Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 4

1-9). В реальной вязкой жидкости наличие такого разрыва приводит к тому, что при сходе с задней кромки поток завихривается (рис. 1-9, б). Таким образом, возникновение вихрей, а следовательно, и циркуляции вокруг профиля объясняется влиянием вязко- л »ткс а 1' с г я г 2иг Легко видеть, что в соответствии с теоремой Томсона в идеальной жидкости вращательное вихревое движение частиц возникнуть или исчезнуть не может. Это и физи- Рис.

1-З Поле скоростей в ятре вихря и во внешнем потоке чески понятно, так как в такой жидкости отсутствует механизм передачи вращательного движения и торможения. Наблюдая течения реальной вязкой жидкости, можно указать большое число примеров возникновения и затухания вихрей. При этом условие постоянства циркуляции, которое является важнейшим свойством движения идеальной жидкости, не сохраняется. Различия в свойствах идеальной и реальной жидкостей можно проследить при рассмотрении спектра несимметричного обтекания тела.

Если задняя кромка тела выполнена острой (тело крылового профиля), то безотрывное обтека- 22 Рис. 1-9 Обрааовавие вихрей прв сходе потока с крыловотп профиля. в сти. В начальный момент времени поток у крыла бесциркуляционный. В точке схода в силу свойства вязкости зарождается начальный вихрь (рис. 1-9, б), который создает циркуляцию. Опыт показывает, что при не очень большой несимметрии этот вихрь возникает у задней кромки. Соответствующее условие в потоке идеальной жидкости, согласно которому точка схода должна находиться на задней кромке, носит название постулата Жуковского — Чаплыгина: при безотрывном несимметричном обтекании идеальной жидкостью профиля вокруг него образуется такая циркуляция Г, которая обеспечивает сход потока с задней кромки.

Это условие, сформулированное Н. Е. Жуковским и С, А. Чаплыгиным, позволяет вычислять циркуляцию Г и вместе с тем подъемную силу крыла. 1-3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ Выделим в движущемся газе элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 1-10) и запишем условие неизменяемости массы во времени для этого элемента. Это условие будет выражать закон сохранения массы; оно может быть представлено в таком виде: (1-10) — 0 Л где Ак' — объем элемента; р — средняя плотность элемента. Лифференцируем, имея в виду, что р и Ьу' — переменные величины: Раздели1м это уравнение на рЬ1а. Получим уравнени е неразрывности в виде: (1-10а) дк) дуда вада. ик дг Рве.

1-1О. К выводу урзввевий Эйлера. Здесь производная — выражает скорость дйц ИЗЛ1ЕНЕНИЯ да объема или, следовательно, скорость объемной деформ~ ! Ий1а ции жидкой частицы. Член — — представляет собой И' <И скорость относительной объемной деформации. В частном случае несжимаемой жидкости, когда р= =сопз1, последнее уравнение принимает весьма простую форму: жидкости деформируется в процессе движения так, что объем ее сохраняется неизменным.

Определим величину скорости относительной объемной деформации частицы, выразив ее через соответствующие проекции скорости и, о и ца. Подсчитаем линейную деформацию частицы в направлении оси х (рис, 1-10). Эта деформация будет происходить в связи с тем, что скорости граней АВС0 и А'В'С'0' неодинаковы. Если скорость левой грани равна и, то скоди рость правой будет и + †„а(х. Предположим, что в пределах каждой из рассматриваемых граней параллелепипеда скорости постоянны. За элемент времени о(1 левая грань АВС0 переместится на расстояние цЖ вправо. За тот же отрезок времени грань А'В'С'0' переместится в том же направлении на расстояние (и+ + — 1(х) в(1.

Следовательно, объем элемента изменится, ди дк так как скорости этих двух граней различны. Подсчитав абсолютное изменение объема частицы по направлению оси х, получим: ( Й и+',— '.(л) (у ( ~1 — и(у (г ((=~~л (у (г~(. Рассуждая аналогично, для других двух пар граней можно получить приращения объема частицы по осям у и г в следующем виде: ду — ваха(урги(; д — а(хг(уаа ге(1. Полное изменение объема частицы определяется как сумма этих приращений, Следовательно, скорость относительной объемной деформации определяется весьма просто".

(1-11) 24 25 выражающую условие постоянства объема элемента: скорость объемной деФормации элемента равна нулю. Отсюда следует, что частица несжимаемой 1 дЫ ди дв даа —: — = — + — +— йп ду дк ду дг ' так как объем элемента й1а= а(хутуа(г. др др др др др — =и — +о — +ту — + — . й дх ду дг дт ' Подстави⠄— в уравнение (1-106) и преобразовав, будем ир иметь: — + — + — + — =О. др д(ри) д(ро) д(рм) д( дх ду дг (1-12) Если движение является установившимся, то — =О.

др д( Для несжимаемой жидкости (р= сопя!) легко получить из уравнения (1-12): (1-1З) 26 Подставив (1-1!) в уравнение неразрывности (1-10а), получим: Заметим здесь, что входящие в уравнение (1-11) пряди до дм мые частные производные †, †, — имеют конкретный дх ' ду' дг механический смысл. Из предыдущих рассуждений очевидно, что зти производные определяют величины скоростей относительных линейных деформаций граней параллелепипеда. Рассмотрим, например, линейную деформацию грани 0СС'тУ в направлении оси х.

Так как скорость ребра С0 равна и, а ребра С 0' и + — с(х, то удлинение ди грани по х будет: ( ди 1 ди и+ — т(х) й — ий= — т(хй. дх ) дх ди Относительное удлинение составляет — й, а скорость дх ди относительного удлинения — . дх' Преобразуем теперь уравнение (1-10б). Так как р = = р(х,у,г,(), то полная производная плотности равна: др др дх др ду др дг др — = — — + — — + — — + —. Й дхй дуй дгй д(' Имея в виду, что — =и; — =о; — =.и, получим: с(х ду дг й'й'й Уравнение (1-12) является уравнением неразрывности газового потока в дифференциальной форме. Это уравнение было впервые получено Эйлером в 1б59 г. Мы видим, что оно связывает изменения плотности с изменениями составляющих скорости и, в и тв. Имея в виду ди до дм механический смысл частных производных —, — и дх ' ду дг' выражаюп(их скорости относительной линейной деформации жидкой частицы в направ- Я ленин осей х, у и г, можно,' у"т г на основании уравнения неразрывности заключить, что деформация такой частицы подчиняется определенной законо- у мерности и не может быть произвольной.

Для несжимаемой жидкости уравнение (1-13) показывает, что частица не- 4 сжимаемой жидкости в про- Рнс. !-1!. Положение тачки в цессе движения деформирует- нрнноугольной н ннлннлрнческоя ся с сохранением объема. системах коорлннат. Для сжимаемой жидкости деформация частицы происходит с изменением объема. В атом случае уравнение неразрывности связывает изменения объема и плотности частицы.

Уравнение (1-12) записано в прямоугольной системе координат. Во многих случаях, в особенности при изучении процессов, протекающих в турбомашинах, удобно пользоваться цилиндрической системой координат. Положение некоторой точки А в цилиндрических координатах определяется радиусом-вектором г, полярным углом 0 и аппликатой г (рис. 1-11). Давая указанным координатам бесконечно малые приращения с(г, с(() и с(г, выделим в массе жидкости частицу АВСОА'В)С'0' (рис. 1-12). Движение точки в рассматриваемых координатах задано, если известны составляющие скорости: й с = — †радиальн составляющая; й де с =г — — тангенциальная составляющая (нормальная к раа Л диусу-вектору); 27 гв = — — осевая составляющая скорости.

д( Составим уравнение неразрывности в цилиндрических координатах. Подсчитаем скорость относительной об ьемной деформации. движущейся жидкой частицы, показанной на рис. 1-12. Изменение объема этой частицы за элемент времени с(( в направлении радиуса-вектора можно выра"ить так: ~( с + — Й') (с+ г(г) в(6 — с гс(6~ г(зг(! или, оставляя члены одного порядка, (-,' 4 дс,~ — '+д — ') гФг(зс(6г(!. Суммарное изменение объема за рассматриваемый отрезок времени составляет: с(Иг =-- ( — '+ — '+ — — '+ — ) гс( лс( с(6Л. Тогда скорость отпосвпельной объемной деформации будет: дд! с, дс, ! дев дм -- — =- — + — + — — +— д(г Ш г дг г дз дг ' Подставив это выраженяе в уравнение неразрывности (1-10а) и выразив полную пропзводиуво плопюсти в цилиндрических координатах, после преобразований окончательно получим: — + — + — — '+ — ==О. (1-14) др д (рм) ! д (ргс,) ! д (ров) д! дн г дг г дз Рис.

(-!2. К выводу уравнений Эйлера в цилиндрической снетеие координат. Изменение объема в направлении, нормальном к радиусу-вектору, будет: ( св + дв с(6) — се с(лс(гс(( = — - — 6 Й Ыгг(бсН. [;. )- дев ~ ) ! дев По оси з объем меняется на величину , ев+ -- с(г ! — гв Ы) г(гс!( = — гг(дс(гй(й. '=-- )- ' 28 1-4. УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Ниже рассматривается движение газа без внутреннего теплосбмена при отсутствии теплопроводности и трения.

Такое движение является, конечно, идеализированной моделью действительного движения, в котором проявляются силы трения„ возникают градиенты температуры и совершается внутренний теплообмен между соседними частицами. Принимаемая упрощенная схема потока сжимаемой жидкости, однако, играет весьма важную роль в газовой динамике, так как она служит известным эталоном при анализе действителыьых процессов течения.

Многие практически важные реальные случаи течения газа весьма близки по своим свойствам к рассматриваемому идеализированному течению, закономерности которого в этих случаях могут быть использованы для расчетов. Получаемые при указанных упрощениях зависимости широко используются для анализа физических свойств потока, энергетически изолированного от окружающей среды. Установим основные закономерности, которым подчиняется такая схематизированная модель течения. Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепипед.