Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 7

Поэтому мы всегда можем говорить (более того, должны говорить) о наборе, упорядоченном наборе 1об иерархии) математических моделей, каждая из которых 28 Н~ава 1. Введеиие с той или иной точностью описывает действительность. И в рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласия с экспериментом. После построения математической модели традиционными средствами прикладной математики проводится предварительное исследование математической модели.

Суть вычислительного эксперимента, его содержательное зерно состоит в исследовании математических моделей на компьютерах численными методами. Здесь же речь идет только о предварительном исследовании математической модели. На этом этапе с доступной полнотой, на принятом в математике уровне строгости решаются вопросы о корректности полной задачи. Основное содержание предварительного исследования математической модели состоит в выделении модельных (упрощенных) более простых задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая модель слишком сложна.

Модельные математические задачи в цикле вычислительного эксперимента строятся для двух различных целей; вопервых, для качественного исследования полной задачи (а опосредовано и исследуемого объекта), во-вторых — для проверки, тестирования вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи. При качественном исследовании модельных (упрощенных) задач изучаются вопросы множественности решения, его устойчивости и т.д. Большое значение имеют также точные частные решения существенно нелинейных задач, асимптотические решения и т.д.

Таким образом здесь применяется обычный математический арсенал теоретического исследования проблемы. На следующем этапе вычислительного эксперимента строится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Сама математическая модель включает в себя, как правило, уравнения с частными производными (ядро математической модели), системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Построение вычислительных алгоритмов и их исследование является вотчиной вычислительной математики.

Здесь также наблюдаются две тенденции научных исследований. В традициях (парадигме) чистой математики одни исследователи изучают дискретные модели и численные методы их исследования вне связи их с прикладным математическим моделированием, реализацией на компьютере в контексте решения прикладной проблемы. Проводятся строгие доказательства о существовании решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса.

Представители прикладного направления в вычислительной математике работают на несколько другом («физическом») уровне строгости, для которого характерны такие нестрогие понятия как «практическая сходимость», «реальные сетки» и т.д. Безусловное требование полной строгости при прикладном математическом моделировании ни к чему хорошему не приводит. .

1.3. Вычислительный эксперимент 29 Вычислительный эксперимент характеризуется двумя особенностями, которые необходимо учитывать при создании адекватного ему программного обеспечения. Это, во-первых, многовариантность расчетов в рамках фиксированной математической модели и, во-вторых, многомодельность. Здесь уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко менять ее для решения близких задач (задач для набора моделей). Программное обеспечение вычислительного эксперимента базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ.

Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он вкяючает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную. В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства ЭВМ, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс. Пакеты прикладных программ, рассматриваемые как технология решения задач в рамках вычислительного эксперимента, позволяют наиболее эффективно использовать накопленный программный продукт, резко поднять производительность труда программистов. Затем в цикле вычислительного эксперимента проводится серия расчетов на компьютере при изменении тех или иных параметров задачи.

Полученные данные анализируются и интерпретируются с участием специалистов в прикладной области. Обработка результатов проводится с учетом имеющихся теоретических представлений и экспериментальных данных. Она осуществляется, во-многом, в традициях классического натурного эксперимента. Сами опытные данные представляются в виде таблиц, графиков, фотографий с дисплея, кинофильмов и т.д. Надо только всегда иметь в виду, что объем обрабатываемой информации, детализация полученных результатов в вычислительном эксперименте несравненно больше. В вычислительном эксперименте проблемы хранения и обработки информации имеют все возраставшее значение. На этапе анализа результатов становится ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация.

Если есть необходимость, модели и численные методы уточняются и весь цикл вычислительного эксперимента повторяется. Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, чрезвычайно важно отметить его универсальность, которая позволяет легко переносить эту технологию на исследование других объектов. Это обстоятельство характерно вообше для математического моделирования и порождено тем, что многие явления и процессы имеют одни и те же математические мпдели. Тот факт, что вычислительный эксперимент является многопепевыы позволяет на ~с~~не накопленного опыта математического 30 Бгава 1.

Введелие моделирования, банка вычислительных алюритмов и программного обеспечения быстро и эффективно решать новые задачи. Второй особенностью вычислительного эксперимента как технологии научных исследований является его междисциплинарный характер. Мы постоянно подчеркиваем это обстоятельство, говоря о том, что прикладной математик объединил теоретика и экспериментатора для более быстрого достижения обшей цели. Вычислительный эксперимент может рассматриваться как удобная форма кооперации в сфере умственного труда, повышения его производительности.

В едином цикле вычислительного эксперимента работают и теоретик, и экспериментатор, и прикладной математик, и программист. Можно отметить следующие отличительные особенности и преимущества вычислительного эксперимента перед натурным экспериментом. Во-первых, вычислительный эксперимент проводится даже тогда, когда натурный эксперимент невозможен.

Например, исследование тепловых процессов при термоядерных параметрах (кроме взрыва атомной бомбы пока нет других возможностей достичь их). Во-вторых, при использовании вычислительною эксперимента резко снижается стоимость разработок и экономится время. Зто обеспечивается многовариантностью выполняемых расчетов, простотой модификации математических моделей для имитации тех или иных реальных условий. Создание новых изделий и технологий напрямую связано с тяжелой, дорогостоящей н длительной доводкой.

Вычислительные средства позволяют в значительной степени сэкономить время и деньги именно на этой стадии. Данные экспериментальных исследований используются для калибровки математических моделей, контроля точности приближенного решения задачи. В традициях экспериментального исследования мы воздействуем на математическую модель и обрабатываем результаты (вот почему мы юворим об эксперименте, хотя и вычислительном). И лишь изредка мы контролируем точность своего «прибора», сравнивая его с эталоном. В традициях теоретического исследования в вычислительном эксперименте мы имеем дело с математической моделью, а не с самим объектом, Эти общие черты мы рассматриваем как дополнительные аргументы в пользу интерпретации вычислительного эксперимента в широком (методологическом) смысле как интегрирующей технологии научных исследований.

Вычислительный эксперимент необходимо рассматривать как новую технологию научных исследований в перспективе, как тенденцию, как логику развития организации научных исследований. В настоящее время он, в основном, реализуется в узком смысле по цепочке «заказчик— прикладной математике. Более тесная увязка теоретических и экспериментальных исследований в единой технологии научных исследований является ярко вгераженной тенденцией нашего времени. И примечательно, что основным связующим звеном этой методологии является вычислительный эксперимент. 1.3. Вычислительный эксперимент Остановимся теперь на краткой характеристике основных областей применения вычислительного эксперимента. Основное внимание уделим классификации видов эксперимента по применениям и по типам используемых математических моделей.

Такая взаимоувязанная классификация позволяет ориентировать исследователя на использование адекватного математического аппарата исследования математических моделей. Математическое моделирование традиционно развивается в недрах фундаментальных наук: механике и физике, для которых отмечается наивысший уровень теоретических исследований (другими словами, уровень математизации).

В этих науках с внедрением современных математических методов, в том числе и численных, относительно благополучно. Для теплофизики, например„ характерно наличие устоявшихся математических моделей, существует банк основных задач. Поэтому здесь основное внимание уделяется построению вычислительных аагорнтмов и созданию достаточно гибкого программного обеспечения. Значительно менее совершенен математический арсенал инженера и технолога. В технике до настоящего времени традиционным является путь опосредованного внедрения научного знания. Прежде всего новые идеи становятся достоянием фундаментальных наук, затем трансформируются в той или иной прикладной области и лишь затем— в конкретных технических проектах и разработках.

Это относится прежде всего к применению современных математических методов теоретического исследования, математическому моделированию и вычислительному эксперименту. Такой путь превращения идеи в конкретное научно-техническое решение, новую технологию неоправданно долог и расточителен. В современных условиях необходимо обеспечить повсеместное непосредственное внедрение математических методов в науку и технологию.

Математическое моделирование технологических процессов сулит огромную выгоду, переход на новый качественный уровень самой технологии. Наиболее благодатное поле для приложения методов математического моделирования и вычислительного эксперимента — техника и промышленность, технология.

Мы выделяем три основных типа вычислительного эксперимента: поисковый, оптимизационный и диагностический. Такая классификация проводится, с одной стороны по областям приложений, с другой стороны — по природе используемых математических моделей. Чтобы пояснить это, рассмотрим каждый из них более подробно. При исследовании нового процесса или явления обычный подход связан с построением той или иной математической модели и проведением расчетов при изменении тех или иных параметров задачи. Этот тип вычислительного эксперимента мы называем поискоеым вычислительным экспериментом. Если основу математической модели составляют уРавнения с частными производными, то в цикле вычислительного эксперимента исследуется н решается численными методами прямая задача математической физики.