И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы' (510774), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Частоты т„называют собственными часлгоглами струны. Частоту г (л=1) называют основной частотой, остальные тз, и, ...— обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, илн гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр). Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты).
Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики. Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом— в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний. Упругие волны 29 Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня (, модуль Юнга материала стержня Е н его плотность р.
Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн н еще четверть волны, т. е. ( = и1/2 + 1/4 = (2и + 1)1/4. Отсюда найдем возможные значения 1„, а затем, учитывая (1.26), н собственные частоты: г„= и/Х„=,~Е/р (2и е 1)/4Д п =0,1,2,... 5 1.6. Эффект Доплера для звуковых волн Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой г. Если источник и приемник покоятся относительно сред»к в которой распространяется волна, то частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частоте г источника. Если же источник, или приемник, или оба движутся относительно среды, то частота г', воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника: г' а г.
Это явление называют эффекя»олв Довлера. Сначала рассмотрим случай, когда источник Я и приемник Р движутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростями и и и' соответственно (относительно среды). Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы с периодом Т = 1/г, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояние Х = иТ, где и — скорость волн в среде,и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояние иТ.
Таким образом, расстояние между им- ь — —,г — х пульсами в среде станет равным Рко. 1.11 У э аТ вЂ” иТ (рис. 1.11), и воспринимаемая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени) зо Гааза 1 Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость о + и', и число воспринимаемых за единицу времени импульсов э+й и+и' У' = э В Т(и — и) э — и (1.59) Нетрудно сообразить, что при движении как источника, так и приемника в противоположных направлениях, знаки перед й и и надо поменять на обратные. Еще раз подчеркнем, что скорости й и и — это скорости приемника и источника относительно среды.
Как видно из приведенных рассуждений, эффект Доплера является следствием «уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника. Формулу (1.59) целесообразнее записать в иной форме, более общей и более простой для запоминания и использования: и — и' у э В э — и, (1.60) В данном случае проекция скорости приемника на ось Х есть и'„ = и', а проекция скорости источника и, =- — и. Под- ставив эти величины в формулу (1.60), получим г'= г(э — и')/(н ь и). Пример 2. Источник 8, испускающий сигналы с частотой г, движется с постоянной скоростью и относительно приемника Р, установленного на башне (рнс.
1.12). При этом воздушная масса где и„' и и„— проекции скоростей приемника и источника на ось Х, проходящую через них и положительное направление которой совпадает с направлением распространения импульсов, т. е. от источника Я к приемнику Р. Прежде чем продолжить обсуждение возможностей выражения (1.60), приведем два простых примера. Пример 1. Источник 3 н приемник Р удаляются друг от друга по одной прямой в противоположные стороны относительно среды со скоростями и н и'.
Частота источника г, скорость снгналов в среде ш Найдем частоту й, воспринимаемую приемником. Упругие волны Рнс. 1.12 перемещается относительно земной поверхности вправо с постоянной скоростью и, (ветер). Скорость звука в воздухе о. Найдем частоту г', воспринимаемую приемником, Имен в виду, что в формулу (1.60) входят скорости относительно среды, запишем: проекция скорости приемника и', = — и,, а проекция скорости источника и = и — ие.
Обе проекции взяты, как должно быть, ва ось Х, направленную вправо. Остается подставить этв проекции в формулу (1.60), н мы получим: и — (-и,) и+и, г'= г— =г- и — (и — и,) и — (и — и,) Вернемся к обсуждению возможностей формулы (1.60). Оказывается, эта формула при определенных дополнительных условиях может быть использована и в более сложных случаях„ а именно, когда источник и приемник движутся не по одной прямой и с изменяющимися во времени скоростями п(1) и и'(1).
В этих случаях необходимо учитывать так называемый эффекта запаздывания. Поскольку скорость передачи сигналов конечна, воспринимаемая приемником частота г' в момент 1 будет обусловлена приходом в этот момент сигналов, испущенных источником в предшествующий момент У =1 — т, где т— время, необходимое для прохождения расстояния 1 от источника в моменту — т до приемника в момент О т. е.
т =- 1!о. В качестве примеров могут служить задачи 1.9 и 1.10. Вместе с тем, в некоторых случаях эффектом запаздывания можно пренебречь — это при условии, что скорости источника и приемника значительно меньше скорости звука (и при разумных расстояниях между источником и приемником). Пусть источник Я и приемник Р движутся, например, так, как показано на рис. 1.13, со скоростями и и и' ч о. Глава 1 32 г х Рис. 1.13 Тогда в формулу (1.60) следует подставить и =и сова, и„' =й сов а'. В приведенном на рисунке случае и„>0, а и'„<О.
В заключение этой главы отметим, что многие вопросы, касающиеся особенностей волновых процессов (отражение, преломление, интерференция, дифракцня, дисперсия и др.) будут рассмотрены далее на примере электромагнитных волн и в разделе «Волновая оптика». Задачи 1.1. Волна смещений частиц среды имеет вид с = а з)п(໠— ()х1 где а, а, () — положительные постоянные. Найти отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны. Р е ш е н и е. Скорость частиц ду~д» = аа соэ(ૠ— ()х), где аа — ам- плитуда скорости (и„).
Скорость волны находим нз условия а»в — ()х - соплу. Продифференцировав это выражение по 1, получим: х = аЯ. Искомое отношение и„,/х = а)). 1.2. Точечный нзотропный источник испускает гармонические звуковые колебания. Найти коэффициент затухания у волны, если амплитуда колебаний частиц среды на расстоянии г от источника в») раз меньше, нежели на расстоянии г».
Р е ш е н и е. Волна, испускаемая точечным источником, сферическая. Ее амплитуда а = (а/г) ехр(-уг). По условию, д = а(г,)а(г) = (г/г») ехр(у(г — г,)). Отсюда у - 1п(«)г»/г)Дг — г,). 1.3 Найти волновой вектор )г плоской волны с частотой»», если ее фазовые скорости в положительных направлениях осей Х, У, Я рав- НЫ Уа У„У». Р е ш е н и е. Волновой вектор )«-)»и, где и — орт нормали к волновой поверхности: и = е„соз а + е„сов() + е, сову, а, )), у — углы между вектором и и ортами осей координат. Остается учесть, что Упругие волны 33 /с - гэ/и, и — фазовая скорость вдоль вектора )г, сова = и/и„ соэ)) = и/и„еоэ у = и/и,. В результате получим: )г сз (е,/и, е е„/и, + е,/и,).
1.4. Поток энергии. Точечный изотропный источник звука мощности Р находится в центре круглого полого цилиндра радиуса В и высоты Ь, Найти средний по времени поток энергии, падающей на боковую поверхность цилиндра, полагая, что его стенки полностью поглощают звук, т. е. нет отражений. Р е ш е н и е. Сначала найдем поток энергии йФ, падающий на бесконечно узкую кольцевую полоску, отстоящую на расстояние з от средней плоскости (рис.
1.14): йФ =/„йв=/совай8 = = (Р/4хг ) сова 2яВйз. (1) Поскольку з = В (ба, йг = В йа/ссз а, Кроме того, г = В/сова. Рис. 1.14 После подстановки выражений для йг и г в (1) получим: йФ (Р/2) сова йа. Остается проинтегрировать это уравнение по а от О до а„ соответствующего краю цилиндра, и умножить на 2, ибо такой же вклад дает и нижняя половина цилиндра. В итоге: Ф = б (, гДъ (2я|и 1.5. Найти звуковую мощность Р точечного изотропного источника, если на расстоянии г от него интенсивность звука равна Х и коэффициент затухания волны у. Р е ш е н и е. Поток звуковой энергии сквозь сФеру радиуса г, в центре которой находится источник, равен Ф=4ягХ=Ае где учтено, что интенсивность Х пропорциональна квадрату амплитуды волны, А — некоторая постоянная, не зависящая от г.
При г= О поток Ф = Ф, = Р. ПоэтомуА = Р, и из(1) следует, что Р = Фе = 4лг Хе Згг З Згг 2 — 6327 Глава 1 34 1.6. Стоячая волна. Стержень длины ( из материала, модуль Юнга которого Е и плотность р, закреплен на одном конце, другой — свободен. Найти число Ф продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от т, до гя Р е ш е н и е. Поскольку закреплен только один конец, то это значит, что на нем будет узел, а на свободном конце — пучность. Следовательно, на длине стержня должно укладываться, вообще говоря, целое число полуволн и одна четверть волны: 1 тЛ/2 + 1/4 = (2т + 1) Л/4, т - 0,1,2,... Длина волны Л = э/т, где и =./Е(р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
