Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 10

Математичепсие модели теляод)изики ни $ = 1 ) О. Поэтому решение уравнения теплопроводности (см. (2), п.21) ищется в цилиндре Я=((хуа1))(хуз)бй, 0<1<1 ), те. ВТ ср — = Йч(йугабТ)+~, (х,у,х,1) Е Я. (1) Это уравнение содержит частные производные как по пространству, так и по времени. Поэтому дополнительные соотношения должны задаваться на множествах точек пространственной области й и временного интервала (0,1 ), на некоторых множествах точек цилиндра 0.

Для уравнения теплопроводности обычно ставятся краевые задачи. В этом случае дополнительные соотношения зздаются на границе Я и называются краевыми условиями. Условия на боковой поверхности цилиндра Я соответствуют условиям по пространственным переменным (на границе пространственной области й). Поэтому для таких условий уместно использование термина граиичиые усчояия. Условия на нижнем основании Я соответствуют заданию начальных уатвяй. Имеется возможность задания и более сложных условий.

Например, вместо начальных условий при 1 = 0 могут быть заданы дополнительные условия на другом сечении цилиндра Я, например, при некотором 1 = 1". Другими словами, множество точек, где заданы дополнительные соотношения, может лежать и внутри 1'„ь. Некоторые возможности в этом направлении обсуждаются ниже при выделении основных типов задач для уравнения теплопроводности. Обычно считается, что температурное поле задано на начальный момент времени, т. е. Т(х,у,а,О) =Т (х1у,я), (х,у,а) Е й. (2) При рассмотрении высокоинтенсивных температурных процессов на основе гиперболического уравнения теплопроводности (см. (19), п.2.1) необходимо задавать два условия по времени.

Например, в начальный момент времени известна температура и скорость ее изменения во времени. Это позволяет задать помимо (2) и условие: Π— Т(х У а,1) =д(х,у,а), (х,у,а) Е 11, 1=0. (3) Задание условий типа (2) требует при прикладном моделировании проведения прямых измерений температуры на некоторый фиксированный момент времени.

Такие измерения не всегда возможны. Поэтому могут использоваться и другие подходы. Например, для уравнения (1) могут быть приемлемыми условия на конечный момент времени, т.е. вместо условия (2) задано условие Т(х,у,а,1 ) =Х~(х,у,а), (х,у,х) Е Й. (4) В этом случае по условиям (4) необходимо на основе уравнения теплопроводности восстановить температурное поле в предылуший момент 43 2.2.

Замыкающие соотноигвния Т(х, у, з, 1) = д(х, у, х, 1), (х, у, я, 1) Е Г, (5) где à — боковая поверхность й: Г= ((х,у,з,з) ~(х,у,я) 6 дй, 0 <1< зхы~. Условия первого рода (5) называются также условиями Дирикле. Граничные условия второго рода (условия Неймана) соответствуют заданию на границе теплового потока.

Для уравнения теплопроводности (1) в изотропной среде оно записывается в виде: дТ 1г — =д(х,у,з,1), (х,у,з,1) ЕГ, (6) Вп где через д/дя обозначена внешняя по отношению к области й нормаль к границе дй. Более сложная ситуация возникает с постановкой граничных условий второго рода для уравнения теплопроводностн в анизотропных средах (см. (15), п.2.1), Пусть соз(п,х), соз(н,у), соз(в,я) — направляющие косинусы внешней нормали.

Поток определяется выражением дТ / дТ дТ ВТ з — = 1 я„— + н,з — + й„— ~ соз (и, х) + В (, ™В* *"ду **д,) ( ВТ ВТ ВТ~ + (й, — + й — + й, — ) соз (~, у) + дх Ву дя) ВТ ВТ ВТ 'г + й„— + й,„— + й„— ) соя(п, л), которое соответствует дифференцированию по нормали. Граничное условие второго рода записывается в виде ВТ вЂ” = 9(х,у,я,1), (х, у,л,з) Е Г, (8) (7) которое обобщает условие (6) (определяя д/ди = яд(дп) на случай анизотропных сред. .баночное условие третьего рода моделирует конвективный теплообмен между поверхностью твердого тела с окружающей средой, которая имеет температуру Т,.

Обычно считается, что тепловой поток пропорционален разности температур между поверхностью и окружающей средой и поэтому для изотропной среды имеем дТ й — + а(Т вЂ” Т ) = О, (х, у, я, 1) Е Г, (9) времени 1 < 1 . Таким образом, мы формулируем ретроспективную задачу для уравнения.теплопроводности. Среди граничных условий для уравнения теплопроводности выделяют как основные граничные условия первого, второго и третьего рода.

Наиболее простая ситуация характеризуется заданием температурного поля на границе дй (граничные условия первого рода); Глава 2. Математические модееи теляофизики где а — козффиииент теаяообмена. Аналогично формулируется соответствующее условие (см. (8)) в случае анизотропных сред. Граничные условия третьего рода могут рассматриваться как наиболее общие из приведенных выше. Эти условия можно записать в форме дТ й — + а(Т вЂ” у) = д, (х, у, я, 1) Е Г.

(10) Тогда при сс — 0 из (10) мы получим условие второго рода (6) и, напротив, при а -+ оо следуют условия первого рода (5). 2.2.2. Условия сопряжения Отдельного обсуждения заслуживают условия на границе контакта двух сред с различными теплофизическими характеристиками — условна соаряхсения. Прежде всего остановимся на вопросе, какие условия сопряжения естественны для уравнения теплопроводности и следуют из самого уравнения, а следовательно, их можно явно не формулировать.

В этом случае условия контакта обуславливаются только разрывами теплофизических характеристик при переходе границы сред. Будем считать, что контакт двух однородных сред проходит по плоскости х = О. Теплофизические характеристики, отнесенные к среде, занимающей полупространство х > О, будем помечать плюсом, а для второй среды (когда х < 0) будем использовать обозначения с минусом. Рассмотрим уравнение теплопроводности в виде д1 дх дх д д дя дя причем коэффициенты уравнения разрывны при х = 0: (12) С учетом такого разрыва коэффициентов уравнения (1!) естественно считать, что само решение уравнения (температура Т) непрерывно, а вот его первые производные уже разрывны.

Поэтому напишем условие непрерывности температуры при переходе из одной среды в другую в форме (Т]=0, х=О, (13) где через ( ] обозначен скачок при переходе границы контакта. В рассматриваемом случае (Т] = Т(х + О, у, я) — Т(х — О, у, я). Осталось сформулировать условия сопряжения для первых производных температуры. Для того, чтобы получить реализуемые (естественные) условия сопряжения для уравнения теплопроводности (11) с разрывными коэффициентами (12), можно поступить следующим образом. Выделим на границе контакта некоторую ограниченную область бд и проинтегрируем исходное уравнение теплопроволности (11) по области шириной 2е: 4б Йгава 2. Математические модели тенлофизики Условия сопряжения (15) могут включаться в само уравнение теплопроводности, которое записывается для всей расчетной области без выделения границы контакта Я.

Поверхностный источник тепла учитывается дополнительным слагаемым в уравнении (11): ср — = — [чй — ) + ~ й — ) + — [ й — ) + беде + У (19) И Ох ~ О ) Оу[, Од ) Оз [, Ох ) В уравнении (19) бл есть поверхностная б-функция, определяемая так, по для любой функции Р(х, у, к) справедливо соотношение; беР(х, у,з) дх дуде = / Р(х, угх) де. В вычислительной теплофизике выделяют и другие типы условий сопряжения. В качестве примера отметим условия типа сосрелоточенной теплоемкости, когда также имеет место непрерывность температуры, а разрыв теплового потока определяется соотношением: с ОТ1 ОТ й — ~ = сер —, (х, у, к) Е Я, (20) где сз — сосредоточенная теплоемкость контакта.

Условия сопряжения (15), (20) с использованием поверхностной б-функции включаются в уравнение теплопроводности подобно уравнению (19). В прикладных исследованиях большого внимания заслуживают условия неидеального контакта. Такой случай реализуется, например, при недостаточно плотном соприкосновении шероховатых твердых тел. При неидеальном контакте тепловой поток непрерывен, по является отражением закона сохранения энергии. Таким образом одно условие сопряжения мы имеем — условие (16). Температура при переходе границы неидеального контакта терпит разрыв, пропорциональный тепловому потоку: 1 ОТ [Т[ = -й —, (х, у, к) Е Я, (21) а Оя' где коэффициент контактного теплообмена а связан с условиями кон- такта. 2.2.3. Прямые и обратиыв задачи для уравнения теплопроводиоети Выделим некоторые основные классы задач для уравнения теплопроводности. Прежде всего мы рассматриваем краевые задачи, которые характеризуются заданием соответствующих начальных и граничных условий.