Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 8

(1.72) Постоянные с и 7 найдем, выполняя интегральное условие сохранения количества движения (1.50), которое в переменных Прандтля — Мизеса может быть представлено гак; ~ рн г(у =. Р )' нпт1= уо' вдесь + а корни уравнения у(ч) = О. Используя (1.73), получим а 771"Ъ 1 1/~Ж=-А/в, -к откуда вновь, по условию автомодельности, найдем '7 (2 из предыдущего уравнения при этом следует, что =~" Я "Г (1.74) Выражением и„($) будет служить равенство и„(1) = ~// (1.?6) после чего решение (1.68) примет окончательный вид и'=.— —,' 1(6)'У1). (1 16) Вопрос сводится, таким образом, к интегрированию обыкновенного уравнения второго порядка ~" + ~ ),— е/+ )/е = 0 (1.77) прн граничных усдовкях ~я=1 и е'=0 пр'и (.=-О, (1.78) ,уД=(1 4 (,а'~'. (1,79) вытекающих из (1.68), а также условий симметрии и плавности поля продольных скоростей в струе, Уравнение (1.77) последовательно интегрируется и при граничных условиях (1.78) имеет решение [гл.

г тваенвния пглнлтля которое может быть нзпнсано в форме 1 бб1 1 ьх !!>/99уб~/ о У (1.84) полностью совпадающей с ранее полученным драим методом выра- жением (1 61). В 7. Распространение затопленной струи вдоль твердой плоской поверхности Рнс. 1! д(> даа> дф дЧУ д'(> ду дхду дх ду> ду' ' (1.85) ') А к а т н о в Н. И., Распространение плоской ламнпарной струи жидкости вдоль твердой стеяки. Труды Л[1И (Эн гомашнностроенне, Техническая гндромеханнаа), № б, Машгнз, 1953, ств. 24 — 3!. а) О ! а нег ! М„доя>в. о1 Р1пгд Месщ, № 1 (195б). Рассмотрим залачу о распространении плоской струи, бьющей из щели в полупространство, затопленное той же жидкостью, вдоль некоторой плоскости, причем щель расположена в той же плоскости (рис.

11). В этом случае, подобно тому как зто имело место в двух предыдущих задачзх, реше- У нне будет автомодельным, т. е. уравнения движения жидкости в пограничном слое сведутся к одному обыкновенному уравнению. Рассматриваемое движение предстзвляет в известном смысле соединение обоих, ранее разобранных движений: продольного обтекания полубесконечной пластины и распространения струи в безграничном пространстве.

Конечно, при нелинейности уравнений движения не может быть речи о каком-то наложении потоков друг на друга; однако, как далее будет показано, некоторое сходство профиле продольных скоростей вблизи ограничивающей струю плоскости с соответствующим профилем вблизи пластинки (задача Влазнуса) и профиля скоростей вдалеке от плоскости с профилем в струе все же наблюдается. Задача о распространения плоской струи вдоль твердой плоской поверхности была впервые поставлена и разрешена Н.

И. Акатновым '). Впоследствии та жг задача рассматривалась Глауертом т). уравнение движения остается прежним и имеет вид Рлспгостглненив злтоплшшой стРуи ВдОль ЛОВеРхнОстн 43 граничные условия будут сведующими; О=О, — '=0 при у=О, дф ду — -+О при у — ьсо, дф ду )(ля сушествовання решения, отличного от тривиального и=О, о= — О, необходимо задать некоторую количественную характеристику явления.

Импульс струи уже не является в данном случае характерной постоянной, так как, в отличие от безграничной струн, имеется подтормаживаюшее влияние твердой поверхности, уменьшаюшей импульс струи с удалением от ее источника. установим соответствуюшее рассматриваемому составному движению «уравнение сохранения», которое вместе * тем и явится условием нетривиальности решения. Проще всего зто уравнение получить следующим образом. Переписав первое из уравнений Прандтля, согласно второму, в форме д „д дчи — (ца) + — (по) = ч— дл ду д)уе н проинтегрировав обе части поперек слоя от у до со, получим дл у ~д ч Поменяем в первом интеграле порядок интегрирования и дифференпнрования; тогда, используя граничные условия (П86) и асимптотичность последнего из них, найдем Умножим теперь обе части последнего равенства па а и возьмем от них почленно определенный интеграл поперек слоя от 0 до оо, Будем иметь О ( д Р а ~ — „.

Г азг(у~ ду — д~ ааог(у=0 ч углвнвния пвлидтля Согласно тем же граничным условиям, подстановка пределоз даст нулевое значение, и после сокрашений получим откуда и следует искомое условие сохранения О г ° г » о~ о= ° ~-е. а Левая часть этого равенства только формой отличается от установленного Н. И. Акатновым инварианта и легко в него переходит, если произвести повторное интегрирование по частям; действительно, имеем что прнзодит к такой, тождественной с (1.87), форме «уравнения сохранениями со г г е)о=я. о о (1.88) Вводя функцию тока ф, можем переписать предыдушие равенства 1!.87) н 11.88) еше в таком виды а г 7«ч)ч=н. о или, совершая очевидные преобразования в первом интеграле и вычисляя второй интеграл цо частям, 7) РАспРостРАнение ВАтопленной стРУи Вдоль пОВеРхнОсти Интегрирование по частям переводит одно из этих равенств в другое.

Последние выражения закона сохранения удобны при решении задачи в переменных Прандтля — Мизеса. Величине Е не.тьзя дать заранее наглядное физическое истолкование; в дальнейшем в свяаи с анализом полученного решения выясняется, что Е только численным множителем отличается от сохраняющсгося постояннгям произведения секундных объемного расходз и количества движения. Обозначим через Е и У условные масштабы продольных длин и скоростей; тогда, согласно общей теории, масштабом поперечных длин будет служить величина а масштабом функции тока Ч"= УУ=- 1/»ХУ.

Обращаясь к условию нетривиальности решения в форме ГП88), получим (штрихом обозначены соответствующие безразмерные величины) .ое) " ) ~у')е =е; о о считая масштабы выбраннгями так, что ~ а' ~ ) и'ау' и'у'= П о го ! получим следующее выражение основных масштабов через У: Е Е~(УУЯ) ) фгЦУВ 'чг =- КЕ/У. функция тока ф должна была бы при этом представляться в форме но, иМея в виду, что У не входит в число заланнь|х величин н, следовательно, у не зависит от У, потребуем наличия следующей структуры функции тока: (гл, г уРАВнения пРАндтля или, окончательно, ~> = 1г Юх Р(л), 7'Р: у Р' хе (1.93) Подставив это значение ф в уравнение (1.85), убелимся в автомодельности зздачи: ургшнение сведется к обыкновенному (штрих— производная по т1) 4Р"'+РРР+2Р' = 0; (1.94) граничные условия по (1.86) примут вид Р=Р'=0 при т)=— О, Р'->О прн й — ьсо, (! 95) причем присоединяется еше интегральное условие ) Р' И)РИ)ЕРй=1.

о (1.96) легко выводимое из (1.91). уравнение (1.94) допускает интегрирующий множитель Р. Найдем, одни раз интегрируя и определяя постоянную интегрирования нз граничных условий (1.95), 4РР" — 2Р'~+ РЕР'= О. (1,97) Совершая в этом уравнении аамену переменных и принимая за независимую переменную Р, получим линейное уравненве первого порядка ВФ 1 Р =,— — Ф= — —, ВР 2Р 4 ' (1.99) решение которого будет таким: Ф =. Р' = С ~l Р— — Ра. 6 (1. 100) и уравнение (1.100) может быть преобразовано к виду —,",' =- — "6-( — ), (1.101) Обозначим через Р значение Р при т~= — сю и Ф=О. Тогда определим постоянную С как 6 "') 9 7) васпвоствлнвпив натопленной стяги вдол~ поввяхности 47 Пос ояннув Р определим, подставляя аначення 1 (Р 1г- — )РР Ря) 6вР Р р' Р' Р'Р— Рч в интегральное условие (!.95). Получим Р = 2,515.

Уравнение (1.101) интегрируется н приводит к соотношениго т)= 0,7952 1п ='-+ 2)РЗ агс(н -- .. (1.102) 1-(-у"и+в — . р 3а (1 — р В ) р а -(-2 Сравнивая его с уравнением (1.101), переписанным в форме Р2 Р =," ()7О Е ) =1.054()РΠ— В ), (1.И3) получим Р' в параметрической форме. График функпии Р'(т)) приведен на рис. 12. Теперь нетрудно определить основные характеристики течения, Выпишем выражения секундных объемного расхода Я и количества движения К через данное сечение пограничного слоя: Я = ~ и огу = 2,515 Р' чбтр. о (1 104) К= — / и'Фу= 0,884 )/ о уиланвиия пвхидтля Произведение их, как уже упоминалось, является величиной постоянной и просто связано с константой Е ЯК= й Е.

Приведем еще формулу выражения касательного напряжения трения на плоской стенке тч' 1 (д ) =0'221ь' у г —- ДУ =-о (1. 105) На рис. 13 и 14 сравниваются графики распределения скоростей во внутренней (от степки до точки максимума скорости) и внешней 1У 1в Лд ЗЯ 4ьч ~/у~ Рис. 13. (за точкой максимума скорости) областях струи с графиками скоростей на пластинке и в свободной струе.

По оси ординат в обоих случаях отложены отношения и/и , где и — максимальная скорость, а по оси абсписс: в первом случае отношение текущей ординаты у к ординате У ,, соответствующей значению скорости и /2, во втои !я' Я ром — отношение Уч )а — У ! рафики оправдывают высказанное ранее соображение о сходстве между графиками скорости для рассматриваемого случая сложного движения и для рзнее рассмотренных более простых случаев. Практически полное совпадение наблюдается во внешней области. Аэнодинамнческий след ЕА телом 11римеиенне метода Прандтля — Миаеса ') к решению той же задачи не даст ничего нового, так как легко видеть, что преобразование (1.98) и последующий переход к независимой переменной ао ггя У,Р представляет собой, собственно говоря, не что иное, как использование в качестве аргумента функции тока, а в качестве неизвестной функции величины скорости, на чеи как раз и оа2ован метод Прандтля — Мизеса.

Задача о движении вязкой жидкости в пограничном слое, сошедшем с тела и образовавшем непосредственно аа ним аэродинамический след, в полной своей постановке представляет пока непреодолимые трудности; известно лишь решение для продольно обтекаемой пластинки, да и то в незначительной (не превышающей половины длины пластинки) области за задней кромкой пластинки 2). Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости в следе на большом удалении от тела, когда влияние формы обтекаемого тела становится нренебрежимым и движение в следе определяется суммарной характеристикой подтормаживающего влияния тела — его ') А катион Н.

И., Применение переменнык Мизеса к задаче о распространении ламннарной струи вдоль стенки, ПММ, 1960, т. ХХ1яяг, вып. 1; там же можно вайти обобщение изложенной в настоящем параграфе задачи на случай наличия вне струн однородного снутного потова. 2) 0 о1ба1егн Я., Р2ос. о1 гке Саанбг. РЫ1, Яос. 2б (1930), 1 — 2б. 4 Зак. 29П Л. Г. Лоаняваква явазнвння пглндтля сопротивлением. Эта задача!) н будет рассмотрена в настояшем парагрзфе. Обозначим через У скорость однородного потока, набегаюшего на тело (рис. 15), Направим ось Ох по направлению етого потока, ось Оу — пергендикулярно к нему. Удовольствуемся рассмотрением той, достаточно удаленной от обтекаемого тела облзсти пограничного слоя — следа, где уже можно пренебречь влиянием формы тела на внешний поток, который принимается однородным и имеющим скорость У .