Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика, страница 3

В случае сжимаемой жидкости меняется также и объем частицы. Обращаясь к рис. 1-4, проанализируем вращение и деформацию одной из граней параллелепипеда, показанного на рис. 1-2. Если в точке 0 1рис. 1-4) проекция скорости ди на ось х будет и, то в точке А она будет и'+ — «1у. Под ду Рис. Ь4. деформация грани частицы жидкости н процессе движения. ди действием разности скоростей в этих точках, равной †«1у, ду ребро 0А повернется на некоторый угол «й„ переместившись относительно точки 0 за элемент времени Й в положение 0А,.

Величина отрезка АА, определяется по фор- муле За рассматриваемый элемент времени точка 0' сместится по оси у на величину Р0, = — ««х«1«. При этом ребра 0А и 00«повернутся на малые углы «1ек и «й„которые определяются по очевидным уравнениям: Рассматриваемые перемещения ребер 0А и 0Р вызваны как вращением плоского жидкого элемента (грани параллелепипеда), так и его деформацией. Заметим, что если бы грань только деформировалась, без вращения, то ребра 0А и 00' поворачивались бы на одинаковый угол навстречу друг другу или в противополсжных направлениях.

Наоборот, если бы грань совершила только вращательное движение (как абсолютно твердое тело), то ребра 0А и 00' поворачивались бы на одинаковый угол в одном направлении. Движение элемента в сбщем случае можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений и таким путем определить углы г(и, и г(и!. Принимая, что в результате вращения (против часовой стрелки) ребра 0А и 00' повернулись на угол г(Т, а в результате деформации †дополнитель на угол !гр, найдем: (Й, = ф — Ы'~', сЬг = — д3+ !(Т. Из зтнх двух уравнений получим; 2и!т = !1и, — (Й,.

Угловая скорость вращения грани будет равна: 2 ~~1 Подставив значения производных — н —, находим и !и угловую скорость вращения грани в таком виде: где !и — составляющая вектора угловой скорости вращения, параллельная оси з (индекс г указывает направлеш*,е оси, относительно которой происходит вращение). Заметим, что г! является угловой скоростью вращения биссектрисы угла в точке 0. Аналогичные рассуждения приводят нас к заключению, что угловые скорости вращения двух дру- тих граней, расположенных в плоскостях хог и уг!г, выражаются через соответствующие значения частных произди дм ди дм водных —, — —, —, —, причем вращение каждой грани падл' дл ' дг' ди' раллелепипеда определено двумя угловыми скоростями.

Таким образом, уравнения для всех трех составля1ощих вектора угловой скорости вращения будут иметь вид: =1('-'.-'-:) ~ 1 Гди ди1 г1дг дх ' ! ди ди З 1дх да7' (1-6) Уравнения (1-6) выражают компоненты вектора угловой скорости вращения жидкой частицы е, величина которого определяется как геометрическая сумма и,, !ии и я !и=юг' !и +!и +а (1-7) л формулы (1-6) определяют в дифференциальной форме связь между составля!ощими угловой скорости вращения н составляющими скорости поступательного движения. Вращательное движение частицы вокруг осей, проходящих через частицу, называют вихревым движением.

Опыт показывает, что во всех случаях движения реалыюй (вязкой) жидкости все поле потока нлн часть его являются вихревыми. В тех областях течения, где вихревое движение частиц отсутствует, угловая скорость вращения равна нулю (и! =О). В этих областях частицы жидкости могут двигаться по траекториям любой формы, деформируясь при этом, но не вращаясь относительно своих осей. Если в частном случае при м =О траектории частиц являются замкнутыми кривыми, то такое движение будет частным случаем ц и р к у л я ц н о н н о г о движения.

Следует подчеркнуть, что при таком движении частицы совершают вращение вокруг некоторой осн, расположенной вне траектории, но не вращаются относительно собственных осей. Понятия вихревого и цнркуляционного движений жидкости играют большую роль в гидромеханике. В этой связи остановимся на одной весьма важной характеристике потока — циркуляции скорости. Рассмотрим еще один ч Г =():сгг((, (1-8) !9 пример циркуляционного течения. При обтекании несимметричного профиля крыла (рис. 1-5) плоскопараллельным потоком линии тока в области потока у крыла искринлены, так как крыло возмущает ((идл(дгяииеммв поток. Характер возмущен ' ~ лгаееяие (Г ния, вносимого крылом в лдмла поток, можно выяснить, определяя скорости в разл личных точках поля у кры— ла.

Сравнивая локальные значения скоростей со скоростью набегающего потока, нетрудно установить, Рис. 1-б. Схеча обтекания крыло- что течение у крыла можно вого профиля. представить как сумму по- ступательного невозмущенного потока и течения по замкнутым траекториям, Интенсивность потока у крыла можно характеризовать величиной циркуляции скорости, которая определяется по уравнению где с — проекция вектора скорости на направление элемента контура 1. В общем случае произвольно выбранный контур 1 может не совпадать с линией тока циркуляционного течения.

Формулу (1-8) можно записать в таком виде: Г=$с сох(с, 1) г(1. (1-9) Таким образом, циркуляционным движением можно назвать такое движение, при котором циркуляция скорости отлична от нуля. Если Г= О, то движение называется бесциркулиционным'. При вычислении циркуляции скорости по формуле (1-9) необходимо условиться о направлении обхода контура интегрирования. Положительным направлением обхода, как пра- ' Обращаясь к формуле (1-9), мы видим, что выражение для циркуляции скорости иапомииает известное уравнение работы вектора силы. Эта внешняя аналогия позволяет понять мехаиичсский смысл циркуляции (произведеиие скорости иа путь) и дает основание условио называть величину Р работой вектора скорости. пило, считают такое направление, при котором заключенная внутри контура область потока остается справа (рис.

1-5). Понятие циркуляции весьма широко используется при исследовании вихревых движений газа. В теории вихревого движения доказывается ряд фундаментальных теорем, связывающих циркуляцию скорости с основными характеристиками вихря, Остановимся прежде всего на основных понятиях вихревого движения: вихревой линии, вихревой трубки и вихревого шнура. Эти понятия близко совпадают с приведенными выше понятиями линии тока, трубки тока и элементарной струйки.

Рис. 1-6. Вихревая трубка и вихревая нить. Вихревой линией называют такую. линию в потоке, в каждой точке которой направление вектора угловой скорости совпадает с направлением касательной к этой линии. Напомним, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращения. Следовательно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, которые располагаются на этой линии, В их р е в о й т р убк о й называют замкнутую поверхность, состоящую из вихревых линий, построенную на элементарном контуре (рис.

1-б,а). Жидкость, заполняющая вихревую трубку, образует в и х р е в у ю н и т ь. Если вихревая трубка имеет сечение конечных размеров, то частицы, заполняющие ее и находящиеся во вращательном движении, образуют в и х р е в о й ш н у р. Рассмотрим вихревую нить (рис. 1-б,б). Проведем сечение, нормальное к оси нити. Интенсивность или напряжение вихревой нити характеризуется удвоенным произведе- ьУ= 2ю„с~Е, ю„= — ю сон р. Рнс.

1-7. К определению пнркулнднн скорости по замкну. тону контуру, охватываюпсепу профиль. сЛ'= ьУ=-= 2а с1г". л Г =-2$е>„с7Р. Г = 2юЕ = сопз1. юге и макс 1ге — радиус вихря). 21 20 нием вектора угловой скорости вращения ю на площадь сечения нити Н'; сУ = 2вс7Р. В общей случае рассматриваемое сечение нити может быть проведено произвольно под некоторым углом к ее оси 1рис. 1-6,б); тогда интенсивность сУ определяется по фор- муле где юн — проекция вектора угловой скорости на направление оси вихревой нити: Таким образом, напряжение вихревой нити определяется как удвоенное произведение площади произвольного сечения нити на проекцию вектора ю на направление нормали к выбранному сечению.

В теории вихревого движения доказывается, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихревую нить, равна интенсивности вихревой нити, т. е. Для контура, охватывающего вихревой шнур конечного сечения, состоящий из бесчисленного множества вихревых нитей, циркуляция скорости определяется криволинейным интегралом Это выражение, полученное Стоксом, позволяет сформулировать одну из основных теорем вихревого движения: циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в жидкости, равна сумме интенсивностей вихрей, охватываемых контуром, если этот контур путем непрерывной деформации можно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости. Вели контур охватывает твердое тело (например, профиль лопатки), то непосредственно применить рассматриваемую теорему в этом случае нельзя, так как контур невозможно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости.

Однако если замкнутый контур провести так, как это показано на рнс. 1-7 1контур ЛВСОА), то согласно уравнению Стокса получим: так как Г„= — Г и Г„~=.2фе1 НЕ+Г,.р. ! Формула Стокса приводит к заключени1о, что ядро прямолинейного вихря постоянного сечения вращается, как твердое тело, с постоянной угловой скоростью. Деиствительно, на основании указанной теоремы для прямолинейного бесконечно длинного вихря можно записать, что циркуляция по контуру, охватывающему вихрь, При Р=сопз1 в произвольной точке ядра вихря ю=сопз1.

Линейная скорость в ядре будет: с„= пт, где г — радиус рассматриваемой точки. Следовательно, распределение скоростей в поле вихря будет линейным. На внешней поверхности ядра скорость имеет максимальное значение: В гидромеханике доказывается также теорема о неизменности циркуляции во времени в идеальной невязкой жидкости (теорема Томсона). Согласно теореме Томсона для идеальной жидкости вне вихря цирк)тляция сохраняет постоянное значение по любому контуру, охватывающему вихрь. Циркуляционное течение около бесконечно длинного прямолинейного вихря (вне его) имеет гиперболическое поле скоростей (рис. 1»8), так как Г = 2яшг' = 2кс я ние такой кромки идеальной жидкостью должно привести к тангенциальному разрыву скоростей за профилем (рис.