И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 9

Отсюда р = д('г, — г ) = 4(а,— а ), и если заряд, например д, покоится, а движется только заряд -д, то р= — да . После подстановки этого выражения в формулу (2.41) найдем: (2.44) где а — тот же коэффициент, что и в формуле (2.41). Это знаменитая формула для мощности излучения заряда, движущегося с ускорением. Индексы з и Р показывают, что Электромагнитные волны мощность Р в момент ~ определяется ускорением заряда, которое он имеет в более ранний момент Р =г — )/с (эффект запаздывания). И еще, формула (2.44), как следует из теории, справедлива лишь для зарядов, движущихся с малыми скоростями (р «с).

В качестве примера можно привести заряженные частицы, движущиеся в циклических ускорителях (бетатроне, циклотроне и др.). Здесь обнаруживается естественный предел для энергии ускоряемой частицы, когда энергия, сообщаемая частице за период, становится равной энергии излучения. Другой пример — излучение электрона в атоме. По классическим представлениям электрон в атоме совершает колебания, т. е. движется с ускорением и, значит, излучает. Расчет показывает, что время т, за которое амплитуда колебаний электрона уменьшается в е раз, порядка 10 з с.

Это время называют средним временем жизни возбужденного атома, или временем излучения. Точный (квантовый) расчет приводит практически к тому же значению этого времени. Следует обратить внимание на то, что заряд, колеблющийся с частотой ю, излучает монохроматическую электромагнитную волну с той же частотой ю. Если же заряд движется с произвольным ускорением, то его излучение представляет собой спектр различных частот. И последнее, заряд, движущийся в вакууме с постоянной скоростью, не излучает. В этом легко убедиться и непосредственно.

Достаточно перейти в систему отсчета, где заряд покоится (а такой заряд не излучает) и затем воспользоваться принципом относительности: если этого явления (излучения) нет в одной системе отсчета, его нет и в других, по отношению к которым заряд движется*. * Это относится только к движению в вакууме. Если же заряд движется с постоянной скоростью в среде, то в случае, когда его скорость превышает фазовую скорость злектромагнитнык волн в атой среде, наблюдается излученке Воеклоео-Черенкоео (см. Приложение). Глаза 2 Задачи 2.1. Плоская электромагнитная волна Е = Е„соз(с>< — )<г) распространяется в вакууме. Найти вектор Н как функцию времени в точке с радиусом-вектором г = О.

Р е ш е н и е. Искомый вектор Н = Н„созе>д где Н„можно найти из условия, что векторы Е„, Н и )< составляют правую тройку, откуда Н„1'1'()<Е„]. Кроме того, .)з»Е„= „/и, Н„. Поэтому Н„= Н„е», где е„— орт вектора Н, равный ()<Е ]/АЕ„, и, следовательно, Н =.Яр,Е„()<Е,„']/)<Е .

В результате получим: Н = — — ()<Е,„]созек )< н 2.2. Вектор Пойнтинга. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда электрической составляющей которой равна Е . Найти среднюю за период колебаний плотность потока энергии. Р е ш е н и е. Модуль вектора Пойнтинга, Я - ЕН, с учетом (2.14) примет вид Я = ]а (~~,Е' сов' юа Отсюда <Я> = /зэл<.Е.>2, где принято во внимание, что <сов з>г> = 1>2. 2.3. В вакууме вдоль оси Х распространяются две плоские электромагнитные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону Е, = Еэсов(с>) -)<х) и Ез = Езсоэ(с>г — )рх+ <р).

Найти среднее значение плотности потока энергии. Р е ш е н и е. Исходим из соотношений Я = ЕН и,)зэЕ = ~р эН. Отсюда <Я> = э/зэ/р з <Е'>, где в любой точке Е = Е соз з>г (начальная фаза Е„ не существенна). Найдем Е'. Согласно Е» векторной (или фазовой) диаграмме эта амплитуда вектора Е является суммой ф векторов Е„разность фаз между которыми равна <р (рис.

2.9). Из теоремы косинусов имеем Е' = 2(1 + созе)Еэ. В реРяс, 2.9 зультате искомая величина <Я> =,~Йа4хо (1 + сов'т)Ео где учтено, что <сов' с>г> = 1/2. Электромагнитные волли 2.4. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны, одна — вдоль оси Х, другая — вдоль оси у: Е, = Е,соз(с>г — /<х), Е, = В,сов(с>г — )<р), где вектор Е,направлен параллельно оси 2. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости у = х. Р е ш е н и е. В плоскости у = х векторы Е, и Е, будут колебаться в фазе с амплитудой Е„- 2Е,.

Векторы же Н, и Н, — тоже в фазе, но под углом з/2 друг к другу, поэтому амплитуда результирующего вектора Н„= Г2Н„где Н, связано с Е, соотношением ,/>< зН, = ~~Е,, Поэтому среднее значение плотности потока энергии в плоскости у - х равно <Е> = <2Ео'На "/2> = >(<2~ФаЕэ» где учтено, что <соз <эг> = 1/2. 2.5. Стоячая волна. Пусть электрическая составляющая стоячей элек- тромагнитной волны имеет вид Е„= Е соз/гх сов<за Найти с помощью уравнений (2.12) выражение для магнитной составляющей этой волны Н (х,г).

Р е ш е н и е. Согласно второму уравнению (2.12), дН,/дх = — з дЕ„/ЗГ = сг,с>Е сов)<х в1пми Проинтегрировав это выражение по х, получим: Н, = зс,оЕ з(пйх з)пс>г е сопвс, где и = с>/)< = 1/ (сззр)<,. Нас интересует только переменное поле, поэтому сопз$ = О. Учитывая связь (2.19) между амплитудами Е и Н„, найдем: Н, = Н,„зшах з1пс>г, т. е.

Н, имеет вид тоже стоячей волны, но сдвинутой в пространстве (по х) на четверть волны и по времени — на четверть периода. 2.6. Эффект Доплера. Радиолокатор работает на частоте кк Найти ско- рость и приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика и отраженными от самолета равна ~Ь (в месте расположения локатора). Р е ш е н и е.

Здесь мы имеем дело с нерелятивистским эффектом Доплера. Частота сигналов, воспринимаемая самолетом как при- Глава 2 56 емником, к которому приближается локатор, согласно (2.30), рав- на у уО/(1 о/с) гэ(1 + о/с) поскольку с, = о. Сигналы такой же частоты г самолет и отражает — уже как движущийся источник. Поэтому приемник локатора принимает сигналы с частотой г'= г(1+ и/с) = г,(1+ о/с) ч г,(1+ 2о/с). Частота биений й = г' — г, = 2гээ/с. Отсюда с = сбг/2гр. 2.7.

С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный свет светофора, )ч ь 0,70 мкм, воспринимался как зеленый, )ч ч 0,55 мкм (анекдот о Вуде)2 Р . Г Э.ЗС, » /С ЩТ-Э, ~ Отсюда В результате находим о = ()с ~ 7 10 км/с! 2.8. Эффект запаздывания. Источник Я„испускающий электромагнитные сигналы с частотой г„движется с релятивистской скоростью о по прямой, отстоящей на некоторое расстояние от неподвижного наблюдателя Р (рис.

2.10). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда: а) источник окажется в точке О; б) наблюдатель увидит его в точке О. этот момент в точку Р должны прийти сигналы, испущенные источником Я левее точки О, когда его скорость составляла некоторый угол а с прямой БР. Этот угол должен удовлетворять условию сов а = от/ст = и/с, где т — время, за которое источник из точки В достигнет точки О. За это же время сигналы достигнут Р. Тогда, согласно (2.34), Р е ш е н и е. а) В Я О 1 1 ! ь Р Рис. 2.10 Электромагнитные волны 59 б) В этом случае будет наблюдаться чисто поперечный эффект Доплера: г = ге~1 — [) .

2.9. Излучение диполя. Электромагнитная волна, излучаемая диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном оси диполя, на расстоянии г от него интенсивность равна 1,. Найти среднюю мощность Р излучения диполя. Р е ш е н и е. Прежде всего найдем мощность дР излучения, проходящего через кольцевую полоску дЯ на сфере радиуса г (рис. 2.11).

Площадь этой полоски равна произведению ее длины 2кгз1п 3 на ширину гд3. Учитывая, кроме того, что, согласно (2.40), интенсивность под углом 9 относится к интенсивности под углом 3 ЯО' как 1/1, = зш 3, запишем ЙР = ИЗ = 1, зш 9.2кгз1п 3 гб9. Рнс. 2.11 Проинтегрировав это выражение по 9 от О до а, получим: Р (йя!8 гЧ,.

2.10. Постоянный по модулю электрический диполь Р вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя. Р е ш е н и е. Согласно (2.41), вопрос сводится к определению второй производной вектора р по времени. За время бг модуль приращения ветора р равен ]йр! Рыб), значит др [сор]бГ и р = [юр]. Из последнего равенства видно, что при вращении постоянного по модулю вектора р его производная по времени р определяется как векторное произведение оэ на вектор р. Это справедливо для любого вектора, в частности и для )) .

Его производная по времени, т. е. [) =[юр]=[ю[юр]], или по модулю ! р ) = оз'р. После подстановки этого выражения в (2.41) получим Р = (р,/6яс)р'со'. Глава 3— Вступление в 3.1. Световая волна Шкала электромагнитных волн. В этом разделе будет рассмотрен круг явлений, в основе которых лежит волновая природа света. Различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны, оптический диапазон, рентгеновское и гамма-излучения.

В дальнейшем нас будет интересовать главным образом оптический диапазон длин волн. Его подразделяют на инФракрасное излучение......... Х = 1 мм —: 0,76 мкм, видимое излучение (свет)........ Х = 0,76 —: 0,40 мкм, ультрафиолетовое излучение.... Х = 0,40 сь 0,01 мкм. Соответствующие длины волн указаны в вакууме. Кривая видности.

В видимом диапазоне действие света на глаз (световое ощущение) весьма сильно зависит от длины волны. Чувствительность среднего нормального человеческого глаза к свету разной длины волны характеризуют кривой видности (более точное название — кривая относительной спектральной чувствительности). Ее график показан на рнс. 3.1, где Ъ'ь — относительная спектральная чувствительность. Наиболее чувствителен глаз к свету с длиной волны 555 нм (зеленая часть спектра). Для этой длины волны принято 1'„1.