Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 8

Уравнения (2-28) и (2-29) являются дифференциальными уравнениями распределения скоростей вдоль оси трубки тока. Они могут быть проинтегрированы, если известен вяд функции г" (х). Вместе с тем эти уравнения весьма удобны для качественного анализа изменения скорости потока в трубках тока различной формы. Из уравнения (2-29) следует, что — =0 при аух Случай,а" отвечает неподвижному газу и поэтому интереса не представляет. Случай „б соответствует максимальной скорости течения и вполне очевиден: при Л= дальнейшее возрастание скорости невозможно. макс ауЛ Наконец, случай „в" приводит к — =0 только при 2+1.

Легко видеть, что при этом в рассматриваемой точке х=х, функция Р(х) имеет максимум, минимум или точку перегиба. Следовательно, в таких сечениях трубки тока скорости также имеют экстремальные значения. По уравнению (2-29) можно заключить, что производ- ИЛ сЮ ная скорости — =со при 2=1 и — „-60.

Однако такое с!х ох решение, означающее наличие разрыва скорости, физически невозможно (мы рассматриваем непрерывно изменяющееся движение газа). Рассмотрим качественную картину течения газа в трубке тока, имеющей в х=х, максимум или минимум сечения (Рис. 2-2). Пусть функция Р(х) имеет в этой точке ма- Рис. 2-2. Иамеиекие скорости вдаль трубки тока, а а) (2-35) 59 Полученные выше основные закономерности, определяющие изменения параметров течения в трубке тока, физически могут быть понятны из рассмотрения уравнения постоянства расхода в трубке тока [формула (2-7)].

С помощью уравнения ! (табл. 2-1) определим удельный расход газа: т= — =рс=р,а Х ~1 — — Х') . (2-34) Секундный массовый расход т для каждого сечения трубки тока будет одним и тем же. Интенсивность изменения плотности р и скорости с будет различной в дозвуковой и сверхзвуковой областях. В дозвуковой области с ростом с плотность р падает медленее, чем растет скорость, поэтому трубка тока должна суживаться, сечение Р— уменьшаться. При сверхзвуковых скоростях, наоборот, падение плотности будет более интенсивным, чем возрастание скорости, и трубка тока будет расширяться. Как видно из формулы (2-34), функция тЯ)=О при Х=О на= агу — и, следовательно, при некотором Х ч /к'-)-! имеет экстремальное значение.

Для определения этого знаиеиия 2 продифференцируем (2-34): г а-! пт Й(рс) (1 и 1 аак) (1 аа) — ". — — "' — ° ~-+ Отсюда следует, что максимальное значение удельного расхода соответствует 2=1, т. е. критическому значению и'т скорости, так как — обращается в нуль при а=1.

Следовательно, г 2 т„„,=р,а„~ + ) =р„а„. Приведенным расходом назовем отношение 1 1 т Рс (а+1) ч ~1 и — ! аа) (2 3б) макс На рис. 2-3 представлены зависимости параметров течения —; —; — и приведенного расхода с7 от безраз- Р Р, Т Ра Ра мерной скорости (для различных Й). Здесь приведена соответствующая схема изменений сечений трубки тона, вдоль оси которой скорость непрерывно возрастает. Нетрудно видеть, что при максимальной СКОРОСТИ Х =Х„,т = 1, †, ПРИВЕДЕННЫЙ РаСХОД с7 = .

/'а+ ! Р, = †„* = О, т. е. Р = со. Физически это понятно, так как при 2= Х„,т р= 0 (истечение в абсолютную пустоту) и р=О. Рнс 2-3 Гааодинамические функции одномерного и оантропического потока 4, р)ра, Т!Та, р,'р, 1 (к = 1,1,' 1,3. 1,4). Таким образом, мы установили, что в трубке тока, имеющей минимальное сечение, может происходить переход через критическую скорость. Необходимыми и достаточными условиями для такого перехода являются условия 1=1 и Ю,!р(х ~ О в минимальном сечении.

Приведенный расход газа прн этом приобретает максимальное значение. Если скорость в минимальном сечении достигает кри! р!х тического значения, а второе условие ( — ~О) не выпол(,ррх няется, то перехода через, критическую скорость не произойдет. Этот случай соответствует появлению критических скоростей в трубке тока и является важным как в теории сопла Лаваля, так и в задачах внешнего обтекания тел. 2-З.

НЕКОТОРЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОМрЕРНОГО АДИАБАТИЧЕСКОГО ПОТОКА Выше Я 2-3 и 2-4) мы познакомились с некоторыми важными безразмерными характеристиками одномерного потока газа, которые выражаются в виде простых функций безразмерных скоростей М, 1 илн Е Эти газодинамические функции играют важную роль при выполнении различных газодинамических расчетов, а также при обработке результатов эксперимента. Кроме уже известных, нетрудно получить и другие газодинамические функции, встречающиеся в преобразованиях уравнений сохранения расхода, количества движения и энергии. С помощью приведенного расхода р7 легко определяется полный весовой расход газа через заданное сечение." 6 = КРрс = йРр7а,р„, (2-37) или после подстановки ! ! и преобразований находим: а=КР (2-38) ут, где Расход можно выразить и через статическое давление потока в данном сечении.

С этой целью разделим и умножим правую часть формулы (2-38) на Тл (2-39) где ! — ! а= Р'" =( ~+ Х (1 — — ХР) (2-4О) — новая функция безразмерной скорости Х, зависящая также только от й и Х. Уравнения расхода в форме (2-38) и (2-39) могут быть использованы для расчета адиабатического потока в изолированной системе (без энергетического обмена с внешней средой) при наличии трения. Действительно, условие постоянства расхода (2-38) для двух произвольно выбранных сечений канала можно записать в такой форме: Рр ряд Т Рррчр рТг р у Так как для изолированной системы Т„= Т„= Т„то (2-41) Рер Рр Чр для каналов постоянного сечения Ррр Рр1 Чр (2-41а) откуда Р, Р, р, Р! РрР (2-42) или для цилиндрического канала Формулы (2-41) и (2-41а) позволяют найти изменение давления торможения, обусловленное необратимыми изменениями состояния движущегося газа и, в частности, потерями, вызванными внутренними силами трения, Аналогично с помощью (2-39) можно получить (Т„= =Т„=Т,); Р,Р,а! = РрР,Р„ Рр Р, р! (2-42 а) б! (2-43) Учитывая, что 'Р= —, 0 Крс перепишем (2-43а) в виде; '= — ',(+ ) (2-43а) Из (2-17) и (2-22) имеем: / й — ~ а~ й+~ зу й — 1 — =Ят=Я7 ~1 — — -2~~= —.,(1 — =2) а~ й(1 ) — 2й,~ й4 1 ) и с=Хан; тогда уравнение (2-43) можно записать в виде: з = — с+ рР = — „— авф, (2-44) Л 2й я а где ф=й+ — „ (2-45) — некоторая новая функция безразмерной скорости 2.

Уравнение для импульса газового потока (2-44) было впервые получено Б. М. Киселевым. Оно широко используется в различных задачах и, в частности, для расчета энергетически неизолированных потоков (расчет течений с подводом или отводом тепла при наличии сил трения, расчет внезапного расширения канала, процесса смешения и др.). Исходное уравнение импульса (2-43а) у= и а.(2-~ — ") нетрудно преобразовать к другому виду„используя новую важную функцию безразмерного статического давления р р р 1 (2-4б) ров рс' роз А 62 Соотношения (2-42) можно использовать для определения статического давления в одном из сечений потока, если известны скорости в двух сечениях (Я, и 2,) и статическое давление в одном из них.

Введем еще одну функцию, которая характеризует импульс потока, равный у= — с+рР. я Заменив здесь р =АКТ и а'. по формуле (2-17) полу- Р чим'. й+1 1 /1 й ~ йа) (2-4ба) 2й Л ~ й+1 Следовательно, импульс потока выражается через функцию и по формуле У= П а (2+и), (2-47) Я а связь между ф и и устанавливается соотношением 2. (2-48) Воспользуемся теперь формулами (2-38) и (2-39) и заменим величину расхода ьг в уравнениях (2-44) и (2-47).

После несложных преобразований находим: (2-49) У=йаУРагУР+п)=Р РР,гуф и л = йе,гро (л+ и) = р аграф. (2-50) 2 ьа-1 Здесь а,=( — ~ — критическое отношение давле* (а+ 1~ ний; — —,критическое отношение плот° 'ьй+ 1/ ностей. С помощью формул (2-40) и (2-50) легко устанавливается связь между газодинамическими функциями д, о, ф и м. В некоторых расчетах удобно ввести также функции 1 т=р дф=й.д(2-)-.)=(2'-)-1)'1 — „'— ,'2)" ' (2-51) г Функция я впервые была предложена А Ф Гандельсманом н использована в работах А.

А. Гухмана "н А. Ф. Гандельсмана по нссладованню сопротнвленнв труб прн аднабатнчвском течении газа 63 ! и А — *='( 1) (2-54) (2-55) г, 64 бб !Л = р оф =,Ь,о(Л+ к) = + . (2-52) Л'-(- 1 ! — + л А+1 Тогда У=ТРР, = йРР. (2-53) Функция безразмерного статического давления и встречается также при использовании уравнения энергии. Выразим из (2-14) скорость звука: ь+! з е — ! а'= —,а, — — с*. 2 ' 2 Разделив это уравнение на а, получим: ( и !З 1+1~ А — 1„а) Если воспользоваться уравнением энергии в форме (2-11), рс' то нетрудно найти отношение скоростного напора 2 к статическому давлению р: Рв и )=!'*= ь / — — 1~.

2Р л' — 1!ЛР рр После подстановки значений Р' и — получим: Р Ра Скоростной напор, отнесенный к давлению торможения, можно найти по формуле ! уа — '* — '* ' —,' Р = ' ( — "=' " '.(2-55) 2р 2р ра 2" ро и+! ! Л+! ) Таким образом, ряд характеристик одномерного газового потока выражается в виде функций безразмерной скорости 4 и показателя изоэнтропического процесса й. Наиболее важные из функций сведены в таблицы гааодинамических функций, построенные для различных постоянных значений й (приложение 1). Пользование такими таблицами существенно упрощает газодииамические расчеты, что и определило широкое распространение таблиц.

Вместе с тем анализ изменения некоторых газодинамических функций позволяет сделать важные выводы о свойствах газового потока, Так, например, на рис. 2-4, дополняющим рис. 2-3, приведены функции к, о, а, Т и 1(й= =1,4). Функция /а показана на рис. 2-4. Функция к монотонно убывает с ростом скорости Л и при Л = 1 принимает критическое значение, равное (формула (2-4ба)]: Вспоминая, выражение для критического отношения дав лений, легко находим: Обращаясь к рис, 2-4, можно отметить, что функция Т слабо меняется в широком диапазоне скоростей О < Л-'1,5. Имея в виду смысл этой функции(форззула(2-51)1, нетрудно прийти к выводу, что при постоянном давлении торможе ния импульс потока слабо зависит от безразмерной скорости при Л ~ 1 5 При постоянном статическом давлении д и пг о4 пп пп бп бг Л4 !а лп гп' гг г4 Рис.

2.4. Газодинамияеские функции к, к, а, Ь, й т одномерного по- тока газа для и = 1,4. 1,67 1.6 16 14 135 13 1,2 1,1 1,25 0,7268 0,7164 0,7011 0,6486 9.6285 0,676 0.667 0,658 2 )~ — 1 0,8128 !0,7947 0,6895 0,6432 0,725 ~0.7095 0,6938 0.гбао 0,7393 иг)м сел босо ииал/ггг д пп абоо зппп с=йод л (1, — 1), г' 2и 67 66 импульс в данном сечении интенсивно возрастает с ростом 2, так как функция А резко увеличивается от единицы при Х = 0 до бесконечности при Х -+ Х„,„,.