И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 7

Теперь рассмотрим пример, относящийся к формуле (2.14) — тоже на связь амплитуд электрической н магнитной составляющих волны, но не в скалярном, а в векторном виде. Пример. В вакууме распространяется гармоническая плоская электромагнитная волна, электрическая составляющая которой имеет вид Е - е,Е сов (мФ вЂ” кг). Найдем вектор-амплитуду магнитной составляющей этой волны, Н . Видно, что данная волна распространяется в направлении вектора й. Значит, три вектора, Е, Н, й должны составлять правовинтовую систему (см.

рис. 2.1). Отсюда следует, что вектор Н должен быть сонаправлен с вектором [кЕ], направление которого совпадает с ортом [п,е,),где ортпг и/в. Остается найти модуль вектора Н , т. е. воспользоваться формулой (2.14): Н„ = Д3, Е„. В результате получим: Н„= [в„е,],/я /р, Е . В 2.3. Стоячая электромагнитная волна В 2 1.5 было показано, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится н к электромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнитная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно ортогональными векторами Е и Н.

Влектромагккткме колям Пусть волна распространяется в положительном направлении оси Х и описывается уравнениями Е„= Е„соз(вг — йх), Н, = Н„соз(ы — йх). (2.16) Уравнения волны, распространяющейся в обратном направлении, можно получить из (2.16), если заменить в скобках минусы на плюсы и учесть, что векторы Е, Н, )с должны составлять правую тройку. Это поясняет рис. 2.3, где слева (а) Е и Н меняются в фазе — волна (2.16), а справа Е и Н вЂ” в противофазе (во встречной волне).

Последнее означает, что перед Е или Н должен появиться знак минус. Итак, уравнения встречной волны будут иметь вид: Е„= Е соз(вг + йх), Н, = — Н соэ(сог + йх]. (2.17) В результате суперпозиция этих двух встречных волн, (2.16) и (2.17), получим: Е„=2Е„соэйх.созсог, Н, =2Н„з1пйх.з1позк (2.18) Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн — электрической и магнитной.

Видно, что в этой волне колебания векторов Е и Н сдвинуты по фазе на л/2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент Е„во всех точках имело максимальное значение и при этом Н, = О, то через четверть периода картина будет обратной: Н, достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на 1/4, а Е„обратится в нуль. Та- б) Рко.

2.3 Глава 2 Но= 77 4) Рао. 2.4 Е.,т(зэо =Н .~РРо. (2.19) 5 2.4. Энергия электромагнитной волны С электромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии можно найти с помощью Формулы (1.48) как произведение плотности энергии ю на скорость волны о. В обычной изотропной среде с проницаемостями е и Р плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей: г ее Е РР,Н Ш= ' + 2 2 (2.20) В данной среде справедливо соотношение (2.14) между Е и Н, а это означает„ что плотность электрической энергии в бегущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому (2.20) можно записать так: и'=зэоЕ =.~эзоРРо ЕН =ЕНФ (2.21) где о — скорость волны, (2.7).

ким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое и т. д. (рис. 2.4). Поскольку колебания векторов Е и Н происходят не в Фазе, соотношение (2.14) оказыватеся справедливым только для амплитудных значений Е и Н стоячей волны: Эвектромвгвктяые волкы Умножив гс на и, получим плотность потока энергии: (2.22) Векторы Е и Н взаимно ортогональны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Значит, направлеяие вектора [ЕН) совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен Ео. Поэтому вектор плотности потока электромагнитной энергии Я можно представить как (2.23) Вектор Я называют вектором Пойнтинга.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (2.16) плотность энергии, согласно (2.21), равна гс = яяв Е соя (аг — Фх). Плотность же потока энергии, как следует из (2.22), 8 = гси = /Язв1РРв Е" созг(юг — )гх), (2.24) где учтено, что скорость и определяется формулой (2.7). Интенсивность 1 такой волны равна,по определению, среднему значению плотности потока энергии: 1 = <Яь Принимая во внимание, что при усреднении (2.24) среднее значение квадрата косинуса равно 1/2, получим (2.2б) Обратим внимание, что 1 пропорционально квадрату амплитуды,1сс Е„. Пример. В вакууме распространяется плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна частоты а. Интенсивность волны равна 1.

Найдем амплитудное значение плотности тока смещении в этой волне. По определению, плотность тока смещения ) = ЭР/дг, где Р = г,Е. Пусть Е = Е„сов(ег — вх), тогда амплитудное значение плотности тока смещения 1,„= ввшЕ. Остается найти Е„. Это делается с помощью формулы (2.25): Глввв 2 Е„ = ~21тд«/г,, и мы получим иэ предыдущих двух формул, что 1,„„.„, = а Г2г 1/с, где с = 1/,)е«р «.

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чисто электрической, имеющей максимумы в пучностях Е, в магнитную с максимумами в пучностях вектора Н, т. е. смещенным в пространстве на )»/4. Это аналогично поведению гармонического осцнллятора, например математического маятника, где энергия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Отметим, что если волна представляет собой наложение двух бегущих волн со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации (направлением колебаний вектора К), то ее интенсивность независимо от особенностей этих волн будет равна сумме интенсивностей складываемых волн.

Действительно, Е = Ез+Ез, а интенсивность 1о»<Е 1 =(Е, + 2Е Е, + Ев>. Поскольку Е1 1 Ез, скалЯРное пРоизвеДение ЕгК2 = О, н мы имеем 1 = 1 +12. 5 2.5. Импульс электромагнитной волны Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса. Согласно теории относительности, импульс объекта с нулевой массой покоя, движущегося со скоростью света, р = И'/с, где и' — его энергия (это по-существу верно и для электромагнитной волны как потоку фотонов).

Поскольку в случае электромагнитной волны масса покоя «объекта» равна нулю, связь между энергией и импульсом будет такой же: (2.2б) р = ю/с, где р и и» вЂ” плотности импульса и энергии, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножив числитель и знаменатель правой части равенства (2.26) на с, получим в числителе, согласно (2.22), плотность потока энергии (»эс), которая в свою очередь равна модулю вектора Пойнтинга. Таким образом, в векторном виде р = [ЕН1/сз.

(2.27) Эзектроыагкитвые воквы Если падающая нормально на поверхность некоторого тела электромагнитная волна полностью поглощается этим телом, то единице площади поверхности тела сообщается за промежуток времени ЙГ импульс, заключенный в цилиндре с площадью сечения, равной единице, и высотой сот, т. е. т(р - (и/с)сок Но импульс, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, с)р/Ю, равен давлению р на поверхность тела. Поэтому для поглощающей поверхности давление р* и, Н/м~. В случае гармонической волны зта величина пульсирует с достаточно большой частотой, и практически представляет интерес лишь ее среднее значение по времени: (2.28) Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.

Рассмотрим более детально механизм передачи импульса телу, т. е. как возникает давление. Электрическое поле волны возбуждает в теле ток плотности ) = оЕ, а магнитное поле волны будет действовать на ) в соответствии с законом Ампера — с силой, объемная плотность которой равна (2. 29) У =()В) = п[ЕВ1 откуда следует, что сила направлена в сторону распростране- ния волны. Надо иметь в виду, что электромагнитная волна оказывает давление не только внутри вещества (при условии, что удельная проводимость и к О), но и при отражении от поверхности, так что (2.30) р' =<ил(1+ В)„ где  — коэффициент отражения, т. е.

отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей. Давление, вычисленное по формуле (2.28), оказывается в обычных условиях очень малым. Например, солнечный свет оказывает давление порядка 10 ~ Па (атмосферное давление = 10з Па). Измерить такое давление экспериментально очень трудно. Впервые это удалось П.

Н. Лебедеву (в 1900 г.). Его измерения дали значение, согласующееся с теорией с точностью до 20%. Позднее эти измерения повторил Герлах (в 1923 г.), достигнув точности до 2%. Глава 2 48 Тот факт, что электромагнитное поле обладает импульсом, предписывает при составлении баланса импульсов частиц учитывать и импульс электромагнитного поля. Только при этом с законом сохранения импульса будет все в порядке. 5 2.6. Эффект Доплера для злектромагннтных волн Рассмотренное в 2 1.б изменение частоты звуковых сигналов, обусловленное эффектом Доплера, определяется скоростями движения источника и приемника относительно среды, являющейся носителем звуковых волн.