Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 5

О, дх ду (1.16) ') См. Г( яснунов Н, С., Нзв. АН СССР, сер. матем., 7, 2а 1 (1943); Долилзе Л. Г., Сообщения АН Груз. ССР, 5, Уй 9 (1944). Стоящие во второй строке условия соответствуют асимптотическому стремлению продольной скорости и к «скорости на внешней границе пограничного слоя» (Г, которая считается наперед заданной и, как уже указывалось, должна быть определенз из решения задаги о движении илеальной жидкости.

При исслеловапии задач о нестационзрном пограничном слое к этим граничным условиям присоединяются начальные условия, выражающие распределение скоростей внутри пограничного слоя в некоторый начзльиый момент времени. Граничные условия (!.14) представля|от собой простейший вариант этих условий. относящихся к задачам внешнего обтекания тел.

В других случаях можно встретиться с разнообразными типзми других граничных условий, примеры которых мы в дальнейшем укажем. Так, например, в случае струи с прямолинейной осью вместо (1.14) будем иметь вытекающие из соображения симметрии условия % З) »РАвнение пРАндтля — мизесА ди ди д(Г д»и и — + о — — = (7 — --1-» дх ду Нх ду' ди дс — -+ — = О, дх ду (1.17) ф 3. Уравнение Прандтля — Миаеса Чтобы удовлетворить уравнению неразрывности, вводят функцию тока у, положив ду (1.18) ') См.

Сбаориую статью Чевь Сюз-сеня «Метод Пуанкаре — Лайт- хилла — Го» в сб. «Проблемы механики», ИЛ, 1960, а также орвгннальную работу Го Юв-хуая, помещенную в )оигл. )»(ай, авд Рвуз. 62 (!953). Стоящий в правой части символ полной проивволной объясняется тем, что в случае стационарного движения давление р нли связанная с ним скорость на внешней границе слоя с) зависят только от одной переменной х. у!риведенный в настоящем параграфе вывод уравнений Прандтля, как уравнений нулевого приближения в методе представления решений уравнений Стокса при больших значениях Ке разложениями по степеням малого параметра 1/)/»Ке, имеет чисто интуитивный характер.

Строгая постановка етого запроса составила предмет тонких исследований Го 10н-хуая'), указавшего способ избежать возникновения неравномерной точности приближений иа-за наличия особенностей в уравнениях задачи. Им же установлены приемы опрелеления приближенных граничных условий для последовательных приближений. Дело в том, что с повышением номера приближения область «пограничного слоя» расширяется ва счет «внешнего потока», так что, если в нулевом приближении, скажем, для задачи внешнего обтекания тела, должно быть выполнено ранее уже укааанное условие асимптотического стремления продольной скорости к «скорости на внешней границе слоя», то в старших приближениях эта скорость должна быть ваменена соответствующим членом в разложении скорости «внешнего потока» по степеням малого параметра 1)'у'ке.

Теория пограничного слоя относится к столь болшпим значениям числа Рейнольдса, что довольствуется нулевым приближением, соответствующим Ке -» сс; исследование последующих приближений уже, собственно говоря, выходит за рамки теории пограничного слоя и относится к общей теории движения вязкой жидкости. (гл 1 гглвиання пглндтля При этом уравнения Прандтля (1.11) нли соответственно (1.13) сводятся к уравнению третьего порядка дзф дф д'ф дф д'ф дс ду + ду дх ду дх ду' 1 др дзф дУ + дУ+ дзф з дх ду' дт дх дуз ' В случае аадачи внешнего обтекания тремя граничными условиями для этого уравнения третьего порядка будут ф — — О, — =О прн У=О, дф дф — — г мУ при у — ь со. ду (1.20) д д д; д д д дх дс дх ди д1 дй' д дл д д дз д( д1 — = — — =и —, — = и — -(и — ).

ду ду дЧ дЧ ' дуз дл 1, дд,)' (1.21) Применяя их к первому из уравнений системы (1.17), голучим Гди дит ди дУ, д ( дп' и ( — — „— о — ~-+пи — — — — У вЂ” з+ зи — 1и —.) (1.22) 1, д". дч,) дч д( дч ( или ди дУ д ! дит а —.= У вЂ” — + зи — (и — 1. д» дз дй (, дЦ' (1.23) ') ю М1я е з и., Ветегиппдеп гпг Нудгодупаа1К, ЛАММ, 7 (1927), сгр. 425. См. также Р г а и д Г1 1., Хпг Бегесйпппя дег ОгепззсЫс)згеп, ХАММ, 18, № 1 (1933). Уравнения Мизеса, опубликованные в 1927 г., были известны Прандтлю еще в 1914 г, Первые два условия означают, что линия у = О совпадает с нулевой дф линией тока ф=- О, а продольная скорость и = — равна нулю на ду поверхности тела; третье выражает асимптотическое стремление продольной скорости к скорости внешнего потока.

Условие о .†-- — — =-.0 дф дх при у =- О является следствием равенства ф = О на поверхности тела. Уравнение (1.19) в случае стапионарного пограничного слоя может быть преобразовано к более простому аиду, если, как это независимо друг от друга сделали Прандтль и Миаес '), ввести вместо у в качестве новой независимой переменной функпию тока ф. Обозначим новые независимые переменные так: 3 = х, з) = ф; то~да, согласно (1.18), будем иметь следующие формулы преобрааовапия от старых переменных к новым увлзнвиив пвлндтля — мизвсА Это уравнение можно дополнительно упростить, если ввести в рассмотрение так называемый «дефект. кинетической энергии» г = — — (уа — и').

! 2 (1.24) Тогда, замечая, что У является функцией только 1=х, преобразуем уравнение (1,23) к окончательному виду да дал — = ти —. ос д'' !1.25) Это и есть уравнение Прандтля — Мизеса. Граничные условия в простейших случаях не содержат задания начального распределения г при с = — О, а только условия при т) =- О г= — Уа= — Л!Е) при ъ)=0, ! 2 г=-0 при «!=со. ~ и = '1'Уа — 2г= — ")' 2 )/л — г; тогда уравнение Прандтля — Мизеса примет новую форму л — -)г 2~)УЛ вЂ” ад а. (1.28) Предположим, что уравнение Прандтля — Мизеса каким-то способом разрешено, т. е.

найдено выражение а(с, .л). Тогда для доведения решения до конца необходимо воспользоваться очевидным равенством Ф (1.29) из которого путем обращения интеграла можно найти искомое выра- жение функции тока ф в переменных х, у. Нелинейное уравнение (1.25) по внешнему виду напоминает линейное уравнение распространения тепла, но существенно отличается от него тем, что коэффициент прн второй производной не постоянен, а является функцией л. Можно сказать, что уравнение Прандтля— Мизеса соответствует уравнению теплопроводности с коэффициентом температуропроводности, зависящим от температуры, Чтобы конкретизировзть эту зависимость, ааменим в уравнении 11.25) величину и ее явным выражением через г по !1.24): угавнвния пглндтля (1.31) при этом предполагается, что ы выражено в функции от 5.

Возможность выбора различных видов функций ш позволяет не только упростить решение задачи ламинзрных течений, но окажется полезной и прн рассмотрении некоторых плоских турбулентных потоков, В кзчестве первого примера рассмотрим пограничный слой на пластинке в стзционарном однородном (У=сопя!) внешнем потоке. Обозначим скорость набегающего потока (рис. 5) через У; направим ось х по пластинке, ось у — перпендикулярно к ней, а начало координзт поместим в переднюю кромку О плзстинки. В рассматриваемом случае будет дУ дУ вЂ” =О, — =О, да ' дх и уравнение (!.19) сведется к следующему: дф деф дф дЧЬ дав ду дхду дх дуа ' ду' ' Граничными условиями будут ф=О при у=О и — со (х (со, дф — =О при у=О и О (х (5, ду дф — — ьУ при у — ьоо и — со (х л со, ду (1.33) (1.34) ') Лойцаискнй Л.

Г., Труды ЛПИ (Энергомашиностроеняе, Техническая гпдромеханика), да !76, Мзшгнз, 1055, сгр. 101 — 103. Преобразование Прандтля — Мивесз можно несколько обобщить, задзв 1 неопределенным интегралом от произвольной функции ы(х) и сохранив прежний вид для преобразования у ') х у ~ ы(х)г(х=5, ~ и(х, у)ду=11.

(1.30) о о Формулы (1.2!) переходят при этом в такие: д д д — = — ш — — о —, дх д-; дв' после чего окончательная форма уравнения (д определяется тем же равенством (1.24)) будет д» и д'г, — - -= ч — — ', (1.32) д5 ы дч' ' 9 4) погглничный слой нл пластинке (злдлчл вллзигсл) 27 где Ь вЂ” длина пластинки. Кроме того, на оси Ох вне пластинки должно выполняться условие д'ф ',=0 при у= — О, х<0 и х)Е. дуг дф ф=О, — '~-=0 при у=..О, х>0, ду 'дф — — ь У чри у — ьсхз. ду (1.35) Отсутствие в граничных условиях характерной длины — з данном случае длины пластинки  — позволяет свесги уравнение в частных производных (1.33) к обыкновенному. Следуя ранее изложенной теории, составим безразмерные координаты задачи в форме: х' = х/1, и )я=-у)ьгь1~Не~)=у 1ьгу ьь(тЕ).

Из первого равенства системы (1.19) следует, что масштабом функнии тока должна быть величина У Еьь"ф'Ке= фьчУ с. Из ра- венства и условия независимости ф от 1. заключаем, что структура ф должна быть следующей: В ВьазЬпа Н., 7еЬГзснг. Рдг Мань я. Р)ьуз., Бб (1908). В такой полной постановке задача до сих пор не разрешена из-за непреодолимых трудностей, связаннььх с выполнением различных граничных условий на пластинке и вне ее на той же оси х.

Влазиусом ") была предложена приблиькенная постановка (у той же задачи, допускающая удовлетворительное решение повсюду, кроме областей вблизи передней и задней кромок пластинки, и позволяющая с достаточной точностью найти сопротивление плзстинкн. Вместо Рис. 5. пластинки заданной длины рассматривается полубесконечная пластинка с передней кромкой в начале координат. Пря этом граничные условия (1.34) принимаются в следующем упрощенном виде: (гл.