Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 9

В втой области давление может считаться постоянным и уравнения движения в следе совпадут с обычными уравнениями пограничного слоя ди ди д'и и — + о —. дх ду дуа ' (!. !06) — '"+ ' — "-=О, дх ду — г — > — ~- сг ! г ъ -Б а граничные условия будут ди — — =О, о=0 при у=О, ду и — ьУ при у — ьсо. (1.

107) д д даи — (и(У вЂ” и))+ — (о(У вЂ” и)) =— дх ду дуа ' Проинтегрируем теперь обе части етого равенства поперек следа, изменяя у от — со до сю. Замечая, что, согласно граничным условиям, второй член в левой части п вся правая часть пропадут (условие ') То !1ш !ея )!г., Огепазсп!свггйеог!е, Напдписй пег Ехрег!гяепга1рйувйй 4, ч. 1, !.е!рзгя, 1931, стр. 269. Такая система уравнений имеет тривиальное решение и = У которое, очевидно, соответствует полному выравниванию потока в бесконечном удалении от телз.

Найдем условие сушествования нетривиального решения, для чего обычным путем установим сначала аваков сохранения» для рассматриваемой задачи. Перепишем, как мы уже это делали ранее, систему (1.106) в виде д (и') д (ио) д'и дх ду ду' ' — + — =О, ди ди дх ду умиожим обе части второго уравнения на постоянную величину У и вычтем из него почленно обе части первого уравнения. Тогда получим $ 81 Аэгодинамический след ал талом асимптотического стремления и к У ).

будем иметь, меняя порядок дифференцирования и интегрирования. — 1 а(У вЂ” а)ау=О, а откуда следует искомый закон сохранения ~ и (У вЂ” а) Ну = сопа1. — СО (1.108) Чтобы выяснить физический смысл постоянной, применим теорему количеств движения в форме Эйлерз к прямоугольной контрольной области с границами (+ Е, + а), удаленными от тела (на рис. 15 ата область выделена пунктиром). Обозначим через а поперечный к направлени|о потока размер этой области и через (г' лобовое сопротивление тела. Теорема количеств движения в проекции на ось Ох при достаточно больгпих 1.

и а дзет рУ ° 2а — ~ рааату — 1Р'=О, -Ь а уравнение постоянства рзсхода рУ ° 26 — ~ раг(у=О. Умножая обе части второго равенства на У н вычитая из него почленно обе части первого равенства, получим приближенно ~ ра(У вЂ” а)~1у=(Р', что при и — > со дает окончательное выражение закона сохранения ~ ра(У вЂ” а) ау = — 1Р'. (1,109) Таким образом, в достаточном удалении от тела вниз по потоку левая часть равенства (1.108) сохраняет не зависящую от расстояния до тела величину, и эта величина по (1.109) представляет собою лобовое сопротивление тела. Совокупность грзничных условий (1.107) я интегрального условия (1.109) полностью определяет решение системы (1,106).

1гл. 1 уРАВнения НРАндтля Пользуясь тем, что в достаточном удалении от тела разница скоростей и — — - (~'са — и / У Г мала, произведем линеаризацию первого из уравнений системы (1.106), а также граничных и интегрального условий. Для этого подставим во все этн равенства вместо и его выражение У вЂ” и' и будем считать и', так же как и и, малыми первого порядка.

Тогда, отбрасывая квадраты этих величин и их производных, получим ди' даи' дх ду' ' (1.110) %' и'ау = — —. рсг Линеаризированное уравнение рассматриваемой задачи, стоящее в первой строке системы равенств (1.110), аналогично известному уравнению одаомерного распространения тепла. Его простейшее решение типа «источникз» будет (г у 1 и'=Сх ч ехр( —— 4та (1. 111) Входящую сюда постоянную С легко определить из последнего равенства системы (1.110) (интегрального условия)„она равна (1,112) Окончательно находим пт сг уа и'= (А" — и.

= ехр ~ — . (1,113) 2)/НРИ(Г Л 4.ул На оси следа (у=О) разность скоростей во внешнем потоке и в следе максимальна н будет равна 1г' 1 (1. 114) она убывает по закону обратной пропорциональности корню квадратному из расстояния до тела. ди' — -=0 при ду и' -ь 0 при у= — О, у — 9" + оо; АЗРОЛИНАМИЧВСКИй СЛВД ВА ТЕЛОМ Для конкретного случая пластинки длины /. в продольном потоке .о скоростью У имеем по (1.41) Ж' = 1,328 У рр/./У -ак что, переходя к скорости а, получим вместо (1.!13) и (1.1!4) им 1 0.664 ~х) 'й Профили продольных скоростей в сечениях следа, соответствуюпих паалнчным вначениям параметра х//..

приведены на рис. 16. 00 00 0 02 04 06 08 10 — з а/0 !ривые с малыми значенвями этого параметра (до х/Е=. 0,256 вклюительно) составлены по ранее цитированной теории Голдстейна, 7,0 (- 0,Ю 0" 00 00 70 75 Я0 ,тЛ рис. !7. 'рнвые лля х/Е= — 6,3 и х/Е= 40 — по теории Толмина. На рис.

17 .Оиведена зависимость и /1/ от х//. по материалам тех гке работ. ~гл. г уРАВнения НРАндтля Только что рассмотренная задача не имеет большого практического знаюния; ламинарное движение в следе, так же как и в струе, неустойчиво и сразу же переходиг в турбулентное.

В 9. Отрыв пограничного слон от поверхности Во всех рассмотренных в настоящей главе простейших примерзх давление во внешнем потоке было постоянным. При наличии продольного перепадз давления в пограничном слое могут возникать существенные изменения. Особый интерес представляет явление отрыва пограничного слоя от поверхности обтекаемого тела.

В отличие от инерционного отрыва У идеальной жидкости, возни- каюшего на острых кромках з Ы тела, в реальной вязкой жидй кости отрыв может происз 6у~~ г дб ходить и на плавных участ- у~! ~ Му/~ ках поверхности, как, на- ~) ф 0 пример, это имеет место '3зв , о ' на поверхности круглого — Р РР зг или вллиптического цнлинзэ ь' дров. Л Отрыв вязкой жидкости бг с поверхности тела происходит в результате совместного влияния двух основных факторов: подтормажнвзния жидкости твердой стенкой и действия перепада давления. Особенно отчетливо эти влияния проявляются при больших рейнольдсовых числах в пограничном слое.

В этом случае, по основному свойству пограничного слоя, распределение давления вблизи поверхности мало отличается от того теоретического, которое было бы при обтекании тела идеальной жидкостью. В лобовой области тела давление, начиная от максимального своего значения в передней критической точке О (рис. 18) разветвления потока, убывает ~ — < О) до г ггр ~йх некоторого минимального вначения в точке М, где — = О, а затем лв лх вновь возрзстает 1 — ) 0), стремясь в кормовой области восстано/ лр ~лх вить свое прежнее внзчение в задней критической точке. Из-за наличия потерь механической энергии при реальных движениях вязкой жидкости в пограничном слое такая картина изменения давления соблюдается лишь приближенно, но может все же служить для качественного объяснение явления отрыва. $ 91 ОТРЫВ ПОТРАНИЧНОГО СЛОЯ ОТ ПОВВРХНОСТН 55 В лобовой «конфузорной» области перепад дзвления имеет благоприятный характер для безотрывного обтекания тела, он ускоряет жидкость, причем продольная скорость на внешней границе слоя возрастает до своего максимального значения в точке М минимума давления.

В «диффузорной» области за этой точкой вниз по потоку перепад давления — его называют «обрзтным перепадом», — наоборот, тормозят движение жидкости, скорость на внешней границе убывает. В результате совпадения тормозящих влияний твердой поверхности тела и обратного перепада давления скорости частиц жидкости, дввжушихся вблизи поверхности тела, быстро убывают, так что в некоторой точке 5 не только скорость на стенке, которая на всей поверхности тела равна нулю, но и первая ее производная по нормали к стенке, а следовательно, и напряжение трения -.

на стенке, станут равными нулю, (~ ) =0,„=0. (1.! 16) »=э За этой точкой в непосредственной близости к стенке появятся обратные токи (и < О), которые оттеснят набегающий поток в пограничном слое от поверхности тела. В точке 5 — ее называют точкой олгрыва пограничного слоя (на самом деле, как всегда в плоском движении, вдоль перпендикулярной плоскости чертежа линии отрыва) — пограничный слой отделяется от поверхности тела, превращаясь в струю, имеющую в качестве своей границы отошедшую от поверхности тела пулевую линию тока. В дальнейшем оторвавшийся пограничный слой перемешивается с жидкостью, расположенной вниз по потоку за кормой тела, и образует аэролинамический «след» за телом.

Для определения абсциссы х = х» точки отрыва Ь', которая, по предыдущему, может быть расположена только в диффузорном участке слоя, служит уравнение (1.116). Если расчет пограничного слоя произведен н распределение скоростей и(х, у) найдено, .то разыскание величины х, не составляет труда. Основной трудностью при решении задачи об определении положения точки отрыва является отсутствие в этом стучае возможное~и пользоваться распределением давлений, рассчитанным по теории обтекания тела идеальной жилкостью.

Дело в том, что при приближении к точке отрыва линии тока настолько значительно оттесняются от поверхности тела, а область пограничного слоя настолько утолщается, что уже нельзя пренебрегать возмущающим влиянием этого пристеночного движения на «внешний» поток. Теоретическое распределение давлений во всей кормовой области тела резко искажается и становится непригодным для расчета пограничного слоя. Нз рнс.

19 приведены для примера графики теоретического распределения коэффициента давления тглвняния пглндтля Р = 1р — Р )!(РУ- /2) по поверхности двух симметричных крыловых профилей Жуковского с относительными толшннами 15', и 40%; тюч же крестиками и точками показаны ззмеренные опытные значения козффнцнента давления, 11а 7,ь" более тонком, 10-процентд э ~/3 =4Р% ном профиле имеет место „,,41 ~~ безотрывное, плавное его обтекание по всей поверхности; крестики начинают чуть ззметно отходить от теоретической кривой лишь в непосредственной близости от задней кромки, что является неизбежным влиянием нара-з,лр стающего пограпнчног о слоя.