И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 3

Другой важный вид симметричной волны — цилиндрическая, расходящаяся например от источников, равномерно распределенных вдоль оси в однородной среде. Структура цилиндрической волны значительно сложнее сферической, и ее форма не повторяет временного поведения функции источника, как в случае сферической, — волна тянет за собой длинный »шлейф». И только на больших расстояниях Л от источника (больших по сравнению с характерным параметром данной волны) ее можно представить в виде 14 Глава 1 о» д» др „, д» д» д~р,( 1) д( Ьр де " ' дх др дх Сопоставив полученные выражения, получим д» 1 д» (1.18) дх и д( Это уравнение справедливо, к сожалению, только для волн, распространяющихся в положительном направлении оси Х. Для волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси Х, справа, как нетрудно проверить, должен стоять знак «+».

Таким образом, можно написать д» 1 сх и д( (1.19) где знаки « — » и «+» относятся только к тем волнам, которые распространяются соответственно в положительном или отри. цательном направлении оси Х. Уравнение (1.19) является простейп»им вол»»овь»м уривнени. ем. Во многих случаях оно оказывается весьма полезным. Выясним физический смысл производных, входящих в это волновое уравнение.

Производная по времени д»/сн = и„— это проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия, а ЭЕ/дх = с — относительная деформация сред»и Последнее надо пояснить. Выделим мысленно малый (по сравнению с изменением профиля волны) цилиндрический элемент среды Лх (рис. 1.2) д«х вдоль направления распространения волны.

При прохождении продольной волны этот элемент будет съэещаться и деформироваться. На»+д«л» пример, левый его торец перемес- Рис. 1.2 тится на», а правый — на»» Л». По определению, относительная деформация с=)пп-- =--— Л» д о-»» Лх дх (1.20) Упругие воляы Эта величина алгебраическая, она может быть больше нуля (растяжение), равна нулю и меньше нуля (сжатие). Пример. Продольная волна распространяется в длинном стержне (ось Х). В некоторый момент смещения частиц из положения равновесия с(х) имеют вид как на рис. 1.3.

Зная, что волна распространяется в положительном направлении оси Х, найдем (качественно) зависимость скорости частиц среды в этот момент от координаты х. д~/дх Ркс. 1.3 )Ыы зааем, что дС/дс зависит от дб/дх, согласно уравнению (1.19). Имея в виду, что производная дс/дх в каждой точке характеризует наклон (или крутизну) кривой С(х), изобразим график д" /дх как функцию х (штриховой линией). Поскольку волна распространяется в положительном направлении оси Х, в уравнении (1.19) должен быть знак «-». Это означает, что график дС/д)(х) будет «зеркальным» по отношению к графику Щдх. Он изображен точечной кривой. Общее волновое уравнение. Уравнение (1.19) соответствует волне, распространяющейся или в положительном направлении оси Х (знак « — »), или в отрицательном (знак «+»).

Можно однако получить уравнение, справедливое для волны любого направления, а также и для суперпозиции таких волн. Для этого продифференцируем выражения (1.17) еще раз по ( и по х соответственно: д-'; д ( дб~ д, Х'„~~р гт дг (,де3 дг " дф д) д~ 1 д, 1дс,',„д«р 1„,( 1) 1 дх и ох '" о оф дх и " ~ о ! пз Глава 1 16 Из сопоставлення этих выражений получим: (1.21) Это одномерное волновое уравнение 2-го порядка в частных производных. Ему удовлетворяют как возмущення вида (1.1), (1.2), так н более общее решение (1. 22) ~ = )г(1 — хти) + Гг(г е х/и), где (1 н уг — пронзвольные функции, соответствующие волнам, распространяющимся в протнвоположных направлениях осн Х.

Заметим, что волновые уравнения (1.19) н (1.21) справедливы для однородных нзотропных сред, затухание в которых пренебрежнмо мало*. Обобщение уравнения (1.21) на трехмерный случай приводят к волновому уравнению вида (1. 23) где т'т, = — + — + —; . Однако это уравнение мы не бугдтздРд дх' дуг дг' дем использовать.

Отметим только,что выражения для сфернческнх н цилиндрических волн являются решением волнового уравнения (1.23). Волновые уравнения (1.21) н (1.23) играют весьма важную роль в теории волновых процессов. Если мы, исходя нз законов механики прн изучении некоторого явления, придем, например, к уравнению вида (1.23), то сразу можно утверждать, что имеем дело с волновым процессом, скорость распространения и которого легко найти нз сопоставления полученного уравнения с (1.23). В дальнейшем мы этим н воспользуемся. * При наличии затухания одномерное волновое ууавиение имеет вид д'~ Зг г 1 Эг, —, + гт — т т ( = —, —,, дк Эх о дг где у — коэффициент затухания волны. Упругне волам $ 1.3.

Скорость упругих волн Скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны Х. При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука: (1,24) а = Ез, где а — напряжение (Н/мэ), Š— модуль Юнга (Па), е = д~/дх. Заметим, что а, как и з, величина алгебраическая, и знаки а и з всегда одинаковы: при растяжении — положительные, при сжатии — отрицательные. Рвс. Ьа Рассмотрим малый элемент стержня Лх е Х в момент, когда при прохождении волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.

1.4). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона: р Лхв ~ = Р„(х + Лх) + Р„(х), где р — плотность материала стержня, Я вЂ” площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Р„(х + Лх) > О, а Р„(х) < О. Соответствующие же значения а в сечениях х и х + Лх положительные (растяжение!). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так: Р„(х+ Лх) + Р,(х) =За(х+ Лх) — Яо(х) =Я вЂ” Лх, да д~ дс р — Е д1 дх (1.

25) где учтено, что слева Р„и а имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на Лх Я примет вид р» = да/дх. Остается учесть (1.24), после чего получим окончательно: Глава 1 1В Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость о которой легко определить, сопоставив полученное выражение с (1.23): о =,)'Е/р.

(1.26) Заметим, что для не тонкого стержня выражение для и имеет более сложный вид и значение и оказывается больше, чем в случае тонкого стержня. Можно показать, что скорость поперечнык упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде и =,(6/р, (1.

27) где 1' — модуль сдвига среды, р — ее плотность. Скорость волны в гибком шнуре. Найдем уравнение малых поперечных колебаний натянутого шнура, исходя из основного уравнения динамики. На малый элемент 12 шнура (рис. 1.5) О х х+с(х Х Рис. 1,5 слева действует сила натяжения Р. Ее вертикальная проекция Рв(х) = — Р з1п а. При малых смещениях э)па = (яа = дс/дх, и мы можем записать Р-(х) = -Р дс/дх. Аналогичное выражение для проекции силы (только со знаком «+«) можно записать и для правого конца элемента 12.

Результирующая этих двух проекций сил 19 Упртгне волны Пренебрегая изменением силы г вдоль шнура (это справедливо для малых смещений при колебаниях), правую часть предыдущего выражения можно переписать так: Р(дзс/дхэ)с(х. Если линейная плотность шнура (масса единицы его длины) равна р,, то по второму закону Ньютона р,с(х. с =Е,'"„Йх, или дес, Р дес дэ Р, дх" (1.29) Из сравнения с (1.23) находим выражение для скорости волны в шнуре: о = Т/р,. (1. 30) (1.31) Лр = — ЕЛУ/У, где ЛУ/У вЂ” относительное приращение объема рассматривае- мого элемента.

Перейдя к пределу, получим (1.32) Объем У элемента Лх и его плотность меняются при прохожде- нии волны, но их произведение, т. е. масса рУ = сопз$. Отсюда йр/р =- -ЙУ/У, значит Скорость звука в жидкостях и газах. Формулу (1.26) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жидкостях и газах. Действительно, вырезав мысленно канал в направлении распространения плоской волны, мы можем повторить все рассуждения„приведшие нас к этой формуле.

Остается только выяснить, что в этом случае играет роль модуля 10нга Е. При продольных волнах в среде возникают сжатия и разряжения отдельных слоев, и закон Гука в данном случае — связь избыточного давления Лр с относительным изменением длины элемента Лх цилиндрического канала Л~/Лх — примет вид Лр = — ЕЛс/Лх, где знак минус связан с тем, что приращения давления Лр и длины Л» противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения канала, получим 20 Глава 1 После подстановки етого выражения в (1.32) получим Е = р др/с1р, и скорость волны — формула (1.26) — примет вид ° = ~бр/бр. (1.34) Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объемом определяется уравнением р)'" = сопз$, (1.35) где у — так называемая постоянная адиабаты, равная отношению теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, у = С /С вЂ” величина, характерная для каждого газа. Запишем дифференциал натурального логарифма выражения (1.35): — ау — =О, ар ( р У откуда Йр/ЙУ = — ур/У, и формула (1.32) принимает вид (1.36) Е = ур. Таким образом, скорость звуковой волны в газе (1.37) Это выражение можно преобразовать к более удобному для расчетов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа рУ= (т/М/ВТ, где, напомним, т — масса газа, М вЂ” его молярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как р = лв/У = рМ/КТ, и уравнение (1.37) станет таким: с =,/~ЙТ/М, (1.33) где  — универсальная газовая постоянная.

3 1.4. Энергия упругой волны Плотность энергии упругой волны. Прежде всего найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, Упругие вопим другой конец которого закреплен, растягивающую силу Р(х) и будем медленно увеличивать ее от О до значения Ро. Удлинение стержня при этом будет меняться от О до х. По закону Гука Р(х) = их, где и — коэффициент упругости. Работа силы Р(х) в этом процессе А = )Р(х)г(х э х ) хбх =— о о Эта работа идет на увеличение упругой энергии () стержня, значит Ц вЂ” ихз/2 (1.39) Плотность же упругой энергии и„= (.г(Яг, где Я и 1 — площадь поперечного сечения и длина стержня, Преобразуем выражение (1.39), учитывая, что их = Р = оЯ, о = Ее и е = х/1, тогда 2 2 2 Отсюда видно, что плотность упругой энергии (1.40) ~п Ее /2.

При прохождении продольной волны в стержне каждая единица объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации ю,, так и кинетической энергией в„. Плотность полной энергии ш = ш„+ и~о = р г, /2 + Ее (2. (1.41) Для тонкого стержня Е = риз, согласно (1.26), и выражение (1.41) можно переписать так: ю= — — +о (1.42) Как следует из волнового уравнения (1.19), оба слагаемых равны друг другу, т.

е. плотности кинетической и упругой энергии одинаковы и изменяются синфазно. Поэтому мы имеем в результате гг Глава 1 В частности, для гармонической волны г =асов(м) — )гх) ю — рззм 2 з(пз(юг )гх) (1.44) Соответствующее распределение ш(х) вдоль стержня в некоторый момент показано на рис.

1.6. 0 Рис. 1.6 Среднее значение плотности энергии за период (или за время значительно большее периода колебаний) равно <ио =ра и /2, (1.45) поскольку среднее значение квадрата синуса равно 1/2. В заключение отметим, что полученные выражения справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах. 11лотность потока энергии. Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность Я в единицу времени: (1.46) Ф = сИу,гбг, где ЙИ' — энергия, переносимая через данную поверхность за время йп Поток энергии в разных точках поверхности Я может иметь различную интенсивность.