И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 6

Поэтому из первой формулы возможные значения т будут следующие: т = 2)г/ч'Е/р — 1/2, Подставив в это выражение значения т, равные т, и кя найдем со- ответствующие т, и т, (они будут не целочисленными). Гогда ис- комое число собственных колебаний М = [т, — т,), Р„= а соз(мг — лх), ч, = а сов(сзг — /зу). Найти характер движения частиц среды в плоскости х, у, если обе волны поперечные и направление колебаний одинаково. Р е ш е н и е.

В тех точках, где разность фаз л(у — х) равна кратному 2л, колебания будут происходить в фазе. Отсюда у = х х тЛ, т =0,1,2,..., т. е. максимумы амплитуды колебаний, равные 2а, будут располагаться вдоль таких прямых (рис. 1.16). Вдоль прямых у = х х (т + 1/2)Л располагаются минимумы амплитуды, равные нулю (штриховые прямые на рисунке). Л 21 Рве. 1.16 где квадратные скобки означают, что надо взять целое число от величины тз — тг 1.7. Суперпозиция волн. В уаругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна вдоль оси Х„другая вдоль оси У: Упругие велим 1.6. Эффект Денвера.

Неподвижный источник испускает звук частоты г,. Найти частоту звука, отраженного от стенки, которая удаляется от источника с постоянной скоростью и. Скорость звука о. Считать, что и «ш Р е ш е н н е, Рассмотрим процесс отражения звука в две фазы. Сяачзла стенка играет роль приемника и воспринимаемая ею частота, согласно (1.60), равна тэ(о к)/о.

На второй стадии стенка играет роль удаляющегося источника звуке с частотой т, поэтому частота отраженного звука (2) г'= ги/(и+ и). Подставив (1) в (2), получим г' = зо(о — и)/(и + и) ь гэ(1 — 2к/о), где учтено, что и «и. 1.9. Эффект запаздывания. Источник коротких звуковых импульсов с частотой г и приемник находятся в одной точке. В момент г 0 источник начинает удаляться от приемника с постоянным ускорением а. Найти частоту импульсов, воспринимаемых приемником в момент С если скорость звука равна ш Р е ш е н и е.

Здесь следует учесть эффект запаздывания. Это значит, что воспринимаемые в момент $ импульсы были испущены источником в предшествующий момент У. Поэтому согласно (1. 60), т(З) = тес/(и + кг). Скорость источника в момент У равна ис = ат', где У найдем из условия ар /2 = о(Ф вЂ” С), (2) т. е. путь, пройденный источником к моменту Г', равен произведению скорости звука на время запаздывания полученных сигналов. Определив У из (2), найдем и,, и с помощью (1) — искомую частоту: е(з) г /Д+ 2зэ/о.

Глава 1 1.10. Источник звука 3, собственная частота которого тю движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя Р на расстояние 1 (рис. 1.16). Скорость источника составляет г)-ю часть скорости звука. Найти: а) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется в точке О; б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота г = г,. Р е ш е н и е.

а) Ясно, что в этот момент наблюдателя достигнут сигналы, испущенные источником, когда он находился еще в некоторой точке 8 (рис. 1.16). Ее положение должно быть таким, Рнс. 1.16 чтобы за время, пока источник движется со скоростью и до точки О, сигнал со скоростью с достиг бы точки Р. Отсюда проекция скорости источника на направление ЗР равна и, = и сове, где сова = и/и = ц.

Искомая частота, согласно (1.60), г = геи/(и — и сов а ) = г,/(1 — г) ). б) Источник, от которого дошел сигнал с частотой г = г„должен был находиться в точке О. Пока звук дошел до точки Р (за время т =!/с), сам источник переместился вправо на расстояние х = ип Из рис. 1.16 следует, что искомое расстояние Главе 2 Электромагнитные волны е 5 2,1. Волновое уравнение электромагнитной волны Из уравнений Максвелла следует, как мы сейчас убедимся, важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния (возмущение поля) обязательно имеет волновой характер.

Поля такого рода называют электромагнитными волками. В вакууме зти волны распространяются со скоростью, равной скорости света с. Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду с проницаемостями с и р, где В - НроН П = ззоЕ. (2.1) Поскольку в данном случае плотности зарядов и токов равны нулю (р = О и ) = О), уравнения Максвелла будут иметь вид: '7ХЕ = — В, ~7ХН = — )), (2.2) ~ИВ=0, ЧП=О, (2.3) где уравнения (2.2) выражают роторы Е и Н, а уравнения (2.3)— дивергенции В и В. Точка над векторами В и 6 означает частную производную этих величин по времени. Поскольку любые волновые процессы должны подчиняться волновому уравнению, связывающему вторые производные по времени и координатам, попытаемся придти к нему с помощью написанных выше уравнений Максвелла. Для этого продифференцируем второе уравнение из (2.2) по времени и затем используем первое уравнение: Глава 2 дЕ д дН 1 еео — „= — (ЧхН) = Чх — = — — Чх(ЧхЕ).

(2.4) дтв д1 дт рр о Двойное векторное произведение в правой части, согласно правилу а х (Ь х с) = Ь(ас) — с(аЬ), — «бац минус цаб», можно записать так: Чх(рхЕ) = Ч(ЧЕ) -(ЧЧ)Е = — Ч'Е, (2.5) так как ЧЕ = О. Подставив (2.5) в (2.4), мы приходим к волновому уравнению для Е. Аналогично можно получить подобное же волновое уравнение и для вектора Н. Таким образом, мы приходим в результате к идентичным волновым уравнениям для векторов Е и Н: , Ч Е =ааорроЕ .

(2.6) Ч Н = сеарр оН Здесь коэффициент перед второй производной по времени есть не что иное как величина, обратная квадрату скорости и раслространения волны, согласно (1.23), Следовательно, (2.7) где с — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме: с = 1/ч' со)«о- (2.8) Оказалось,что с =3 10'м/с, т. е.

совпадает со скоростью света в вакууме. Зто и дало основание Максвеллу предположить задолго до экспериментального подтверждения, что свет представляет собой электромагнитные волны. 3 2.2. Плоская злектромагннтная волна Перепишем уравнения Максвелла (2.2) и (2.3) в форме более удобной для дальнейшего анализа, имея в виду, что роторы Е и Н можно представить в виде определителей (как векторное произведение двух векторов): Злоктооиагввткыо ваквы зз ех еу ез д/дх д/ду д/дг Нх Ну Нг ех еу ег фдх фду д/дг Е Еу Ег = — )хр Н, тхН= = сеоЕ (2.9) УхЕ = — Е, + — Е„+ — Е, =О, — Н„+ — Н„+ — Н, =О, (2.10) д д д д д д дх * ду " дг ' дх " др " дг О=НН Н, -дЕ,/дх =-РроНо, дЕ„/дх =-РроН дЕ /дх =О, 0 =за,Е„ -дН,/дх = се Е„, дН„/дх = езо Е„ дН„/дх = О.

(2. 11) Из условий дЕ„/дх = 0 и Е, = 0 следует, что Е„не зависит ни от х, ни от 1 (аналогично и для Н„). Это значит, что отличные от нуля Е„и Н„могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны Е, = 0 и Н, = О, т. е. векторы Е и Н перпендикулярны направлению распространения волны — оси Х. Значит, электромагнитная волна является поперечной. Кроме того, оказывается, векторы Е и Н в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (2.11), содержащие, например, Е„и Н„ в пару: дЕ„/дх = — рр Н,, дН,/дх = — сео Е„ (2.

12) где е„, е„, е, — орты осей Х, У, Я. Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны. Направим ось Х перпендикулярно волновым поверхностям. При этом Е и Н, а значит и их проекции на оси У и 2, не будут зависеть от координат у и г, т. е. соответствующие производные по у и г будут равны нулю. Поэтому уравнения (2.9) и (2.10) упрощаются (останутся только производные по х) и принимают вид: зо Глава 2 (можно было бы взять и другую пару, содержащую производные Е, и Н„). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, направленного вдоль оси Я, порождает электрическое поле Е„вдоль оси У. Изменение во времени поля Е„в свою очередь порождает поле Н, и т. д.

Ни поля Е„ни поля Й„при этом не возникает. А это и значит, что Е 1 Н. Связь мгновенных значений Е и Н. В нашем случае, когда плоская волна распространяется вдоль оси Х, например, в ее положительном направлении, Е„= Е„(с — х(о), Н, = Н,(~ — х(о), (2.13) где Е„и Н, — некоторые функции, характеризующие форму волны. Введя обозначение у = 1 — х/и,найдем производные Е„ по х и Н, по г — в соответствии с (2.12): дЕ„дЕ„а,р де„( 1) дН, дН, ар дн, дх д~р дх д~р ( о ) дс д~р дэ д~р Подставив эти выражения в первое уравнение (2.12), получим: 1 дЕ дН вЂ” =РР о ар ' ар или с учетом того, что и = 1~ /ззвррв дЕ„дН д~р др Отсюда следует, что ~Б, Е„=.Яр, Н, + сопз$, где произвольная константа обусловлена наличием постоянного электрического и магнитного полей.

Нас интересует только переменное поле, поэтому сопз$ = О„в результате мы получим: ,(зе Е„= (НН Н,. Это выражение означает, что Е и Н не только взаимно ортогональны, но и составляют правовинтовую систему с направлением распространения: мы ведь рассмотрели случай, когда волна распространяется в положительном направлении оси Х (рис. 2.1).

Электронатннтные волны Рнс. 2.1 Рнс. 2.2 Кроме того, Е и Н, согласно (2.14), изменяются при этом синфазно. "Е„и Н, одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что и показано на рис. 2.2 — мгновенная картина в некоторый момент. Заметим, что если бы мы рассмотрели волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Х, то Е„и Н, изменялись бы в противофазе (,/вво Е„= —.~рреН,).

Однако по-прежнему оба вектора, Е и Н, составляли бы правовинтовую систему с направлением распространения. Зто же относится и к случаю, когда Е направлен вдоль оси Я, а Н вЂ” вдоль оси У, т. е. их проекции Е, и Н„. Выяснив эти детали, индексы у и г у проекций векторов Е и Н можно не писать (как это обычно и делают). Поэтому уравнение, например, плоской бегущей гармонической волны — она представляет особый интерес — записывают так: Е = Е сов(аз — йх), Н = Н сов(аэ — йх), (2.15) где знак минус в скобках означает, что волна распространяется в положительном направлении оси Х.

В этих выражениях а— круговая (циклическая) частота колебаний, й — волновое число (й = 2н(1, 1 — длина волны). Заметим, что когда говорят, что плоская волна распространяется, например, в положительном направлении оси Х, то это означает, что с этим направлением совпадает ее волновой вектор )с или, другими словами, ее волновые поверхности ортогональны оси Х. Но при этом колебания распространяются очевидно и в других направлениях.

Глава 3 Пример. Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме так, что ее волновой вектор Й перпендикулярен оси Я и составляет угол а - 60' с ортом оси Х. Найдем скорость распространения колебаний вдоль оси Х. Изобразив рисунок, аналогичный рис. 1.1, найдем, что искомая скорость с = с/сова = 2с) Полученный результат не противоречит теории относительности: фазовая скорость может быть любой, в отличие от скорости сигнала, которая не может быть больше с — скорости света в вакууме.