+ — г(х =ъу — %Г Л к днг днг др дх / ' Размер контура в направлении, норнальнон к плоскости чертежа, принпт равнгзн единнпе.

75 Область потока, ограниченная линиями тока Ч' =-.сопя( и й'т =сопз1, является трубкой тока. Следовательно, раз- '3 ность значений функции тока Ч' — %т равна объемному расходу жидкости через сечение трубки тока„ограниченной линиями тока, прохоРулулыпируюншл" дящими через точки Е и Е,. Из уравнений (3-11) следует, что для несжимаемой сз м жидкости дФ„дФ„ дл ду (3-12) дФ„дЧ'„ ду дх 2-д портон Рис. 3 2.

Сложение плоских по- ступательных потоков. Придавая функции Ф различные постоянные значения, мы получим семейство изопотенциальных линий. Пользуясь условиями (3-12), можно показать, что линии тока (линии 'К,=сопз1) и изопотснциальныс линии (линии Ф =сопз1) н взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом (рис.