Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г., страница 6

г твлвнения пглндтля Будем искать поэтому решение задачи Блазиуса в форме (1.36) Вычисляя значения производнь|х (штрих — производная по а!) дф 1 / чб' дЦ> дх 2 .к (~" (1) 1' (1) ' дхду дз„ дук и подстзвляя их в уравнение (1.33) и граничные условия (1,35), получим следующее обыкновенное нелинейное уравнение: 2Т"'+ эта = — О, (1.37) которое должно быть проинтегрировано при граничных условиях а= — О, о'=О при а)=О, г8' — ь 1 при а) — а со. (1.38) Блазиус представил решение этого уравнения в виде совокупности степенного ряда при малых л и асимптотического выражения при больших а) '): а ак 11ак з 375а4 та,а+,з,п 4, 2! ' 2 5! 2' 81 2' 11! где а= 0,332 при малых т) и м(т)) — а) — 1,73+0,231 ~ г(.6 ~ е 4 !ч ! г(а) ') См.

подробное изложение этого пути решения в книге: К о ч и н Н. Еа К и 6 е л ь И. А. и Р о з е Н. В., Теоретическая гндромехавика, ч. !1, изд. 3, Гостехнздат, 1948, стр. 456 †4. ') Тоер!ег С., 2е1!зсвг. 1. Ма!а, к. Рзуз. 60 (1912), 397. ') Н о ж а г ! я 1,, Ргос. Коу. Вос. Боялася, аег. А, 1938, М 164. при больших т! ( — — знак асимптотнческого равенства). В дальнейшем уравнение (1.37) с большой степенью точности было решено численным методом Тепферома), а затем и рядом других авторов (Хоуарт, Хартри). В таблице 1 приведены рассчитанные Хоуартом з) значения функции е(а)) и первых ее двух производных.

Пользуясь таблицей 1, легко найти местное напряжение трения на поверхности пластинки т и полное ее сопротивление трения (к'7. 4! погглнвчный слой НА пластинке (злллчз зллзивсл) Таблица 1 — тк 1 0,33206 ! 4,4 0,33199 ~ 4,6 0,33147 1, 4,8 0,33008 (,' 5,0 0,32739 ", 5,2 0,32301 ! 5,4 0,31659, 5,6 0,30787; 6,8 0,29667 0,28293 0,26675 0,24835 0,22809 0,20646 6,0 6,2 6,4 6,6 7,0 0,18401 ' 7,2 О,!б!36,~ 7,4 0,13913 ~~ 7,6 0,11788 ' 7,8 0,09809 ' 8,0 0,08013 0,06424 0,05052 0,03897 8,4 В,б 8,8 Замечая, что ~олучим формулу !1лазнуса -.„= 0,332 !в .

/ня(7' огласно которой напряжение трения на поверхности пластинки убы.ает вдоль пластинки обратно пропорционально квадратному корню ,з х; кривая этого изменения показана на рис. 5. Вводя местный коэффициент сопротивления 1 Ггг гайдем следующее его выражение через местное '„:= !7 х~ы 0,664 число Рейнольдса (1. 40) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ' 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,2 3;4 3,6 3,8 4,0 .! 4 0 0,00664 0 02656 0,05974 0,10611 0,16557 0,23795 0,32298 0,42032 0,52952 0,65003 0,78120 0,92230 1,07252 1,23099 1,39682 1,56911 1,74696 1,92954 2,11605 2,30576 2,49806 2,69238 0 0,06641 0,13277 0,19894 0,26471 0,32979 0,39378 0,45627 0,51676 0,57477 0,62977 0,68132 0,72899 0,77246 0,81152 0,84605 0,87609 0,90177 0,92333 0,94112 0,95552 0 96696 0,97587 2,69238 2,88826 3,08534 3,28329 3,48189 3,68094 3,88031 4,07990 4,27964 4,47948 4,67938 4,87931 5,07928 5,27926 5,47925 5,67924 5,87924 6,07923 6,27923 6,47923 6,67923 6,87923 7,07923 0,97587 0,98269 0,98779 0,99155 0,99425 0,99616 0,99748 0,99838 0,99898 0,99937 0.,99961 0,99977 0,99987 0,99992 0,99996 0,99998 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 0,03897 0,02948 0,02187 0,01591 0,01 134 0,00793 0,00543 0,00365 0,00240 0,00155 0,00098 0,00061 0,00037 0,00022 0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001 О,ООСО! 0,00000 0,00000 0,00000 (гл.

! углзнания пглндтля Полное сопротивление трения пластинки длины Е, смоченной с обеих сторон, будет с К =2 ~ - г(х= 1,328 Мрр1,У, а (1. 41) а коэффициент полно~о сопротивления трения Р'г С =, (5 — - смоченная поверхность) 'г'вр(г 3 определяется формулой 1,32В (г е С.=, гсе= —— (1.42) )/йе ч Г(г '! На рис. 6 в безразмерных координатах ~- —, у)г ..")! пред- чх атавлен график распределения скоростей в сечениях пограничного слоя на пластинке. Это — плавная кривая, близкая к прямой при малых абсциссах и асимпготиче- — ) —— скя переходящая з горивонталь- !42 и ную прямую — = 1 при боль- СО + шнх впачениях этих абсцисс.

Нз У вЂ”,— дли4ч том же графике указаны экспери+х=йглг ментальйые точки по опытам Хангтл чи=дгаи вена '). Небольшие отклонения 'х=гйии в сечении х=3 сж могут быть объяснены близостью передней кромки пластиньк имевшей форму узкого клина. Теория Блазиуса была также подтверждена поадг7 у 3 у 4 Г ~ нейшими опытами И, Никурадзе'). ,„у.— -, На рис. 7 приводится сравнение результатов опытов Никурадзе Рис.

6. с теоретической кривой Блааиуса (на рисунке сплошная кривая). По-видимому, первой экспериментальной проверкой формулы сопротивления (1 М2) явилось исследование Фейджа в), проведенное в интервале рейнольдсовых чисел от 14 000 до 200 ООО. Не имея гнозможности непосредственно динамометрировать малые силы, Фейдж определял сопротивление косвенным путем по методу ампул~сов, ') !! аваев М., Хе!!волг. !. Аяяечг. МагЬ. и. Месл. 3, № 3 (1Я28). ') Ы ! К и г з д в е в., Еаш!ваге Ке!ЬапдввсИсрнев ав Йаг 1авяваяпевгговггеа Р!ане, йевгга!е !.

%Ъв. Бег!с№вчевеп, МапсЬев — Бег!!в (1942). ') Р а не А., АЙС, КЙМ, 1630 (1934). $ 4) пОГРАничный слОЙ ИА пластинке,(ЕАЛАНА злАзихсА) 31 Основзнному на измерении продольных скоростей в следе за плаСтинкой. По опытам Фейджа величина коэффициента сопротивления оказалась выше соответствующего значения коэффициента по Блазиусу примерно на 6 %, что скорее всего можно объяснить наличием ч пластинки конечной толщины и неточностью метода измерений.

Более поздние измерения И. Иикурздзе, опубликованные в только :то цитированной его монографии, дали значения: С = 1,3157ь)Где по способу лифференцирования экспериментального профиля скоостей) и С,= 1,319/)/Ке (метод импульсоз). Отклонения от фор~члы 71А2) не превосходят 1%. ЛАГГ / ДЮ рис. 7. петод непосредственного замерз силы сопротивления при помощи есов типа крутильных был разработзн Шульцем — Груновым '), Тот факт, что профили продольных скоростей в различных сече- / н Г~П„~, :иях пограничного слоя, построенные в координатах ) —, у1Г' — ) ~ и~„)Г ° ) ожатся (рис.

6) на одну и ту же кривую, показывает, что распре.еления скоростей подобны между собою, отличаясь при различных х 'олько масштабами скорости и поперечной координаты. Агвижения в пограничном слое, обладающие свойством подобия .. описываемые в связи с этим такими дифференциальнгями уравнениями, число аргументов в которых может быть сведено к меньшему числу (в рассматриваемом сейчас случае плоского движения уравнения в частных производных сводятся к обыкновенному), носят наименование «подобных» или «автомодельных». Задача Блазиуса дает ""ЧР ~аР""Р *" РГ "* """КР ')~ ~ ~ *А — О Г.,~Ю,~,.Г„„Ь„Ю.~~,ИВР'.«>. 1гл. г углвнения пгандтля дуюших параграфах настоящей главы н неоднократно па протяжении настоящей книги мы будем еще встречать примеры «автомодельных» движений.

Заметим, что понятие «автомодельности» относится к широкому классу физических явлений и изыскание азтомодельных решений представляет практический путь рассмотрения разнообразных задач математической физики. Вели выбрать за масштаб поперечных координат «толщину пограничного слоя» 5, понимая под этой толщиной такое значение у, при котором продольная скорость и отличается от скорости внешнего потока сг на выбранную наперед малую величину, то распределение скоростей представится приближенно в выражающей свойство подобия форме (1.43) Из третьего столбца таблицы 1 можно, задаваясь, например, значением скорости и, отличающимся от У на 19з, определить толщину пограничного слоя (в принятом условном смысле слова) приближенной формулой 11.

44) 5=5)/ Определенная таким образом «толщина слоя» растет вниз по потоку вдоль пластины пропорционально корню квадратному из абсциссы сечения слоя и представляется графически параболой грие. 5). Зависимость толщины слоя ь от рейнольдсова числа задачи У Ке =- — получим, переписав последнее равенство в форме (1,45) Это равенство подтверждает ранее уже высказанное общее свойство ламинарного пограничного слоя: его толщина в любом сечении обратно пропорциональна корню квадратному ив рейнольдсова числа.

В рассмотренной в предыдущих параграфах асимптотической теорни понятие о конечной «толщине» погрзничного слоя имеет совершенно условный характер и может способствовать .лишь приблизительной оценке порядка ширины области пограничного слов. В главе 1П будет изложен приближенный метод решения задач теории пограничного слоя, основанный на использовании представления о слое конечной толщины. Как уже отмечалось, решение Блазнуса непригодно волизи передней и задней кромок пластинки, Можно заметить, что ввиду наличия резкого продольного изменения скорости и сами уравнения Прандтля вблизи этих точек становятсв несправедливымя, и для анализа тече- 9 4) погглнячный слой нл пластинки 1злллчл вллзягсл) 33 ния приходится обрашаться либо к непосредственному интегрирова= нию полных уравнений Стокса, либо к тому методу разложения решения в ряд по степеням малого параметра, о котором уже шла речь з 3 2. По первому пути лля исследования движения вблизи передней кромки пошел И.

Е. Кочин в не доведенном им до конца исслеловании задачи об обтекании вязкой жалкостью полубесконечной пластинки '). Избегнуть возникновения неравномерных уточненкй при построении первых двух приближевий по методу малого пзраистра удалось Го Юнхуаго; его работа по этому поводу уже была цитиро- Ъ' вана ранее. » Вслн числа Рейнольдса не слишком велики, например порядка сотен или даже тысяч, то пользоваться выраже кием коэффициента полного сопротивления (1 42), вычисленным по теории пограничного слоя, т.

е. по нулевому приближению, уже I я л' л Х л нельзя. В этом случае необходимо учитывать следую- уЩ щие приближения в разло- Рис. Я. женин решения по отрицательным степеням корня квадратного из рейнольдсова числа. Приводим формулу 1,323 4,18 сг — — ' + — ' —, (1.46) )' Ке йе выведенную Го Юн-хуаем и хорошо подтверждаемую опытами, если число Рейнольдса превосходит значение 1О, В расчетах по теории пограничного слоя основное значение имеет продольная компонента скорости а, что же касается поперечной компоненты гп то она в большинстве случаев играет второстепенную роль, определяя собой так называемые «вторичные течения». Пользуясь (1,36), нетрудно составить выражение поперечной скорости дф 1./ »1)„ о = — — =-. — 'г' — (%' — т) дх 2 х н, пользуясь таблипей 1, вычислить ее значения при разных величинах «).