Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 7

Результзты вычислений приведены в таблице 2. а на рис. 3 ') Кочин Н. Е., Собрание сочинений, том П, Изд. АН СССР, стр. 493. 3 за« 297 л. Г. лаацьнск«а ггл, г уРАВнения НРАндтля представлен график поперечной скорости в величины о 1 == от т5 тзм же для сравнения г ч17 безразмерной продольной скорости л/17 форме аависнмости приводится и график Таблица 2 0,2 ( 0,00332 0,4 ~ 0,01328 5,0 0,57066 0,75816 0,83723 0,85712 0,86004 0,86038 0,80038 0,6 0,8 1,0 2,0 0,02981, 6,0 0,05283 1! 7,0 0 082! 1 1 8 О О,ЗО475 () 8,4 Поперечная компонента скорости сначала слабо возрастает от своего нулевого значения на поверхности пластины 1как т)'), затем начинает расти быстрее, а в бесконечном удалении (вблизи внешней границы слоя) стремится к некоторой конечной величине. зависящей от х. Как видно из последних строк таблицы 2, с возрастанием т1 до г.- бесконечности величина о 17 — стремится к конечному пределу, чу равному примерно 0,8604.

Таким образом, пограничный слой, не искажая в прикятом приблшкении распределения продольных око. ростей во внешнем потоке, создает в нем поперечные токи, легко объясняемые с физической стороны торможением жидкости о поверхность пластины. В этом заключается обратное влияние пограничного слоя на внешний поток. Второй простой иллюстрацией решения урзвнений пограничного слоя может служить задача о распространении струи жидкости в безграни шом пространстве, заполненном той же, но неподвижной жидкостью. Будем считать, что ив бесконечно тонкой щели 1рис. 9), расположенной в точке О, в напрзвлении оси Ох бьет струя с бесконечной скоростью, но с некоторым конечным по величине секундным количеством движения или импульсом Уз. Вспоииная, что секунлшый импульс получается умножением секундного расхода на скорость, заключим, что при конечности ЗАДАЧА О ЗАТОПЛРННОй СТРУК при У= О, при У вЂ” *" '— с'О 1 —,=О дуа дф — -ь О ду (1.49) Очевидным тривиальным решением этой задачи является ф = О, т.

е, отсутствие течения. Это противоречит заданию конечного импульса струи Уз на выходе из щели, Поставим в явной форме это основное условие задачи. Согласно ТЕОРеме о сохранении количества движения, имеющей место при ИАШУЛЬСЗ В шульсз в бесконечно узкой щели расход череа нее должен равняться нулю. и физически это означает, что если щель очень мала, а скорость истеченн течения велика, то импульс может быть конечен только при очень малых лых расходах; заметим, что нечто подобное обычно и наблюдается В рази разнообразных струйных аппарзтах, например в эжекторах, имею- целью прн малом расходе эжектируюшей жидкости, но конечном ее импульсе, получить конечный расход эжектируемой жидкости. При отсутствии вязкости пограничный слой не образовывался бы и бесконечно тонккй слой жидкости, выходящий из щели в точке О, двигался бы с бесконечно большой скоростью вдоль оси Ох, не взаимодействуя с окружающей его неподвижной жидкостью. При наличии вязкости этот бесконечно тонкий слой сразу же поале выхода из щели смешивается с окрумсзюшей жидкостью, вовлекает ее в движение и одновременно подтормажизается сам.

При больших числах рейнольдса симметрично по обе стороны от осн Ох, которую примем за основную, нулевую линию тока, образуется тонкий пограничный слой, в этом конкретном случае называемый «затопленной струей». Рнс. 9. По общему свойству погра- ничных слоев давление поперек струи пе меняется, а так как во внешнем потоке — неподвижной жидкости — давление повсюду одинаково, то и во всех точках струи др давление будет одним и тем же. Отсюда следует, что — — =О, так что уравнение (1.19) примет следующий вид: (1.49) ду дх ду дх дуз ду' ' Граничными условиями будут (гл.

г уРАВнения пРАндтля условии отсутствня внешних сил 1 †..= 0), заключим. что секундг лр 1, ых ное количество движения, протекзющее сквозь произвольное сечение струи, будет одним и тем же, так что l= ~ ри'с(у= — сова(=.УВ. (1.50) Это интегральное условие и послужит условием существования нетривиального решения. Уравнение (1.50) может быть выведено и из уравнений пограннч- ,Х/7 ного слоя. Переписывая первое из уравнений (1.16) при ~ =О, нз д.е основзнии второго, в форме д а д д'и д (~ )+д (Р ) 1 д' рр Ку; /'( ' ) Н=4.

(1.53) Приняв ,/ (д') и интегрируя его .поперек струи по у от — со до оэ. получим А У"'у+~".~--= Ф1: — Ш в силу принятых граничных условий для и и да/ду, подстановка пределов дзет нулевые значения, откуда и следует равенство (1.50). В рассматриваемом в настоящем параграфе случае нет ни характерной скорости, ни характерной длины, но зато зздана определяющая данную конкретную струю величина ее импульса lа.

Согласно ранее изложенной теории, заключим, что условные масштабы продольных длин 1. и продольных скоростей (у связаны с масштабом функнии тока %' соотношением ~'= ~l ()Х. (1.51) С другой стороны, в силу соотношения (1.50), переписанного в форме Рл (ду) У е' (1.52) получим в безрззмерных переменных ф', у' алдлчл о злтоплзнной стаяв надаем след)чощие выражения Ф и 5 через И уеа ,уз ' ,р Х, рУ функция тока ф(х, у) должна иметь форму гп Вид функции у подчиним условию независимости ф от У; этого '=-"Г"".*'ю' ~~)1 При таком задании зависимости ф от беарззмерных координат величина У выпадает и функция тока выразится следуюгцим образом: «у» !!.57) (1,56) которое должно быть,проннтегрировано при граничных условиях ~а=0, ев=О при ч)=0, ~' — ~О при т! — ь+ оо (1.

и интегральном условии )Р ~1' (т)а'ч)= 1. Интегрирование урзвнения (1.58) не составляет труда и приводит к следующему выражению для функции тока: ~= 1651 ).' — '* й (0275 ь~ — ', —,). об!) )'ла / полученному впервые Г. 1г!лихтингом '). Из определения функции тока следует, чго секундный объемный расход 9 через сечение 11933), 280 ') Я си! !с и!! п8 Н., яе!гзсвг. Х.

Ап8ею. Мабп и. МесЬ. 1З,,Н1 4 11одставляя полученное выражение функции тока в уравнение в частных производных 11А8), составим, пос.че очевидных сокращений, обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка !штрих — производная по т) у'в+ — (у" + Ч ~") = О. (1.58) УРАВНЕНИЯ НРАНДТЛЯ струн с абсциссой х будет равен 3/ ух 1~ = ф (со) — ф ( — с з) = 3, 302 ~/ (1.62) Поле скоростей в струе определяется совокупностью равенств '/ /2 1 п = 0,4541/г р*чх свя(0,275Ч) * рха ~ сва (0,275ч) (1.63) Соотношение (1.62) показывает, что секундный расход жидкости сквозь сечение струи растет от нулевого значения в щели (х = О) пропорционально корню кубнче. скому нз расстояния от щели. Продольная осевая скорость и определится нз первого равенства Ы (1.63) при т,= О н окажется рав- ной У/Ц /27 з/ /2 а = 0,454 ~7/ (1.64) ') Апдгаее 6. 74., Ргес.

Рвук 3ос. (.овпоп 51 (1939), 784, Полученное Г. Шлихтингом гга решение, как покззали опыты Андрада '), хорошо описывает явление рзспространения плоской лзмннарной струк в пространстве, заполненном той же жидкостью, Однако следует указать, что сама /~ задача лишена практического знал/и чення, так как ламннарные струи Рис. 10, устойчивы лишь при очень мзлых рейнольдсовых числах. Уже при рейнольдсовом числе, содержащем в качестве характерной длины ширину щели, а характерной скорости — скорость истечения из щели, превышающем значение 30, такие плоские щелевые струи теряют свой ламннарный характер и становятся турбулентными.

Закономерности турбулентного распространения струи устанавливаются в теории турбулентного пограничного слоя. Рассмотренное только что движение относится к числу кподобных» или «автомодельных». Пользуясь первым равенством системы (1.63), определим такое значение у, равное Ь(х), при кото- пРименение РРАвнения пРАндтля — миззсл ром продольная скорость л составит лишь один процент от и . Будем иметь д(х) ='!0,91(~ )"'хчз (1.66) и 1 (1.66) сьг (зугл) наиболее наглядно выражающий свойство подобия профилей скорости.

На рис. 10 показан безразмерный профиль продольных скоростей, общий для всех сечений струн и заданный равенством (1.66). ф 6. Применение уравнения Прандтля — Мизеса к задаче о затопленной струе Задача .о затопленной струе дает пример точного решения уравнений пограничного слоя с помощью переменных Прандтля — Мизеса '). Положим в уравнении (1.32) м = ги и перепишем его в виде ((7= О) д (иг) и дг (вг) д1 ит дзг (1. 67) Пойдя для разнообразич несколько иным путем, чем раньше. будем искать решение уравнения (1.67) в форме из=ля т(Г,). (1.

68) где и — пока неизвестная функция с, а с,— некоторая одночленная степенная комбинация 1 и т(, заданная формулой ", = г)4'. (1.69) Подстзвляя значение 0 в (1.67), после простых преобразований получим уравнение (штрих — производная по ч) лс +21 1 дкт )7,—,„,(гльг вт Для выполнения условия автомодельности решения, т. е, независимости с в явной форме от с, необходимо положить — — = сопз1, 2л+ 1 = О. Илт дс (1.71) 1 ) Лойп я вский Л.

Г., Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, Техзическая гядромеханика), )чья 176, Мзшгвз, 19б5, ст(А 103 — 107. Величину д(х) можно принять приближенно за полуширину струи. Пользуясь втой мерой ширины струи, а также равенством (1.64), можно выражению продольной скорости в первом из равенств (1.63) придать вид гвлвнания пгандтля Отсюда следует, что (с и 7 — некоторые константы) а,„=.)/с 1', и = — '(а.