Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 5

Вну! рп замкнутой ! оверхности параллелепипеда заключена масса жидкости. Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. 29 Изменение количества движения массы газа, сосредоточенной внутри поверхности, происходит в общем случае вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость изменяется во времени. При установившемся движении количество движения меняется только в связи с изменением положения частиц. В соответствии с известной теоремой механики изменение количества движения массы, заключенной в выделенном элементе, равно илщульсу внешних сил.

Составим уравнения импульсов в проекциях на координатные оси (рис. 1-10). На грань АВСО в направлении оси х действует сила давления рйуйг, импульс которой будет: рйуйгсЫ. Импульс сил давления, действующих на грань А'В'С'1У, равен; — (р+ ~йх~! йуйгй!. дх Заметим, что, кроме сил давления, на элемент могут действовать массовые силы (гравитационные, магнитные и электростатические). Из них чаще всего необходимо учитывать гравитационную силу — силу тяжести.

Для газов вследствие относительно малой их плотности сила тяжести по сравнению с силами давления оказывается малой и ею обычно можно пренебречь. Однако в некоторых задачах влияние массовых сил должно быть учтено. Обозначим через Х, У и Х проекции единичной массовой силы (отнесенной к массе жидкости) на оси координат х, у и 2. Тогда проекции полной массовой силы на ксюрдинатные оси будут: Хрйхйуйг, Урйхйуйг и Ярйхйуйу. Введем импульс массовых сил в проекции на ось х, равный Хрйхйуйгйс. Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения: Хрйхйуйгй! — — Р йхйуйгй! = рйхйуйгйц др где рйхйуйг — масса элемента.

1 чсдовательно, (1-15а) Аналогичные уравнения получим в проекции на оси И 2: д! д (1-156) сЪ ! др --=Š—— Й р дх (1-15в) Имея в виду, что приращения скорости равны: йи = — йх+ — йу+ — йг+ — й1; ди ди ди ди дх ду дх дс йи = — йх+ — йу+ — й 2+ — й1; до до до с)о дх ду дх д! для проекций ускорения на координатные оси получим из (1-15): с!и ди ди ди ди ! др.

— = — +и — +а — +цс — =Х вЂ”-- й! д! дх ду дх Р дх' до до до до до ! др. дс ду дх ду дх Р ду — =--+и — +о — +ш — =1' — — — ' дм дсо дм дис дис ! с!Р си д! дх ду дх Р дх — = — +и — +о — +со — =Х вЂ” —— Производные —, — и — выражают проекции полного сРи до дис Й' с!! й! ускорения движущейся частицы.

Уравнения (1-16) показывают, что ускорение жидкого элемента вызывается соответствующими изменениями сил давления, действующих на этот элемент, и массовыми силами. Уравнения (1-16) были также получены Эйлером. Составим теперь уравнения импульсов в цилиндрических координатах. С этой целью найдем составляющие ускорения в новой системе координат. Полное ускорение вдоль радиуса-вектора выражается как сумма относитель- 3! с(с, ного ускорения †' и центростремительного ускорения— дг св ††. Следовательно, радиальное ускорение равно: дс, св Й Полное ускорение в направлении, нормальном к радиусу-вектору, складывается из тангенцнального ускорения дй Ыг пз ㄠ†„ н кориолисова ускорения 2 — †, т. е.

дв Ю'В с(г суй ! ~<'М "'в г — +2 — — = — — = — + дм ' с(! ьгс г дв дг ' г Тогда уравнения импульсов (1-15) можно записать в такой форме: 2 1д иг, ~ дгг :—,==х — ', а. где )с, 6 и Х вЂ” проекции единичной массовой силы на оси координат г, й и г. с(с, Подставив в (1-17) значения полных производных сИ дсв дв — и — через частные, окончательно находим: дв дв св дв дв ! др — +с — +- — + гп — =Х вЂ”вЂ” дс 'дг г дв дх р дг' ! 1 5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. УРАВНЕНИЯ И. С. ГРОМЕКО Уравнения движения в форме Эйлера являются общими уравнениями механики.

Особенности движения жидкой среды могут быть отражены введением специфических 32 элементов движения — компонентов вихря, кинетической и потенциальной энергии — в уравнения Эйлера. Компоненты угловой скорости вращения в, в и могут быть непосредственно введены в уравнения движения (1-16) и (1-17а). Если к левой части первого из уравда дв пений (1-16) добавить а затем отнять и — и се†, то после ! дх дх' несложных преобразований получаем: 1 др =Х вЂ” —— р дх Имея в виду, что и учитывая формулы (1-6), представим первое из уравнений движения (1-16) в такой форме: дв +д — „Я вЂ” 2 (ов, — гвгвс) = Х вЂ” дх ' (1-18а) Аналогично можно преобразовать и два других'уравнения движения.

В результате получим: у+д ( ~ ) — 2(ивс — овх)=Х вЂ” — д . (1-18в) Аналогично можно преобразовать уравнения (1-17а) н нилиндри. ческой системе координат. Компоненты угловой скорости вращения н этой системе координат выражаются уравнениями: ш с (1-21) ы +ы„+ы =»» +»» » 2 2 2 2 дх ду дг и о ду~",+и+Р) =2 (1-24) »в о» ю к а а» » г~ 34 3» Пользуясь известными формудами перехода от прямоугольных к цилиндрическим коордвнатам, нетрудно выразить компоненты угловых скоростей ы„, ы„н ы через ы,, ы а ыв Угловая скоросгь вращения ы может быть выражена через составляющие ы, ы и ы по г уравнениям (1.19), так как Смысл величин ын ыа и ы поясняется на рис.

1-!3. Составляющая ы, определяет такое вращение частиц, осью которого является радиус-вектор (радиальный вихрь); компонента ы характеризует вращение частиц относительно оси, имеющей форму окружности (кольцевой вихрь); ы представляет собой угловую скорость враще»тая вокруг оси з. дгв Введем в левую часть первого уравнения (1-17а) члены: + ги —, д. дю + сз д 1 тогда дсг д гс ( 1 др, — '+ — ~ — ) — 2(саыа»сла) = Л ' (! 20) дт д» ( 2 ) а р дг аналогично преобразуются второе и третье уравнения (1 17а).

Преимущества уравнений количества движения (1-18)— (1-20) очевидны. В отличие от уравнений Эйлера они содержат в явной форме величины, характеризующие особенности движения жидкости — легко деформируемой среды. Эти уравнения включают компоненты угловой скорости вращения частиц, т. е. члены, характеризующие вихревое движение жидкости, кинетическую энергию и потенциальную энергию давления, а также потенциальную энергию массовых сил. Введение этих величин существенно упрощает анализ многих сложных видов и»и л движения жидкости и, в и частности, облегчает исслс- дование некоторых свойств » потока в проточной части турбомашин.

В некоторых частных случаях уравнения (1-18) рис, 1-!з.к о опеле ю кочпонен или (1-20) легко интегРитов вихря в цилиндрической систе- РУются Лля этой цели ме координат уравнениям движения мож- но придать еще более простую и наглядную форму, вводя некотору!о функцию давления Кроме того, влияние массовых сил учитывается путем введения потенциальной функции и, частные производные от которой по координатам выражают проекции ускорения массовых сил на оси координат: Тогда уравнения (1-18) принимают вид: '-" -1- — ' 1 — '.Р с Ч- Р)»»,.

— .г„»; дт дх 12 '— ."Р— '! — "~- ~-Р)= » — ".» ~ и»» оу дв , 2 ды+ д !'с + +о дт дх '1 2 I Уравнения (1-23) были получены профессором Казанского университета И. С. Громеко в 1881 г. /ди до дн» Для установившегося движения ( — = — = — = ) после умножения обеих частей уравнения (1-23) соответственно на с(х, ду и Нг и суммирования нетрудно получить: Определитель (1-24) равен нулю и следующих частных случаях: а) при отсутствии вихрей в жидкости, т. е.

когда ю =ю„=ю =0; а б) при условии дх с(в с!х и и й» в) при условии пк дп с~д к у г'г условия „б" и „в" являются дифференциальными уравнениями линий тока и соответственно вихревых линий (см. уравнение (1-5)); следовательно, согласно условиям „б' н „в' определитель (1-24) равен нулю для линий тока и вихревых линий; г) при огг =куг; пгг =игг; г у' к г' игг =ого, у к' или (1-25) гг гг гг у г Во всех перечисленных случаях из (1-24) получаем: 2( — +(7+Р) =О, или после интегрирования с' + (7+ Р— сопят. (1-26) Интеграл (1-26) яв.пяется уравнением энерг дг струйки, т. е. выражает баланс энергии жидля с гни к о й ч а с т и ц ы: сумма кинетической и потенциальной энергии, т. е.

полная энергия частицы является величиной постоянной. Следует вспомнить, что функция (7 выражает потенциальную энергию массовых сил, а Р— потенциальную энергию сил давления. Первый член (1-26) дает велч ину кинетической энергии жидкой частицы. Все указанные составляющие полной энергии отнесены к секундной массе протекающей жидкости. Н есмотря на то, что интеграл (1-26) имеет одинаковую форму для всех рассмотренных случаев, смысл его и область применения различны в зависимости от условий, для которых интеграл был получен. Для безвихревого установившегося движения жидкости (случай „а") интеграл (1-26) справедлив для всех точек потока. При выполнении условий „б или „в" полная энергия частицы сохраняется постоянной только вдоль линии тока зб или соответственно вдоль вихревой линии. Г1ри переходе от одной линии тока к другой или от одной вихревой линии к соседней величина постоянной в правой части (1-26) может меняться. Условие „г" пропорциональности линейных и угловых скоростей (1-25) приводит к интегралу (1-26), т.