Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 9

Конвективный перенос связан с использованием тех нли иных моделей движения среды. Наибольшее распространение в теории тепло- и массопереноса получили уравнения Навье — Стокса в приближении Буссинеска. Дальнейшее упрощение связано с использованием параболизованных уравнений, приближения пограничного слоя и т.д. Деформирование твердых тел при тепловых воздействиях описывается уравнениями термоупругости. Математическая модель базируется на дополнении уравнения теплопроводности системой уравнений упругости.

Отдельного упоминания заслуживают более простые модели, связанные, например, с описанием напряженного состояния тонких пластин, оболочек и т.д. 2.1. Теплопроводпость твердых тел 2.1.1. Ураввевие теплопроводвости Основное положение теории теплопроводности, известное как закон Фурье, состоит в предположении пропорциональности теплового потока градиенту температуры в однородной неподвижной среде: д = — й язвд Т, где Й вЂ” коэффициент теплонроеодности.

Для получения уравнения переноса тепла запишем закон сохранения энергии в виде ОТ ср — = — д1то+ 2, (1) где у определяет мощность внутренних источников теплоты, с — удельнал теплоемкость и р — ллотность среды. Подстановка выражения для потока тепла в (1) позволяет записать следующее основное дифференциальное уравнение тенлонроводности: ОТ ср — = д1т(йягадТ) + у. Ю (2) Коэффициенты и правая часть уравнения теплопроводности могут зависеть от точки пространства (неоднородная среда).

В этом случае с = с(х, у, л), р = р(х, у, г), Й = Й(х, у, л), 2 = 2(х, у, е), а само уравнение теплопроводности является линейным параболическим уравнением второго порядка. Типичной в теплофизических исследованиях является ситуация, когда теплофизические свойства среды зависят от температуры, т.е. в уравнении (2) с = с(Т), р = р(Т), й = Й(Т), 2 = у(Т).

Таким образом мы приходим к квазилинейному уравнению теплопроводности. З7 1Л. Теллалраеаднасть твердых тел Если теплофизические свойства среды постоянные (однородная среда), то уравнение теплопроводности (2) упрощается н принимает вид: дТ вЂ” = аЬТ+ —.

дг ср Здесь использованы обозначенигс а = Ге/(ср) — ноэффиянент темлературанраеаднаста, г2 = йт йгаб — оператор Лапласа. Другой частный случай уравнения теплопроводности (2) соответствует описанию установившихся тепловых полей. Стационарное уравнение теплопроводности имеет вид (в (2) дТ/дй = 0) Йт(йрж$Т) = -/ (4) дг гх = — + — + —. Яка %з Я 2' (7) и является эллиптическим уравнением второго порядка.

При моделировании теплопереноса в движущейся среде (движущей- ся системе координат) уравнение теплопроводности (2) соответствующим образом трансформируется. Переход основан на замене частной произ- водной по времени д/дг на полную производную по времени (субстан- циональную производную) И д — = — +вагаб, аг И где т — локальная скорость среды. Поэтому уравнение теплопроводности в движугцейся среде записывается следующим образом: /дТ ср ~ — + т угад Т = гйт (Ге Игаб Т) + /. ~и (5) Здесь член с т ящб Т определяет изменение температуры за счет конвек- тивного переноса. Уравнение теплопроводности в обычной прямоугольной (декарто- вой) системе координат (х, у, е) получается на основе приведенной ин- вариантой записи (уравнения (2) — (5)) с учетом того, что: ( д д д1, да дат да, йгаб =1 —,—,— г, 01та= — + — "+ —.

= '(д*' ду' де )' ду да Отсюда следует„ что уравнение (2) можно записать следующим образом: ср = — Гг — + — Ге — + — й — + /. (б) Аналогично выписываются и другие уравнения. Например, уравнение (3) переписывается с учетом того, что оператор Лапласа Ь в декартовых координатах есть 38 Тхава 2. Математические модели теллофизики 2.1.2. Крнволннейньге ортогональные системы ноордннат Выпишем теперь основное уравнение теплопроволности в наиболее широко используемых в вычислительной практике криволинейных ортогональных системах координат.

пусть функции х! = хэ(х1 р~ «) хг — хг(х~р~ «) и хз — хэ(хф у! «) определяют координаты точки (х, р, «) в криволинейной ортогональной системе координат (х„хг, хз) и зто преобразование не вырожденное. Элемент длины и элемент объема в криволинейной ортогональной системе координат даются выражениями: (у! !$х! + Уз !$хг+ Уз ~хз) н 2$о = Уэугуз !$х! сгхг !$хз> 2 2 2 2 2 2 2$2 где у! Уг дз — метрические козффициенты. Обозначим 12, 12, $3 — единичные векторы локального базиса.

Тогда для произвольного скаляра.ф имеем 1 дед 1 дэд 1 дэд Ипэ!$2Р = — — 12+ — — 12+ — — $э У! дх! У2 дхг 93 дхз (8) Для вектора а = (аэ,аг,аз) основные операции векторного анализа в криволинейной ортогональной системе координат выглядят следую- щим образом: 1 / д д д б1ч а = — 1 — (Угдза!) + — (У!Узаг) + — (УэУгаэ), (9) Уэугуз чдх! дх дхз гога= — $уэ( — (дзаз) — (дгаг) $э+ Уэугуз дхг дхз + Уг ~ (Узаз) — — (д! а!)) 12 + Уэ ~ — (дгаг) — — (у,а!) 13, (и!) $,д*, дз ) (дх, д, Среди повторных операций выделим оператор Лапласа: д дд ЕФ д дд дэР Ранее (см.

(6)) было выписано уравнение теплопроводности в декартовых координатах, для которых х, = х, хг = у, хз = «, д! = 1, уг = 1 и уз = 1. Для цилиндрической системы координат имеем х! = т, хг = р, хз = «, д, = 1, дг = ! н уз = 1, и в соответствии с (8), (9) уравнение теплопроводности (2) примет вил дТ 1 д l дТ'э 1 д /$едТЪ д / дТ'э ср — = — — ~гй — ~ + — — — — ~ + — ~й — ) + У (12) дг де~ д ) гдД.др) д«~ д«) 29 2.1. Теплапрвводпость твердьи твл от 1 оу' от~ 1 оу' 1от1 ср — = — — 1 Йг' — 1+ . — ~Ыпа — — 1 + И г О 1, О ~ гз1пааа(, аа) Из (10), (11) можно получить и соответствующие выражения для ротора и оператора Лапласа в цилиндрических и сферических координатах. 2.1.3.

Аииаотропные среды Мы привели уравнение теплопроводности для случая, когда среда изотропна. Теплофизические характеристики многих твердых тел (например, кристаллов, композиционных материалов) характеризуются анизотропией, т. е, их свойства различны в различных направлениях. В этом случае теплопроводность является не скаляром, а тензором второго ранга. Для тензора теплопроводности Й имеем Р*в Йвв Й*1 1 (14) причем этот тензор симметричный (Й,„= Й„„Й„= Й„и т.д.).

Уравнение теплопроводности сохраняет свою форму в виде (2) с учетом (14). В покоординатной записи вместо (6) будем иметь от а у ат от от'1 ср — = — ~Ʉ— + 1с,„— + Ʉ— 1 + а г от от от'1 о Г ат ат от'1 + — ~Й„,— +Й„„— +Й„,— ~+ — ~Ʉ— +Й,„— +Ʉ— ~+У. (15) В случае однородной среды, когда теплофизические характеристики постоянны, анизотропное уравнение теплопроводности (15) с учетом симметричности тензора теплопроводностн Й упрощается к виду: а'т азт азт ср — = Ʉ— +Ʉ— +Ʉ— + а1 ** дхз "дуз " даз от ат от + 2Йт — + 2Йвв — + 2Йв* — + ~. (16) *"Охду *'охах " дуда Это уравнение характеризуется наличием смешанных производных.

От них можно избавиться, если перейти к некоторой новой прямоугольной системе координат (х', у', а'), в которой уравнение (16) примет наиболее простой внд: от о'т азт азт ср — =Й,— +Йв — +Й,— +у. *'а и ауз д (17) Аналогично для сферической системы координат имеем х~ = г, хз — — а, хз = р, у1 —— 1, уз = т, и уз = гзща. Поэтому уравнение теплопроводности записывается следующим образом: 40 Й2ава 2. Математические модели тенлофизики Оси координат (х', у', «') называются главными осями теплопроводности, а коэффициенты йеч й, й, — главными коэффициентами теплопровод- ности соответственно.

2.1.4. Гиперболическое уравнение теплопроводиоети дд д = — й 8габ Т вЂ” т„—, д1 ' (18) где т, = сопзг — время релаксации тепловых напряжений. Для получения уравнения переноса тепла подставим (18) в (1) и получим /дт д2ТЪ ду ср ~ — + т„— ~ = бгч (й угад Т) + у + т, —. ~д1 "д12 дт (19) Уравнение (19) является уравнением гиперболического типа — гипербо- лическое уравнение теплопроводности.

2.1.5. Задачи ! Задача 1. Запишите в произвольной системе ортогональных координат уравнение теплопроводности для двихсущейся однородной среды. Решение. Рассматривается уравнение теплопроводности дТ вЂ” +тугадТ = абьТ+— дс ср (20) в произвольной ортогональной криволинейной системе координат.

При- нимая во внимание (8) и (11), получим: дТ о2 дТ оз дТ оз дТ + + — + — —— у~ дх у2 дх2 у3 дхз Задача 2. Преобразуйте уравнение теплопроводности для движущейся однородной среды к самосопряженному уравнению в условиях, когда гоге=0 (безвихревые, потенциальные движения).

Закон Фурье получен на основе предположения бесконечной скорости распространения тепла в среде (градиент температуры и плотность теплового потока в любой момент времени соответствуют друг другу). Для высокоинтенсивных нестационарных тепловых процессов необходимо учитывать конечность скорости распространения (инерцию) тепла. Отражением этого служит закон Фурье с дополнительным членом: 41 2.2. Замыкающие соотношения Решение. Снова рассматривается уравнение (20). Его иесамосопряжеииость обусловлена наличием коивективиого слагаемого тягай Т. Для того, чтобы от него избавиться, попробуем представить решение в виде Т(х, у, я, 1) = Л(х, у, я, 1)и(х, у, я, 1) (21) и подобрать соответствующим образом функцию 22(х, у, я,1). При го1т = 0 заданное поле скоростей можно представить в виде т = яшбФ, где Ф вЂ” потенциал скорости.

С учетом (21) уравнение теплопроводиости принимает вид: ди /дЛ Л вЂ” + ~ — +йпк1Фйпк1Л и+Лягаг1Фвгайи = В1 1,В1 У = ахи+ аЬ22и+ 2а апв1 Вяпм1 и + —. ср Зададим функцию В так, чтобы выполнялось равенство 22апк1 Ф = 2а ягаб 22. С этой целью можно положить В = еей"1. Тогда для определеиия неизвестной и получим искомое уравнение: В 1 ~ВФ 1, ~,Д„,У вЂ” = аЬи — — ~ — + -(дгаб Ф) — аЬФ~ и+ е д$ 2а~ д$2 ср Это уравнение уже не содержит членов с первыми производными по про- страиству. 2.2. Замыкающие соотношения 2.2.1. Началькые и краевые условия Распределение температуры в точках среды иа различные моменты времени определяется из уравнения в частных производных (уравиеиия теплопроводиости).

Для однозначного определения температурного поля Т(х, у, а, 1) помимо уравнения теплопроводиости необходимо сформулировать дополнительные (замыкающие) соотиошеиия, так как решения уравнений в частных производных определяются с точностью до некоторых произвольиых функций, Для того, чтобы исключить этот произвол, и формулируются иекоторые дополнительные соотношения: в некоторых точках известно само решение, производные от решения в некоторых направлениях и т.д. Расчет температурного поля осуществляется в некоторой выбранной области пространства. Для простоты ограничимся случаем постоянной расчетной области й, в которой и ищется решение уравнения теплопроводности. Будем считать, для определенности, что исследуется процесс тепло- передачи, начиная с момента времени 1 = 0 до некоторого момента време- 42 Тлава 2.