Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 3

Во внешнем потоке жидкость можно рассматривать как «идеальную» $1) поггхничный слой и внешний поток (лишенную вязкости) н для определения ее днижения пол зоваться сравнительно простыми, классическимн методами расчета. Вопрос сводится к раздельному рассмотрению таким образом упрошенных уравнений движения жидкости в этих двух областях и последующему «сшиванию» полученных решений в одно целое. В ззвиснмости от соотношения между инерционными и вязкими воздействиями или, что то же, в зависимости от величины рейнольдсова числа потока, изменяется сравнительная протяженность пограничного слоя и внешнего потока. Чем больше рейнольдсово число, т. е.

чем значительнее относительная величина инерционных сил, тем тоньше область пограничного слоя и соответственно больше протяженность области внешнего потока, и наоборот, с возрастанием роли вязкости утолшается пограничный слой и уменьшается «внешняяв часть потока. В этой определяющей роли рейнольдсова числа, от порядка величины которого зависит, будет ли та или другая часть потока принадлежать области пограничного слоя или внешнего потока, заключается основная особенность того приближенного подхода к решению задач динамики реальной жидкости, который носит наименование теории пограничного слоя. Движения жидкости в пограничном слое и во внешнем потоке неразрывно связаны между собой. В первоначальной постановке Прандтля эта связь рассматривалась как односторонняя; сшталось, что внешний поток существует независимо от пограничного слоя и задается наперед как известный, движение же в пограничном слое определяется по заданному внешнему потоку.

Последуюшее развитие теории пограничного слоя показало, что это не так и что только в некотором, не всегда удовлетворительном приближении можно производить расчет по такой схеме. Прежде всего заметим, что з результате подтормаживания жидкости в пограничном слое трубки тока расширяются, линни тока сменяются и оттесняют внешний поток.

Вызываемое этим оттеснением изменение продольных скоростей на границах слоя оказывается в большинстве случаев пренебрежимо малым; существенным обратным влиянием пограничного слоя на внешний поток является возникновение поперечных скоростей, которые сохраняются во внешнем потоке и в ряде случаев становятся основой изучаемого процесса (инжекция жидкости извне внутрь струи, см. далее, й 5). В некоторых, более редких случаях ~отрыв и пред- отрывное состояние) имеет значение и обратное влияние пограничного слоя на продольные скорости во внешнем потоке. В этом случае внешний поток уже нельая считать наперед известным; его определение требует учета движения в пограничном слое, которое в свою очередь зависит от внешнего потока.

Даже весьма приближенное рассмотрение такого типа задач представляет пока что значительные трудности. Некоторые соображения по этому вопросу будут даны в конце нзстояшей главы Я 9). уРАВнвния пглндтля Многообразие движений, поддающихся анализу методами теории пограничного слоя, далеко не исчерпывается теми случаями внешнего обтекания твердых тел, которые рассматривались на заре возникновения теории и которые послужили причиной появления терминов «внешний поток» и «пограничный слой».

Перечислим вкратце наиболее часто встречающиеся классы движений, изучаемые с помощью теории пограничного слоя. Для всех нвх характерно наличие обеих областей: внешнего потока и пограничного слоя: При набегании жидкости на погруженное в нее неподвижное тело (рис. 1) переход от нулевой скорости частиц жидкости, «прнлипзющих» к поверхности тела, к скорости порядка скорости набегающего потока происходит очень резко в области, расположенной ллл7лл Воешноо" поога рис. !.

в непосредственной близости к поверхности тела. В втой области— пограничном слое на поверхности тела — развиваются значительные силы вязкого трения, сравнимые по своей интенсивности с инерционными вилами. В удалении от тела, где скорости уже в значительной степени выровнялись и достигли величин порядка скорости набегающего потока, силы вязкости становятся ничтожными и нми можно пренебрегать, рассматривая этот «внешний поток» как область движения идеальной жидкости, Вниз по потоку за телом на некотором протяжении еще сохраняется область подтпрможенной телом жидкости; скорости в ней стремятся выровняться за счет зааимодействия с внешним потоком н достигнуть вновь скорости внешнего потока, имевшей место вдалеке впереди тела.

Такого рода область течения носит наименование «аэродинамического следа» за телом; ее иногда еще называют «аэродинамической тенью». Аэродинамический след дает нам другой типичный пример «пограничного слоя». Здесь мы тзкже имеем ярко выраженное взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком.

Струя жидкости, проникающая в пространство, заполненное неподвижной жидкостью с теми же или близкими физическими свойствами, дает нам еще один пример пограничного слоя (рме. 21. Вначале, при входе в неподвижную жидкость, эффект вязкости сосре = погвлничный слой и внвшний поток доточивается в пограничном слое на периферии струи, затем в вязкое торможение струи внешним потоком постепенно вовлекаются частицы струи, находящиеся в областях, все более близких к оси струи; наконец, тормозящее влияние внешнего потока оаспространится на всю струю, которая в целом станет пограничным слоем.

В этом пограничном слое и будут развиваться процессы смешения струи с окружающей ее неподвижной жндкостью. ,БЪетнии' потоп Рис. 2, Если струя втекает в движуигуюся жидкость, — примером может служить распространение струи в спутном по отношению к ней потоке, — то здесь мы вновь имеем дело с пограничным слоем — - самой струей — и внешним спутным потоком. $йп пмвьмювю Рассмотрим еще «началь- Погронинный ный» участок некоторого оот~онагигтийа ~ сопла, в который втекает оиеиани вязкая жидкость (рис. 3). На внутренних стенках сопла, натан как на всяких твердых по-. ' . ооой верхностях, возникает пограничный слой, постепенно развивающийся вниз по но- рис.

3. току. Внутри сопла, вне этого пограничного слоя, существует «внешний поток», который исчезнет только тогда, когда сомкнутся пограничные слои, образовавшиеся на стенках. Вниз по потоку за этим сечением не будет «внешнего потока», не будет и «пограничного слоя»; в этой области происходит установившееся движение вязкой яандкости, для расчета которого надо применять общие методы динамики вязкой жидкости. Пользоваться методами теории пограничного слоя можно будет. очевидно, то,лько в области «начального» участка. Прн этом. как легко видеть, хялвнвния пглндтля ~г,л.

1 по мере нарастания пограничного слоя должно изменяться и движение во внешнем потоке. Тзким образом, начальный участок дает нам простой пример существенного взаимного влияния пограничного слоя и вне|пнего потока. При очень больших аначениях числа Рейнольдса потока, с которыми приходится иметь дело в практических приложениях теории пограничного слоя, толщина пограничного слоя бывает очень мала по сравнению с характерным для потока продольным размером. Так, например, максимальная толщина пограничного слоя, достигаемая па задней кромке лопатки рабочего колеса паровой турбины, измеряется в долях миллиметра, а на крыле самолета не превышает сантиметров.

Сравнительно толстые пограничные слои нарастают вдоль судовых корпусов, имеющих длину до ста и более метров; толщина пограничного слоя вблизи кормы таккх корпусов может доходить до пяти и более десятков сантиметров. Как ранее уже было отмечено, толшина пограничного слоя зависит от рсйпольдсова числа; только что указанные порядки величин приведены как некоторые средние и дают лишь общее представление об относительной малости толщины пограничного слоя. В 2. Вывод уравнений Прандтля Воспользуемся отмеченной в предыдущем параграфе малостью толгцины пограничного слоя по сравнению с характерными для потока продольными размерами и примем еще, что радиусы кривизны линий тока имеют порядок этих продольных размеров. Такое допущение позволяет значительно упростить выбор системы координат, в которых должны быть составлены уравнения движения жидкости внутри пограничного слоя. Выберем какую-нибудь одну линию тока, целиком расположенную внутри пограничного слоя, за основную и построим сетку линий.

параллельных и перпендикулярных к этой основной линии тока. На рнс. 4 в качестве примера рассмотрен случай обтекания крылоного профиля, и за основную лннию тока вывод ггхвнвний пгяндтля принята «нулевая», совпадающая с контуром тела. В этом случае допускается, что радиусы кривизны в точках контура очень велики по сравнению с соответствующими этим точкам толшинами слоя.

Это и на самом деле обычно имеет место, так как радиусы кривизны сравнительно невелики только вблизи носика, но здесь н толщина слоя особенно мала. Пользуясь малостью поперечного к направлению потока размера пограничного слоя, можно изображенную на рнс. 4 криволинейную сетку считать внутри пограничного слоя прямолинейной ортогональ- ной сеткой декартовых координатных линий (х, у).

Такое допущение не является обязательным и сделано лишь для упрощения изложе- ния '). В принятых координатах, если пренебречь объемными силами, уравнения Стокса плоского движения вязкой несжимаемой жидкосги будут иметь вид ди ди ди 1 др / даи дзи 1 дг + дх+ ду а дх+ (дхЯ + дуЯ)' до до до 1 др ! д'о д'оз — -+ и — + о — = — — — -(-я ~ — + -), (1,1) д) дх ду В ду (дхг дуЯ ) ' ди до — + — =О, дх ду где приняты обычные в гидромеханике плоского движения обозначе- ния: и, о- — продольная и поперечная компоненты скорости, р — даи вленне, в и я =- — ' — соответственно плотность и кинематический г коэффициент вязкости жидкости. 1Лмея в виду произвести в дальнейшем сравнительную оценку по- рядка величин отдельных членов, входящих в систему уравнений (1,1), перейдем к безразмерной форме этих уравнений.