Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 6

В качестве классических примеров аналитических методов отметим методы ра~еления переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики. Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Этот подход базируется на использовании асимптогических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам уделяется при рассмотрении сингулярно возмущенных задач. Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями, Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.

Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы иа компьютерах численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь аналитическое решение нелинейных задач является исключением из правил, а численное решение — норма. Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании.

Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютеры можно использовать лля нахождения автомодельных решений.

При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных 1.2, Применение камньютеров при математическом моделировании 25 сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютерах (методов вычислительной алгебры), таких как Мар!е. В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (аналитическими, чисто математическими) прикладной математики.

Выделенный этап применения компьютеров при математическом моделировании характеризуется условной цепочкой «заказчик (теоретик) — исполнитель (прикладной математик)*. Заказчик ставит задачу, анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи с применением компьютера. В этом случае речь идет о решении конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных данных. Второй этап (уровень) применения компьютеров характеризуется исследованием сложных математических моделей. В этих условиях вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладаю- шими. Традиционные средства прикладного математического моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное исследование задачи в сильно упрощенных постановках — модельные задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т.д.).

Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.

Прежде всего отметим место математики и ее методов в теоретических и экспериментальных исследованиях, а затем перейдем к характеристике новой интегрирующей технологии научных исследований. Использование математических методов характерно для теоретического уровня познания действительности. С развитием и углублением наших теоретических познаний шире привлекается математический аппарат, используются новые математические понятия и идеи. Сами математические модели уместно разбивать на два типа: фундаментальные н прикладные.

Для каждого типа моделей математический аппарат играет различную роль, а тем более такой мощный как компьютеры и численные методы. В каждой науке теоретический уровень характеризуется формулировчоа основных законов и положений. далее развитие науки происходит П~ава 1. Введение на основе анализа следствий из этих фундаментальных положений, их сопоставления с экспериментальными данными. Фундаментальные модели не могут быть выведены из эксперимента, но могут быть подсказаны им.

Следствия из фундаментальных моделей, которые мы называем прикладными моделями, должны сопоставляться с экспериментом. Такое сопоставление является критерием пригодности самой фундаментальной модели. Создание новой фундаментальной модели приводит к пересмотру основных законов, самого теоретического фундамента науки. Методы математики естественно привлекаются для исследования следствий из фундаментальных моделей. Поэтому обычно речь и идет о прикладном математическом моделировании, что отражает, в известной степени, то обстоятельство, что мы имеем дело с прикладными математическими моделями. Современный этап развития механики, физики и техники характеризуется сложными фундаментальными моделями, которые приводят ко все более сложным, более совершенным прикладным математическим моделям.

Но, и это естественно, возрастают и возможности математических методов. Сделаем несколько замечаний относительно использования математических методов в экспериментальных исследованиях. Экспериментатор, в самой общей схеме своего исследования, воздействует на исследуемый объект, получает информацию о результатах этого воздействия и обрабатывает ее. В каждом экспериментальном исследовании проводится статистическая обработка опытных данных. Количественная оценка влияния отдельных факторов (параметров) проявляется в построении эмпирических зависимостей, интерполирующих с той или иной точностью экспериментальные данные.

В этом случае можно говорить об использовании аппроксимационных математических моделей, в которых содержательные математические модели как таковые просто отсутствуют. Получение критериальных зависимостей в теплофизике есть пример таких аппроксимационных моделей. Настоящий уровень развития экспериментальных исследований характеризуется все более широким применением все более совершенных приборов. Сами приборы неизбежно вносят возмущения в исследуемое явление или процесс. С целью избавления от этих погрешностей строится математическая модель прибора. Экспериментальные исследования все чаше ведутся с помощью измерительно-вычислительных комплексов, которые позволяют получать, хранить и обрабатывать экспериментальные данные.

При обработке опытных данных приходится иметь дело с обратными задачами. Методы приближенного решения таких задач в настоящее время активно разрабатываются. Поэтому и на стадии обработки и интерпретации данных экспериментальных исследований вычислительные средства находят все более широкое применение. 1.3. Вычислительный эксперимент 1.3. Вычислительный эксперимент Теоретические и экспериментальные исследования обладают большой степенью автономности. В условиях, когда фундаментальные модели известны, апробированы может быть поставлена проблема более тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Речь идет о новой интегрирующей технологии научных исследований, которой является вычислительный эксперимент.

Изложим вначале общую схему вычислительного эксперимента, а затем ладим краткую характеристику его основных этапов. Более развернутое описание дается в последующих главах настоящей работы. Понимая вычислительный эксперимент в узком смысле, как создание и изучение математических моделей исследуемого объекта с помощью вычислительных средств, можно выделить в качестве основы триаду «модель — алгоритм — программа*.

В широком (методологическом) смысле под вычислительным экспериментом мы понимаем новую технологию научных исследований. Основные этапы вычислительного эксперимента прослеживаются на рис. 1.1. Рис. 1.1 Мы будем в своем изложении ориентироваться только на детерминированные объекты исследования, которые характерны для теплопередачи. В случае вероятностных объектов используется свой математический аппарат. Для исследуемого объекта сначала строится математическая модель. Она базируется на известных фундаментальных моделях. Вычислительный эксперимент, по своей сути, предусматривает исследование группы близких моделей.

Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным модель. В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются новые факторы и т.д.