И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 4

Для характеристики этого обстоятельства вводят понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку„перпендикулярную к направлению переноса энергии: (1.47) )' = ИФ~г(Я,, Упругие ееииы где йФ = йй'/йг, а йй' — это энергия, заключенная внутри косого цилиндра (рис. 1,7) с основанием площадью йЯ и образующей длиной ий), где о — скорость переноса энергии (возмущения). Размеры этого цилиндра должны быть настолько малы, чтобы во всех его точках плотность энергии аг была бы одинаковой. Тогда йИ' =- <ой)г, йК вЂ” объем данного цилиндра, и мы можем записать: йг Рие.

1.7 йи = йейЯ .а= йейЯ,. С учетом этого соотношения выражение (1.47) примет вид: (1.48) )=пгч, (1.49) где ч — вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данном месте, Для гармонической волны ч = (пг/)г)п. В случае монохроматической волны вектор 1, как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса (1.44). Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (1.45) можно записать как 1 г г <11 = — ра и и. 2 (1.50) Это выражение справедливо для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др.

Среднее по времени значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны: Х = </ь Зная вектор Умова во всех точках интересующей нас поверхности Я, можно найти поток энергии сквозь эту поверхность. Для этого разобьем мысленно поверхность Я на элементарные участки йЯ. Поток энергии через этот участок, согласно (1.47), есть йФ =)йЯ„=)йЯсоза =)йЯ =)„йЯ, Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова ): Глава 1 где у„— проекция вектора ) на нормаль и к элементу поверхности <(Я (см.

рис. 1. 7). Тогда полный поток энергии сквозь поверхность Я Ф = ) ) ЙЯ = ) у„<(Я, (1.51) здесь <(8 = и<<Я. Выражение (1.51) означает, что поток энергии равен потоку вектора ) сквозь эту поверхность Я. Пример. Убедимся, что амплитуда а сферической волны действительно пропорциональна 1<г.

Для этого найдем среднее значение потока энергии сквозь волновую поверхность радиуса г. Поскольку во всех точках этой поверхности <1> одинаково, то определение среднего потока сводится просто к умножению <)> на площадь сферы: <Ф> = <1> 4яг со а>г~. Если энергия волны не поглощается средой, то <Ф> не должно зависеть от г, а значит а>г> = сопзп Отсюда н следует, что а, со 1<г. Необходимо отметить, что полученное выражение (1.49) справедливо только для бегущей волны.

Если же мы имеем дело с более сложным образованием — суперпозицией (наложением) нескольких продольных волн, выражению для вектора Умова (1.49) следует придать другой вид: (1.52) ) = — оп, где о — напряжение (или избыточное давление), и — скорость частиц среды (не скорость волны!). Это выражение справедливо для жидких и газообразных сред, для твердых же сред, строго говоря, — только в случае тонкого стержня или тонкой пластины. Выражение (1.52) можно получить так. Пусть возмущение распространяется, например, в положительном направлении оси Х. Тогда векторное равенство (1.49) в проекции на ось Х примет вид ), = юо. Так как, согласно (1.43), ю =ргм и и =.,/Е/р, то Упругие волпы Выражение в последних скобках, согласно (1.19), равно -д~/дх (для волны, распространяющейся в положительном направле- нии оси Х). Значит д~ д~ = — Š— — = — аи„ дх дг (1.53) откуда и следует (1.б2). Отметим, что для волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х, в любой момент величины а и и, противоположны по знаку и значит все время /„> О, как и должно быть в данном случае.

5 1.5. Стоячие волны Уравнение стоячей волны. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой ог и амплитудой а распространяются в противоположных направлениях оси Х: г1 =асов(и~у — йх) и гг =асов(юг+ йх).

Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и координаты выбраны так, чтобы добавочные фазы а и аз были равны нулю. Суперпозиция этих волн дает: г,=~г + г,г =Асовйх сов агг, где А = 2а. (1 б4) Зто и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. ог, а амплитуда равна ~А сов йх~ и, в отличие от бегущей гармонической волны, зависит от х. В точках, где ~совйх~ =1, мы имеем максимумы — пуп ности, а где сов йх = О, — минимумы— узлы. Период ~совйх~ равен л, поэтому йбх = и и Лх =п/й = й/2.

Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны (рис. 1.8, где показаны крайние смещения г, через половину периода). 26 Глава 1 Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на л, т. е.колебаиия по разные стороны от узла (в пределах полуволиы) происходят в противофазе.

Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси Х. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (1.54), и называют стоячей волной. Энергия стоячей волны. Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (1.54) выражение для скорости ~ частиц среды и ее относительной деформации е =дс/дх: ~ = — Ам совах з1пм1, с = — Ай з!пйх созсо1. (1.55) Видно, что обе величины, ~ и е, тоже стоячие волны, причем оии сдвинуты относительно друг друга по фазе на л/2 — как в пространстве, так и во времени.

Кроме того, узлы и пучности скорости (, частиц среды совпадают с узлами и пучиостями их смещения с. Узлы же и пучности деформации з совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рис. 1.9 для моментов 1.= О и 1 — — Т/4, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент 1 = О, когда г, и з становятся максимальными, скорость с обращается в нуль, и наоборот (1= Т/4). Соответственно происходят превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис.

1.10 показано распределение плотности энергии в момен- Упругие волны О О Рис, 1.9 ты 1 = О и 1 = Т/4. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю. О Рнс.

1.10 Пример. В тонком стержне установилась продольная стоячая волна вида / = а з(п))х з)поза Найдем проекцию вектора Умова на ось Х, взятую вдоль стержня. Воспользовавшись формулой (1.52), запишем: /, = — Š— — = — Е(а/гсов/гх е(пюг) (аы в1п/гх соотг) = д~ дс дх дг 1 = — — Еа /ко в(п2/гх в!п2о>к 4 Видно, что /, периодически меняет знак, а значит вектор )— направление. Но в любом сечении </,) = О, а в сечениях, где 2/ох =- пк, л — целое число, /„= О постоянно.

Эти сечения отстоят друг от друга на 1/4. 2з Гаева 1 Колебания струны (стержня). В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение с все время должно равняться нулю.

Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны ) должно укладываться целое число л полуволн: 1 = л 3(2. Из этого условия находим возможные длины волн: Лл = 2(/л, л = 1,2, (1.56) Соответствующие частоты У У г„= — = — л, Л„2г (1.57) где о — фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой р натяжения струны и линейной плотностью рп т. е. мас- сой единицы ее длины.