И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 2

Именно поэтому из двух форм представления комплексной амплитуды автор предпочел векторную, как более простую и наглядную. С той же целью широко использованы различные модельные представления, упрощающие факторы, частные случаи, соображения симметрии и др. Изложение ведется в СИ. Вместе с тем, учитывая достаточно широкое использование системы Гаусса, в Приложении дана сводка основных единиц и наиболее важных формул как в СИ, так и в системе Гаусса. Курсивом выделены важнейшие положения и термины.

Петит используется для материала повышенной трудности и относительно громоздких расчетов (этот материал при первом чтении можно безболезненно опустить), а также для примеров и задач. Книга как учебное пособие рассчитана на студентов вузов с расширенной программой по физике (в рамках курса общей физики). Она может быть полезной и преподавателям вузов. Автор глубока признателен директору издательства М. Н. Бородину, побудившему продолжить работу над созданием следующих учебных пособий из серии «Основные законы... э по курсу общей физики.

И. Иродов. Принятые обозначения Векторы обозначены полужирным прямым шрифтом (например, у, Е); та же буква курсивом и светлым шрифтом (о, Е) означает модуль вектора. Средние величины отмечены скобками < >, например <>.>, <Я>.

Символы перед величинами означают: <> — конечное приращение величины, т. е. разность ее конечного и начального значений, например <)<а = о, — <Э„ ЛЕ = Е, — Е,; <( — дифференциал (бесконечно малое приращение), например, <)<э, <)й. Б — элементарное значение величины, например б>л сз — знак пропорциональности„' -е - — величнна порядка... (1 — 10 см). Орты — единичные векторы: е„, е„, е, (или 1, 1, )Π— орты декартовых координат; е, — — орт радиуса-вектора; п — орт нормали к элементу поверхности; т — орт касательной к контуру или границе раздела.

Производная по времени от произвольной функции х обозначена бх/й< или точкой над функцией, х. то же для второй производной". <) х/<)< или х. Интегралы любой кратности обозначены одним-единственным зна- ком )' и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: <(Ч вЂ” элемент объема, <(8 — элемент поверхности, <(1 — элемент кон- тура. Знак у обозначает интегрирование по замкнутой поверхности или по замкнутому контуру. Векторный оператор Ч (набла). Операции с ним обозначены так: Чс> — градиент <э (ига<( <э), Ч Е вЂ” дивергенция Е (<(1у Е), Ч х Š— ротор Е (го( Е!. Упругие волны 5 1.1. Уравнение волны Упругой волной называют процесс распространения возмущения в упругой среде.

при этом происходит распространение именно возмущения частиц среды, но сами частицы испытывают движения около своих положений равновесия. Среду будем рассматривать как сплошную и непрерывную, отвлекаясь от ее атомистического строения. Различают волны продольные и поперечные, в зависимости от того, движутся ли частицы около своих положений равновесия вдоль или поперек направления распространения волны.

Уравнение волны. Несмотря на большое разнообразие физических процессов, вызывающих волны, их образование происходит по общему принципу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке А среды в некоторый момент времени, проявляется спустя определенное время на интересующем нас расстоянии от точки А, т. е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого шнура, с которым совместим ось Х. Мы можем представить возмущение е — смещение элементов шнура из положения равновесия — как функцию координаты х и времени Е, т.

е. с =- Ях,т). Легко видеть, что распространение возмущения со скоростью и в положительном направлении оси Х изобразится той же функцией )', если в ее аргумент х и 1 будут входить в виде комбинации (от — х) или (е — х~о). Действительно, такое строение аргумента показывает, что значение функции )', которое она имела в точке х в момент (, будет в дз тьнейшем сохраняться, если ш - х =.: сопя(. Но это так и есть, поскольку именно при этом условии йх~'Йт = и. Итак, любая функция от аргумента (о( — х) или (( — хрв) выражает распространение возмущения со скоростью ш 1О Глава 1 Это и есть уравнение волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х, Волна же, распространяющаяся в отрицательном направлении Х, описывается уравнением '(х,1) = /(1+ х/и). (1.2) Особую роль среди различных волн играет гармоническая волна.

Во многих отношениях это простейшее волновое движение и его выделенность связана с особыми свойствами гармонических осцилляторов. Уравнение гармонической волны имеет вид с(хд) = а соз сз(1 — х/и), (1.3) где а — амплитуда волны, ы -- циклическая (круговая) частота колебаний частиц среды (с '). Эта волна периодична во времени и пространстве, поскольку сама функция периодична и ее период равен 2л. Из периодичности во времени ен11 =. 2я находим Л1 = 2я/~л.

Этот промежуток времени называют периодом колебаний: (1,4) Т = 2к/и. Из периодичности в пространстве и Лх/и = 2л находим Лх = =- 2я и/и -- иТ . Расстояние Лх называют длиной волны 1. Таким образом, длина волны — это расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2я. Другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний Т: (1.5) 1 =- иТ. Поскольку Т=1/и, где г — - частота колебаний (Рц), формулу (1.5) можно представить и так: (1.6) 1= и/ю Уравнение гармонической волны (1.3) принято записывать в симметричном более удобном и простом виде.

Для этого внесем ы в скобку, тогда ы1 — ых/и = ап — йх, Упругие волны где >г = и/о = 2л/Ти, или (1. 7) Величину >у называют волновь>м числом, Тогда уравнение (1.3) примет следующий симметричньш вид: (1. 8) ", = а соз(ь>1 — )гх). Отметим, что фигурирующая выше скорость о — это фаза. вал скорость волны„т. е. скорость, с которой распространяется определенное значение фазы волнь> -- величины в скобках формул (1.1), (1.2), (1.8). Именно фаза характеризует определенное состояние движения частиц среды при прохождении волны. До сих пор предполагалось, что волна распространяется в не- поглощающей упругой среде, поэтому ее амплитуда а = сопзФ. С учетом же поглощения амплитуда волны, как показывает опыт, уменьшается с расстоянием х по закону а = а,е ', где у — коэф фицие>нп затухания волны (м 1), и уравнение волны будет иметь вид: Е, =- а е "соз(м> — Йх).

(1.9) Уравнение плоской волны. Уравнения (1.1), (1.2), (1.8) описывают и плоскую волну в упругой среде. В плоской волне волновые поверхности (где точки среды колеблются в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей. Когда говорят, что плоская волна распространяется вдоль оси Х, то это надо понимать так, что ее волновые поверхности (плоскости) перпендикулярны этой оси. Воли же плоская волна распространяется в произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором и (рис. 1.1), то (1,10) ь — /(1 — >/о) = Д> — гп/о), где гп = хсоза ~ усов() г гсоэу, а, Р, у — углы между вектором и и осями координат.

Для гармонической волны совы(у — пг/о) =сов(е>1 — гпь>/о) и (1.11) ' = а соз(е>1 — )гг), 12 Глава 1 Рас. 1.1 где 11 — волновой вектор: (1. 12) )с = (и!о)п =(2я~Х)п. Заметим, что в отличие от волнового вектора, фазовая скорость и не является вектором: в любом направлении, составляющем угол а с волновым вектором й, скорость перемещения данной фазы равна о/соя а > о (а не о соя а, как должно быть, если бы скорость являлась вектором), Игнорирование зтого обстоятельства неизбежно приводит к различного рода недоразумениям. При распространении волны в поглощающей среде в уравнения (1.10) и (1.11) нужно добавить зкспоненциальный множитель е" = е '"'.

Сферическая и цилиндрическая волны. В однородной изотропной среде продольная волна от точечного источника представляет собой сферически расходящееся возмущение вида ~ = — Л1-гФ) 1 г где г — расстояние от точечного источника. В частности, если источник возбуждает продольные монохроматические колебания, то предыдущее уравнение принимает вид во 1 = — соя(м1 — йг), г где ас — постоянная„ао~г — амплитуда волны. Ее волновые поверхности являются сферическими.

Отметим, что в выражении (1.14) стоит именно )а (волновое число), а не волновой вектор й, как для плоской гармонической волны. Если учитывать поглощение среды, то в формулы (1.13) и (1.14) следует добавить множитель е '". Упругие волны — у(~ — В/и). 1 -Я (1.15) В частности, монохроматическая расходящаяся волна на рас- стояниях гг', значительно превышающих ее длину волны, имеет вид а г, = — - - сов(»ос — ЙВ ), .И (1.16) где а — - постоянная. Цилиндрическая волна, как и сфериче- ская, непременно должна содержать как сгущения, так и раз- ряжения. р 1.2. Волновые уравнения Линейное волновое уравнение.

Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки, и здесь, в области волновых процессов, существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Найдем зту связь для волн типа ' =1(~ — хан). Обозначим фазу волны буквой ~р, т. е. у = 1 — х/и. Тогда Интересно, что при прохождении сферической волны в каждой точке среды всегда наблюдаются как сгущения, так и разряжения (в отличие от плоской волны, которая может состоять только из одних сгущений или разряжений).