Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения

20 ЛЯЦ7йф ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИИ Существующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, не содержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям. Между тем эти разделы высшей математики широко используются в исследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин, изучаемых в ряде технических учебных заведений. Данное справочное руководство имеет своей целью восполнить указанный пробел. Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и математической физики.

Даются также краткие сведения о принципе максимума Л. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельные положения теории поясняются примерами и решениями задач. Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению с предыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывных задачах с подвижными концами в пространстве, сведения из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма— Лиувилля и др. Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений.

ОГЛАВЛЕНИЕ .Предисловие ко второму изданию 8 Предисловие к первому изданию 9 Глава 1. Вариационное исчисление 11 8 О. Введение 11 1.0.1. Функционал (11). 1.0.2. Предмет вариационного исчисления (11). 1.03. Некоторые определении и обозначения (12). 8 1. Простейшая задача вариационного исчисления.

Необходимые условия 14 экстремума 1.!.1.Постановка задачи (14). 1.1.2.Первая и вторая вариации функционала (11). 1.1.3. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. Экстремали (15). 1.1.4. Регулярные (или неособенные) экстремали (! 6). 1.1.5. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера — Лагранжа (17). 1.1.6.

Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Ломаные экстремали (18). 1.1.7. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (18). 1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (19). 1.1.9. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби (19). 1.1.10. Инвариантность уравнения Эйлера— Лагранжа (20). 8 2. Вариационные задачи с подвижными концами 1.2.

1. Постановка задачи (20). 1.2.2. Вспомогательная формула (21). 26 29 34 46 1.2.3. Условие трансверсальности (22). 1.2.4. Трансверсальность и ортогональность (23). 8 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от 23 нескольких функций 1.3.1. Постановка задачи (23). 1.3.2. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Экстремали (24). 1.3.3. Условия Вейерштрасса — Эрдмана.

Ломаные экстремали (24). 1.3.4. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (24). 1.3.5. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (25). 1.3.6. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби (25). 1.3.7. Условие трансверсальности (25). 8 4. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего производные высших порядков, 1.4.1. Постановка задачи (26).

1.4.2. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Пуассона. Экстремали (26). 1.4.3. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера- Пуассона (27). 1.4 4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на условный экстремум. Дальнейшие необходимые условия (27). 1.4.5. Условие трансверсальности (28). 8 5. Вариационные задачи в параметрической форме 1.5.1. Параметрическое задание линий (29). 1.5.2. Функционалы от линий. Сильные и слабые окрестности (29). 1.53. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа (30). 15.4. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера — — Лагранжа. Экстремали (31).

1.5.5. Условие Вейерштрасса — Эрдмана (31). 1.5.6. Второе необходимое условие экстремума (аналог условия Лежандра) (32). 1.5.7. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (32). 1.5.8. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби 133). 1.5.9. Условия трансверсальности (33). 8 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы 1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала (34). 1.6.2.

Разрывные задачи второго рода (35). 1.6.3. Разрывные задачи для функционала, зависящего от нескольких функций (36). 1.6.4. Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве (37). 1.6.5. Односторонние экстремумы (39). 8 7. Канонические уравнения. Теория Гамильтона — Якоби 41 1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнении Эйлера (41). 1.7.2.

Первые интегралы канонической системы (42). 1.7.3. Теорема Э. Нетер (43). 1.7.4. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби (44). 1.7.5. Канонические преобразования (45). 8 8. Некоторые сведения из теории поля экстремалей 1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные (46). 1.8.2. Поле зкстремалей (48). 1.8.3. Выражение геодезического расстояния между двумя точками через инвариантный интеграл Гильберта (48). !.8.4.

Другие определения поля (50). 1.8.5. Условия Лежандра и Якоби включения зкстремамали функционала в поле (50). 1.8.6. Построение полей экстремалей для некоторых вариационных задач с подвижными концами (51). 1.8.7. Определение поля для вариационных задач в параметрической форме (52). 8 9. Достаточные условия экстремума 1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса (52). 1.9.2. Упрощенное достаточное условие сильного экстремума (55). 1.9.3. Достаточные условия сильного экстремума в задачах с подвижными концами (55). 1.9.4.

Достаточные условия слабого экстремума функционала, зависящего от нескольких функций (56). 1.9.5. Достаточные условия экстремума для вариационных задач в параметрической форме (57). 58 8 10. Вариационные задачи с частными производными 1.10.1.

Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера— Остроградского (58). 1.10.2. Инвариантность уравнения Эйлера— Остроградского (59). 1.10.3. Второе необходимое условие для экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра) (59). 1. ! 0.4. Вариация функционала с переменной областью интегрирования (60). 1.10.5. Инвариантные вариационные задачи Теорема Э. Нетер (61). 1.10.6. Разрывная задача первого рода (62).

811. Вариационные задачи на условный экстремум 64 1.11.1. Изопериметрическая задача (64). 1.11.2. Правило множителей (65). 1.11.3. Условия трансверсальности (66). !.11.4. Необходимое условие Клебша (67). 1. 11.5. Необходимое условие Якоби (67). 1. 1 !.6. Достаточные условия экстремума в изопериметрической задаче (69). 1.11.7. Задачи Лагранжа, Манера и Больца (69).

1.11.8. Связь задач изопериметрической, Лагранжа, Майера и Больца (73). 1.М.9. Правило множителей для задач Лагранжа, Майера и Больца (74). 1.11.10. Условия трансверсальности (76). 1 11.11. Необходимые условия экстремума Вейерштрасса и Клебша (76). 1.11.12. Вторая вариация в задаче Больца (77). 1.11.13. Присоединенная или акцессорная задача Больца (77). 1.11.14.

Достаточные условия сильного относительного минимума (78). 1. !1.15. Условие Якоби положительной определенности второй вариации (79). 8 12. Оптимальные принципы 70 1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи (79). 1.12.2. Формулировка принципа максимума (81), 1.12.3. Принцип максимума и вариационное исчисление (82). 1.12.4. Принцип 105 105 114 117 123 оптимальности Беллмана (динамическое программирование) (84). 1.! 2.5.

Вариационное исчисление и принцип оптимальности Беллмана (85). 1.12.6. Связь динамического программирования с задачами условного экстремума и принципом максимума (86). 8 13. Линейное программирование 88 1.13.1. Постановка задачи (88). 1.13.2. Геометрическая интерпретация (88). 1.13.3. Симплекс-метод (89). 1.13.4.

Связь с динамическим программированием (90). 8 14. Прямые методы вариационного исчисления 91 1.14.1. Постановка задачи (91). 1.14.2. Метод Ритца. Примеры (92). 1.14.3. Метод конечных разностей (96). 8 15. Некоторые сведения из теории экстремума функционалов в линейных 97 нормированных пространствах 1.15.1. Линейные нормированные пространства (97). 1.15.2. Фактор- пространство (98).