Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 4

При этом будем иметь в виду ранее уже отмеченную «знизотропию» пограничного слоя — малость поперечных размеров этой области движения по срав- нению с продольными размерами потока и связанную с нею малость поперечных скоростей по сравнению с продольными. Не имея еще никаких определенных количественных суждений по этому поводу, выберем, исходя просто из интуитивных соображений, различные по величине постоянные масштабы намерения продольных и поперечных длин, в частности, координат, и равличные масштабы для продольных и поперечных компонент скорости.

') Более общий вид уравнений и оценку входящих в нпх дополнительных членов, учитывающих влияние кривизны координаткых линий, можно найти в книге: Кочин 11. Е., Кибель И. А. и Розе Н. В., Теоретическая гкдромехавика, Гостехиздат, 1948, стр. 485 — 437, а также з монографии: Ш ли хтняг Г., Теория пограничного слоя, перев. с нем., ИЛ, 1988, стр.

108 — 109. Вопрос этот ие является существенным для практических задач теории пограничного слоя и поэтому нами опускается. й зяя. зю л, Г. Лоацяяяяяя углзивния пглндтля Обозначим через Х масштаб продольных координат х, через 'г' — масштаб поперечных координат у; через У н 1ч = соответственно масштабы продольных н поперечных компонент скорости. Примем в качестве масштабов скалярных величин времени и давления некоторые, пока неопределенные, постоянные величины Т н Р. Условимся отме~ать штрихом соответствующие безразмерные переменные, положив у=)у и = Уи', о = )ч'о', р = Рр'. (1.2) Тогда, подставив зти величины в систему уравнений (1.1), получим после простых преобразований: , ди' Х1г + дх'+ УУ Р гУг , до' ХМ +и' —,+ — о' дх' 1У РХ ди' Хгг дх' + УУ Х ди' ОТ М ди,' ду' др' дги' чХ дги' дхи РгУ ду г дх' ХУ до' ду' д)г' ч Х до' УТ д7 ду' ' ХУ оо' д ' у Используем имеющийся пока произвол в выборе постоянных масштабов измерения входящих в уравнение переменных величин.

Прежде всего, независимо от того, задаются ли в рассматриваемом случае движения какие-то конкретные длины и скорости (например, лин:йный разчер обтекаемого тела, скорость набегающего на него потока), или их можно лишь условно составить гю заданным наперед, характерным для потока параметрам другой природы (например, импульс струи з теории затопленной струн, лобовое сопротивление тела в теории следа за телом), будем считать основными масштабами величины Х и У и составим при нх помоиги рейнольдсово число потока ХУ ч Б общем случае в числителе может стоять любая комбинация заданных в количественной постановке задачи характерных для потока величин, лищь бы только зта комбинация имела ту же размерность, что н знаменатель.

Условимся в дальнейшем под рейнольдсовым числом потока понимать любую безразмерную комбинацию заданных наперед параметров потока, содержащую кннематнческий козффицвент вяакости в минус первой степени. вывод уРАвивняй пвлндтля Выбрав тзким образом основные, в общем случае условные, масштзбы пролольных длин ч скоростей, выразим через них прежде всего масштабы времени и давления, положив у Х р (уз В общем случае масштабы Т и Р не имеют простого физического смысла. В частном случае задачи о внешнем обтекании тела за масштаб измерения времени принимается время, потребное для прохождения частицей жидкости пути, равного характерной длине тела, с характерной для потока скоростью, например скоростью набегающего потока; за масштаб давления выбирается удвоенный скоростной напор, составленный по характерной скорости потока.

Остается распорядиться масштабами поперечных длин и скоростей У и И. Выберем их из условия, чтобы система уравнений (!.3) солержала в качестве единственного параметра основной параметр потока — рейнольдсово число йе, определенное равенсчвам (1.4). Для этого, как легко видеть, следует положить Х(г, чХ Лу ' ' уе(г (1.6) причем выбор в правой части числовых значений, равных единице, конечно, произволен и служит лишь упрощению окончательной формы уравнений.

Из равенств (1.6) вытекает следующее определение масштабов. поперечных длин и скоростей: 1' = — Х/"!Г йе, (г = (У/ )г Ке. (1.7) При установленном выборе масштабов система уравнений (1.3) приобретает внд ди' + , ди' + , ди' др' + 1 дъи' + дги' дс дх' ду' дх' йе дх'~ ду'~ ),в + ж (1,8) йе (, дГ' ' дх' ду') ду' йе' дх" ' йе ду" ди' ди' —, + —, = О. дх' ду' Полученная система урзвнений предстзвляет собой исходную систему (1.1) уравнений Стокса, преобразованную к безразмерному виду явно содержащему основной' параметр — рейнольдсово число потока йе Не останавливаясь на рассмотрении безразмерной формы начзльных и граничных условий — они весьма разнообразны для различного типа зздач, — заметим, что система (1.8) содержит малый параметр, за который естественно принять величину 1/'угйе, входящую в равенства (1.7).

а следовательно, и в выражения безразмерных поперечных координат и скоростей. Рзссмзтривая формально разложения решений угаонвния пгьндтля системы (!.8) по степеням этого малого параметра 1 1 (1 9) Р =-Ро-) ~ — Р,+ где и', о', Р', ин о,', р,', ... вредставошют собой функции безраз- мерных координат и времени, подставим эти разложения в систему(1.8) и сравним коэффициенты при нулевых степенях мзлого параметра в обеих частях уравнений этой системы. Результат будет такой же, как если бы мы просто устремили в уравнениях системы (1.8) число Рейнольдса Ке к бесконечности, считая, что при этом неизвестные функции и', о' и Р' будут стремиться к некоторым конечным пре- дельным функциям и', о', Р .

Тем или иным путем получим уравне- ния этого нулевого приближения: дио дио, дио г~йо д ио дт о дх' о ду' дх' ду' (1.10) Как это непосредственно слелует из равенств (1.7), конечным значениям безразмерных поперечных координат у' при больших зна- чениях Ке соответствуют малые абсолютные значения размерных координат у. Таким образом, уравнения (1.1О) описывают движение жидкости в тонкой области, расположенной вдоль основной (нулевой) линии тока, причем, согласно том же равенствам (!.7), равмеры этой области должны убывать с ростом рейнольдсова числа, как 1)')/Ке.

Эту область мы н назовем пограничным слоем, а уравнения (1.10) примем за безразмерную форму уравнений движения вязкой несжи- маемой жидкости в пограничном слое. Возвращаясь к обычным раз- мерным величинам и опуская индекс нуль, получим следующую си- стему уравнений плоского движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое в том виде, кзк они были опубликованы вх автором Л. Прандтлем в 1904 г.'): ди ди ди 1 дР , д'и — +и — +о — = — — — +» —, дт ' дх ду р дх ду' ' дх ду — + — = О.

1) р гана!1 1, СЬег Р!азо!йиеповстоейцвй Ье! оецг и!е!вег Ке!Ьовй, Чегиапа!. д. РД !пгегв, Ма!Ье~п. Ковягеоз, Не!де!Ьегя, !904 (имеется русский перевод, см. П рандтль Л., Теория несущего крыла, ч. 1, Движение жидко- сти с очень малым трением, ! НТЙ, !931). 21 вывод грлвнзний прлндтля дУ, дьГ 1 др +У вЂ” = — — —. дс ' дх р дх ' (1.12) Определенная таким образом скорость (У носит наименование «скорости на внешней границе пограничного слои». Исключая давление из первого равенства системы (1.11) и уравнения (1.12), получим следующую форму уравнений пограничного слоя; ди, ди ди дС' дьГ даи ди дэ (1.13) Второе уравнение системы (1,10) опущено, но в дальнейшем всегда будет приниматься во внимание, что давление )г представляет функцию только от координаты х, з в случае нестационарного слоя — и от времени.

Система (1.11) является неопределенной, так как содержит три неизвестные функции: а, о н р. Для устранения этого недостаткз необходимо использовать дополнительные соображения. Так, следуя Прандтлю, можно принять, что при больших значениях рейнольдсова числа, когда пограничный слой очень тонок, можно пренебречь его влиянием на внешний поток. При этом под внешним потоком следует понимать то течение идеальной жидкости, которое происходило бы в рассматриваемом случае при полном отсутствии влияния вязкости, т. е. без пограничного слоя.

Так при решении задачи о плоском, безотрывном обтекании крылового контура распределение давлений рассчитывается заранее путем применения методов теории плоского обтекания крыла бесконечно~о размаха безвнхревым потоком идезлыюй жидкости. Точно так же в задачах о следе на достаточном удалении от тела и о затопленной струе давление принимается одинаковым во всем пространстве, что соответствует условию отсутствия вязкого влияния этих течений на окружающий потоК.

Б тех случаях, когда такое пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя нз внешний поток недопустимо, приходится либо вводить теоретические поправки на это идеальное распределение давления, либо определять действительное распределение давлений опытным путем. Если сохранить введенное Прандтлем представление о том, что распределение давления в пограничном слое совпадает с тем, которое было бы на поверхности тела или просто на нулевой линии тока прн отсутствии пограничного слоя, то, обовначая через У = У (х, 1) величину продольной скорости и замечая, что на поверхности тела, так же как и в более общем случае на нулевой линии тока, о = О, получим из первого уравнения системы ('1.11): (гл.

г уРАВнения НРАндтля Граничные условия при внешнем обтекании тел имеют обычно вид и = о =- О при у =- О, (1.14) иг»сГ при у ~со. ди — О, о=О при у=О, ду (1, 15) и -+ О при у — » оэ. Для получения решения, отличного от очевидного, тривиального решения и = — и =--О, в этом случае используется условие сохранения вдоль струи заданного начального ее импульса. В некоторых задачах наряду с граничными условиями, заланными по координате у, т. е.

по поперечному сечению пограничного слоя, приходится иметь дело с заданием начального профиля скоростей иа,(у) при некотором х = † (задача о «ггродолжении» слоя). Вопрос об условиях елинственности решений уравнений пограннчного слоя составил предмет многих математических изысканий, но остзется ло сих пор з значительной степени открытым, так же как и соответствующий вопрос теории движения вязкой жидкости вообще' ). В частном случае стационарного движения уравнения пограничного слоя упрощаются и булут иметь один из следующих видов: ди ди 1 ди д»и и — -т- и — — =- — — — + ' —— дх ду р ~~х ду' ' ди до — — г- — — =.