Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К.Кошкина - Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике)

ГЛАВА (У ТЕПЛОПРОВОДНОСТЪ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмеиа, т. е. такие, в которых температурное пале па времеви не изменяется и в днфференпнальном уравнении теплопроводностн Фурье — Кирхгофа производная дТ(дт =. О. Однако целый ряд важных практических задач теплообмена не может быть рассмотрен в рамках предположения о неизменности параметров процесса по времени.

К пим относятся задачи о прогреве теплозащитных оболочек и кон. структивных элементов скоростных летательных аппаратов, о нагреве стенок сопел реактивных двигателей твердого топлива, о расчете паля температур в энергетических ядерных реакторах при изменении режима работы, о тепловом режиме искусственного спутника Земли (ИСЗ).

В этой главе будут рассмотрены нестационарные процессы чеплопроводностн в неподвижных средах (твердых телах) и даны аналитические и численные методы решения дифференциального уравнения Фурье — Кирхгофа для нестацнонарного случая с различными краевыми условиями. Нестационарные тепловые пропгссы сопровождаются не только изменением температурного поля по времени, но почти всегда связаны с изменением энтальпин тела, т. е. с его нагревом и охлаждением.

Практические задачи нестацнанарнаго теплообмена можно разделить на две основные группы. К первой относятся процессы, происходящие при переходе тепла из некоторого начального теплаяого состояния в иное стационарное, обычно равновесное тепловое состояние. Прнмерамн могут служить изменение температурного поля в теле, помещенном в среду, температура которой отличается от начальной температуры тела, яли выравниваяие температур в теле с заданным начальным распределением температур. Ко второй группе можно отнести про. несси, происходящие в телах, испытывающих тепловое воздействие извне, изменяющиеся во времени па некоторому закону.

Здесь можно назвать процессы периодического изменения теыпературы при движении ИСЗ по орбите, часть которой пролегает в тени Земли, суточные и годовые колебания температуры в верхних слоях земной коры, т. пловые режимы вилара~он, яаходящихся на поверхности Луны, процессы в регенератнвиых теплообменниках и др. В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделить три этапа, характеризующиеся различными режнмал1и, из которых собственно не- стационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в теле определяется не только изменившимся тепловым воздействием, например изменением температуры окружающей среды, на и начальным распределением темпеРатур н теле Т, (х, у, г) прн т.= О. Поскольку начальяое температурное поле в общем слушав может быть весьма произвольным, то и тепловой режим па этом первом этапе носит характер неупорядоченного процесса.

На втг~ром этапе влияние начал1,наго состояния все более и более ослабевает и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями на границе тела, т. е. наступает режим упорядоченного процесса, в частаасти, регулярныя режим. Для большинства процессов первой группы характерен еще и третий этап, в котором температура тела во всех точках одинакова и равна температуре окружаюшен среды. Это состояние называют состоянием теплового равновесия.

Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступает лишь по прошествии бесконечна большого промежутка времени. Однако на практике 81 тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого к состоянию теплового равновесия, позтому и интересующие нас длительности нестациоиарныд режимов отнюдь не бесконечны. 4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Выведенное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье — Кирхгофа (2.10) в случае неподвижной среды и отсутствия внутренних источников тепла имеет вид — — аЧ 7, (4.

1) где а = )/(ср) и Чт — оператор Лапласа, записанный в прямоугольной, цилиндрической, сферической или иной системах координат. Это уравнение устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами тела в элементарном объеме, т. е. связывает временные и пространственные изменения температуры тела. Если заданы форма и размеры тела, а также его физические свойства (Х, с, р, ...), т е, геометрические и физические условия однозначности, то для решения уравнения (4.1) необходимо задать еще начальные и граничные, или краевые условия.

Поскольку температура тела в общем случае является функцией координат и времени 1 (х, у, г, т), то начальные условия, т, е. распределение температур в теле в начальный момент, задаются в виде 1' (х, р, з, О) = Го (х, у, г), где 1е — известная функция, которая необязательно должна быть задана аналитически, а может быть представлена численно или графически. В ряде практических задач начальное условие имеет более простой вид: 1(х, у, г, О) = 7, = сопз1.

Для однородных тел граничные условия могут быть заданы трех видов: температура любой точки поверхности тела в любой момент времени; тепловой поток у поверхности, либо температура среды, омывающей тело; условия теплообмена тела с окружающей средой. В отличие от стационарных задач все величины, входящие в граничные условия, могут изменяться во времени по заданному закону. 4.3.

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Теория подобия позволяет определить, от каких безразмерных параметров зависит решение уравнения (4,1). Предположим, что температура среды 7П омывающей рассматриваемое тело, — величина постоянная. Введем новую переменную (4.2) 0=-7 — 7. В2 Тогда дифференциальное уравнение теплопроводностн запишется в виде — =- аЧ'д. (4.3) Начальные условия: прн с = О д =- д, (х, у, г). Х где т Используем граничные условия 3-го рода: д где ). — коэффициент теплопроводности тела.

Если считать, что д, =- сопз1, то уравнение (4.3) можно привести к безразмерному виду, используя в качестве масштаба температур д„а в качестве масштаба длины — характерный размер тела 1. Тогда О =-д1д, — безразмерная избыточная температура, х = х11, у = = у11, г = г11 — безразмерные линейные размеры. При использовании новых переменных уравнение (4.3) примет вид где 7' — оператор Лапласа, записанный в системе безразмерных координат (х, у, 2), Это выражение преобразуется: ' дсд д (атуР) Условия однозначности уравнения (4.4) имеют внд: при т — О, 6 — —.1; на границе тела (4.5) Как видно, в уравнение (4.4) и в граничное условие (4.5) входят безразмерные величины — определяющие критерии подобия— ас1Р; а11х.

Решением является функция (4. 6) О == 1 (х, у, г, ас,'Р, а11'),). Безразмерный комплекс ат11' есть не что иное, как критерий тепловой гомохронностн Фурье Ро = ат(Р (см. гл. 3), который характеризует соотношение между временем протекания процесса и временем распространения температурной волны. Безразмерный комплекс и11). обозначается через В1 = а11х и так же, как и Ро, является критерием подобия процессов нестационарной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода, По своему физическому смыслу он характеризует отношение термического сопротивления теплопроводности стенки (51) ) к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой !(а.

Критерии Ро и В1 являются определяющими критериями, а функция 8 — определяемой. 83 В новых переменных уравнение Фурье — Кирхгофа имеет вид д — = уаО, дГо (4.7) а граничные условия 3-го рода (4 л8) Итак, 19 ==- 7 (х, у, а, Ро, В1). (4.9) Формула (4.9) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени т ==. О, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии В!.

Зависимость (4.9) можно получить аналитически и с помощью численных методов: оии представляются в виде таблиц или номограмм. На рис. 4. [ ... 4.3 приведены примеры номограмм для расчета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой. Рассмотрим несколько примеров использования этих номограмм, Пример 1. Стальная плита толшнной 25 = 200 мм с начальной температурой 7, — —. 955 К опушеяа в масляную ванну (температура масла принимается постоянной и равной 79 = 365 К). Считая комйфицнент теплоотдачи постоянным [а .—.

40 Вт!(ма К) ), определить теьшературу в плоскости симметрии н на поверхности плиты через 24 мин и через 1 ч. Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофнзическнх свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом интервале температур Х аа 40 Вт'(и К) и а = 0,05 ма)ч. Тогда значения определяюшнх критериев Го и В) будут ат 5 10 а.2 Го =.= — =. =. 2 при т = 24 мин 6' 510а и Го, = 5 при г =- 1 ч; В1= 0,1. 11ользуясь номограммами, приведенными на рис. 4.1, а, б, находим: через 24 мнн Вц =, = 0,85; Вм = — = 0,81, где Вп — безтп — т, т -т, т,— т„' ' т,— т, размерная температура в плоскости симметрии, а В .

— на поверхности пла- стины; через 1 ч Вц -— — 0,66; Вм = 0,62. Следовательйо, через 24 мин температура в плосхостн симметрии плиты будет Тц =. 0,85 (Та — Тг) + Тг = 0,85 (955 — 356) + 355 =. 865 К, а на по- верхности - — Тм -- 0,81 600+ 355 = 841 К. Через 1 ч соответствуюшие температуры будут Тц =- 751 К и Тм =727 К. Пример 2. Какую минимальную толщину должна иметь стенка дозвукового сопла для того, чтобы за 5 с работы двигателя температура поверхности, омы- ваемой продуктами сгорания с Тг .= 2500 К, не превысила допустимой — Тм =— — 1300 К.

(Стенку рассматривать как плоскую пластину; отводом тепла с на- ружной поверхности сопла пренебречь; и —.- !000 Втйм'К); Х =- 30 Вт1(м.К); а = 0,05 мзуч; начальная температура стенок Т, = 300 К.) Решение. Согласно номограмме (см. рнс. 4.1, б) для поверхности пластяны т„— т, п ри допустимом значении Тм безразмерной температуре Вм = а 84 1300 — 2500 — — 0,545 соответствует совокупность значений го =.

1; 2; 3; 300 — 2500 4; 5; б и В! =- 0,5; 0,23; 0,19; 0.14; 0,11; 0,095. В то же время между В! = иб(Л и Го = ат(5' можно найти связь, выражая 5 через (5 =- В! (ЛЪ(! и подставляя в критернй Фурье: ц гоз ВН з Для условий рассматриваемой задачи 0,05 5 1000в ЗбОО 30з О, 07 ОО П,5 02 ,о о а' о о оо о 7'О г 0,02 0,02 00! п,а! а) ! 0,7 004 ООО ' !в ос( П,2 о 'ло о о' -г о оо -,го оо .Р а а82 0 П2 ап! 00! 0 7 2 5 4 5 б 7 8 70 72 747602822242628507! и) рис.