И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы' (510774), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.12 Р е ш е н и е. Пусть Я вЂ” точечный источник света и Я' — его изображение (рис. 3.12). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из Я и собравшихся в Я', должны быть одинаковы. Проведем дуги окружностей из центров Я и Я' радиусами ЯО и Я' М. Тогда оптические пути РИ и ОВ должны быть равны: и РЯ=я'ОВ. Для параксиальных лучей РМ = АО + ОС. Найдем последние два отрезка. Сначала АО: из рисунка видно, что ге =(ЯР) — (ЯА)з = = (ЯР+ ЯА)(ЯР— ЯА) = 2( — з)АО, откуда АО = г'/( — 2з).
Аналогично ОС =г '"ДВ. Отсюда находим сумму АО + ОС, т. е. РМ. В свою очередь ОВ = ОС вЂ” ВС = г'~Д — гп йэ'. Подставив это выражение в (1) и имея в виду, что г' ь г, получим искомое соотношение. 3.9. Тонкая линза. Найти с помощью формулы преломления на сферической границе раздела (см. предыдущую задачу) формулу тонкой линзы в воздухе. Р е ш е н и е. Применим указанную формулу последовагельно для передней и задней поверхностей линзы. Для передней поверхности (рис. 3.13), полагая, что за ней всюду среды с показателем преломления п, запишем: я 1 и — 1 В, Для задней поверхности линзы источник Я, находится справа (он мнимый), и мы имеем: 1 и 1-л где з„> О, а Л, сО (в соответствии с правилом знаков). Вступление Рнс, 3.13 Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что толщина линзы г( пренебрежимо мала, получим: 3.10.
Найти построением продолжение хода луча за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 3.14, где 00' — главная оптическая ось, Р и Р' — передний и задний фокусы линзы). Обратить внимание на то, что фокусные расстояния, переднее и заднее, разные. 0 0 0 Рве. 3.14 Р е ш е н и е. а) Прежде всего отметим, что переднее фокусное расстояние больше заднего, а это значит, согласно (3.18), что показатель преломления среды слева от линзы больше, чем справа, и > и'. Ход построения: вспомогательные лучи изобразим штриховыми линиями н последовательно перенумеруем (рнс.
3.13, а), — зто позволяет легко восстанавливать последовательность самого построения. Следует обратить внимание на то, что луч, падающий параллельно заданному лучу и проходящий, не преломляясь, через линзу и изображение Я', определяет положение замечательной точки К (ее называют узловой), которая играет роль оптического центра линзы: любой луч, проходящий через точку К, не преломляется линзой, например, луч КК'.
Луч же, проходящий через центр линзы (здесь он ие является оптическим центром), преломляется, что легко проверить с помощью построения. Для точечного источника, помещенного в точку К, линзы как бы нет. Глава 3 о' о Р .зрб б) Здесь, согласно (3.18), справа от линзы показатель преломления среды больше, л' > л. Ход построения показан на рнс. 3.13, 6. Вспомогательный луч 1, параллельный падающему и проходящий через передний фокус Р (он справа от линзы), должен за линзой стать параллельным оси 00', это луч 2.
Его точка пересечения с задней фокальной плоскостью 3 (она слева от линзы) определяет положение мнимого изображения — точки Я'. Продолжение исходного луча за линзой должно проходить через точку Я' — луч 4. Положение узловой точки К найдем, проведя через точку Я' прямую, параллельную исходному лучу. Точка пересечения этой прямой с оптической осью ОО' и есть точка К. Любой луч, проходящий через эту точку, линзой не преломляется (например, луч КК').
Интерференция света р 4.1. Интерференция световых волн Интерференция это одно из явлений, где проявляются волновые свойства волн. Когерентность. Рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн одинаковой частоты, которые А возбуждают в интересующей нас точке Ас пространства колебания одинакового направления с амплитудами Ас и Аг. Если 5 разность фаз этих колебаний равна 5, то возникает результирующее колебание с амплитудой А, которую легко найти с помощью векторной (или фазовой) диаграммы (рис.
4.1) и теоремы косинусов: А =.А, + А, + 2А,Аг соз 5. (4.1) Если оба колебания не согласованы друг с другом, т. е. разность фаз 5 как-то изменяется во времени, то такие колебания называют некогерентными. В том случае, когда 5 непрерывно изменяется, причем так, что принимает с равной вероятностью любые значения, среднее по времени значение <сов 5> = О, последнее слагаемое в (4.1) обращается в нуль и остается А = А, + Аг. Принимая во внимание, что интенсивность 1 пропорциональна квадрату амплитуды, 1гоА, можно записать 2 (4.2) 1= 1с+ 1з. Это значит, что в данном случае интенсивность результирующего колебания равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности. Если же разность фаз 5 постоянна во времени, то такие колебания (и волны) называют когерентными.
В случае суперпози- вг Глава 4 ции когерентных волн интенсивность результирующего колеба- ния, согласно (4.1), 1 =1, + 1, + 2ч(1,~', сов Б. (4.3) Последнее слагаемое в этой формуле и в (4.1) называют интерференционным членом. Рассмотрим его влияние на результирующую интенсивность. В точках пространства, где сааб > О, 1 > 1з + 1з, там же, где сов 3 < О, 1 < 1, + 1г. Другими словами, при суперпозиции когерентных волн происходит перераспределение интенсивности 1 в пространстве: в одних местах возникают максимумы, в других— минимумы интенсивности.
Это явление называют интерференцией волн. Особенно отчетливо (контрастно) интерференция проявляется тогда, когда 1~ = 1г. Тогда, согласно (4.3), 1 = 41з в максимумах и 1 =- О в минимумах. Для некогерентных волн при 1з = =1з интенсивность 1 всюду одинакова и, согласно (4.2), 1 = 21г Основной принцип интерференционных схем. Интерференция характерна для волн любой природы и сравнительно просто наблюдается на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Дело в том, что свет, испущенный обычными (не лазерными) источниками, не бывает монохроматическим.
Такой свет можно рассматривать как хаотичную последовательность отдельных цугов синусоидальных волн. Длительность отдельного цуга порядка 10 э с, поэтому при наложении световых волн от разных источников фазовые соотношения между световыми колебаниями многократно изменяются случайным образом.
Источники оказываются некогерентными и достаточно устойчивой картины интерференции не возникает (сменяющие друг друга с весьма большой частотой картины интерференции в дальнейшем нас интересовать не будут, их регистрация требует специальных мало инерционных приемников). И тем не менее, когерентные световые волны можно получить даже от обычных источников. Общий принцип их получения таков: волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или иным способом на две части и затем накладывают их друг на друга иодходящим способом, ИнтерФеренция света Если разность хода этих волн от источника до точки наблюдения не превышает некоторой характерной длины*, то случайные изменения амплитуды и фазы световых колебаний в двух волнах происходят согласованно (когерентно), и мы будем наблюдать интерференционную картину, например систему чередующихся светлых и темных полос. Как будет видно в дальнейшем, образовавшиеся после разделения волны во всех интерференционных схемах можно представить как бы исходящими из двух точечных источников Яг и Яз (действительных нли мнимых — зто не существенно), 11оэтому общий подход к интерпретации получаемых результатов будет единым, с него мы и начнем.
Рвс. 4.2 Рассмотрим две волны, исходящие из когерентных источников Я и Яз (рис. 4.2). В области, где эти волны перекрываются — ее называют зоной интерференции — должна возникать система чередующихся максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране Э. Обозначим разность расстояний гз и г, от источников до интересующей нас точки Р как Л =- гз — гп Эту величину называют разностью хода. Если разность хода равна целому числу длин волн, т. е. Л = тХ, т = О, + 1„+ 2,.„, (4.4) где т — порядок интерференции, то колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе.
Таким образом, (4.4) есть условие возникновения интерференционных * Ее пааывают длоноя вогереяюносюо, по об етом более подробво в следующем параграфе, Глава 4 84 максимумов. В точках же, для которых Ь равно полуцелому числу длин волн, образуются минимумы. В случае, когда волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления и, в формуле (4.4) под А следует понимать не геометрическую, а оптическую разность хода интерферирующих волн: Ь = п(гз — г,). При этом Л— это по-прежнему длина волны в вакууме. Ширина интерференционной полосы. В практически важных случаях, угол 0 4 1 (см. рис.
4.2) и разность хода Ь можно записать как А =«( О, где Ы вЂ” расстояние между источниками 31 и 8в. А так как 0 = х/(, где ? — расстояние от источников до экрана, то для максимумов, согласно (4.4), получим е( х /( =тЛ, откуда (4. 5) х = тЛ?/д. В точке х = О расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода. Для него порядок интерференции т = О. Это центр интерференционной картины.
При переходе к соседнему максимуму т меняется на единицу и х — на величину Ах, которую называют шириной интерференционной полосы. Таким образом, ~Ьх =? ?/е(1 или [Ьх = Л/у,~ (4.6) где у — угол, под которым видны оба источника из центра экрана, у = д/( (см. рис. 4.2). Из этих формул видно, что для увеличения ширины полосы следует увеличивать |, или уменьшать д, или то и другое„т. е. в конечном счете — уменьшать угловое расстояние ~у между источниками. Полезно иметь в виду, что размер интерференционной картины обычно не превышает 1 мм, это при расстоянии от источников до экрана порядка нескольких десятков сантиметров. Практически для получения более яркой интерференционной картины в качестве источников З~ и 8з используют две щели (или изображения исходного источника — щели 8)„и ннтерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных данным щелям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
