Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 4

В этих книгах инженерный уровень изложения материала достигается за счет рассмотрения лишь простейших, элементарных положений вычислительной математики, которые часто дополняются множественными ссылками на оригинальные работы без какого-либо их анализа. Мы в своей книге стремились к не столь легковесному, а к более адекватному отражению достигнутого уровня развития теории и практики численных методов. На этом несколько более повышенном математическом уровне необходимо вести подготовку специалистов в прикладных областях.

В настоящее время массовыми стали расчеты по численному решению двумерных нестационарных нелинейных задач для уравнений математической физики. Поэтому при выборе базовых, основных математических моделей мы ориентировались именно на хорошо освоенные вычислительной практикой двумерные задачи, хотя и для простейших расчетных областей. Рассматриваемые вычислительные алгоритмы являются основой для оригинальных исследований более сложных задач. Среди важнейших классов прикладных задач мы выделили задачи управления и обратные задачи теплообмена. Как нам представляется, предлагаемая книга является в настоящее время единственной, в которой представлены с необходимой полнотой все три основные класса задач математической физики — прямые задачи, задачи управления и обратные задачи для уравнений с частными производными. Теория численных методов приближенного решения задач математической физики развивается в нескольких направлениях.

Прежде всего можно отметить конечно-разностные методы и метод конечных элементов. В данной работе в качестве основы выбраны разностные методы. Различие подходов проявляется на этапе построения дискретной задачи — алгебраической системы уравнений. Кроме того, мы в основном рассматриваем задачи в регулярных областях и на регулярных сетках, где различия метода конечных элементов и разиостных методов если и есть, то они непринципиальны.

Дополнительные соображения в пользу разностных методов связаны с имеющейся вычислительной практикой решения нестационарных нелинейных задач для уравнениИ с частными роиэвоэ нече:: ее~ гное -. ооб ~с~с~к -| п~ ~ чассоперенося Предисловие Настоящая книга касается различных частей прикладного математического исследования. Введение (глава 1) посвящено общему описанию проблем прикладного математического моделирования, использованию вычислительных средств.

В главе 2 дается конспективное описание математических моделей теплофизики, основных типов задач. При отборе материала мы ориентировались на описание процессов тепломассообмена с участием твердой фазы. Позтому, например, важные прикладные проблемы теплообмена излучением рассматриваются лишь в приближении поверхностного излучения и т.д. Исследование прикладной проблемы начинается с применения традиционных (аналитических) методов прикладной математики. Особое внимание здесь уделяется вопросам получения решений упрощенных задач.

В главе 3 приведены иллюстративные примеры использования аналитических методов при исследовании типичных проблем теплопередачи. Главы 4 — б по своему содержанию являются центральными и касаются различных аспектов численного решения классических задач теплопроводности разностными методами. Вопросы численного решения стационарных задач теплопроводности рассматриваются в главе 4. При изложении материала мы начинаем с напоминания некоторых основных результатов теории уравнений с частными производными. В частности, для стационарных уравнений формулируется классический принцип максимума, который имеет естественную теплофизическую интерпретацию. При построении дискретных аналогов мы ориентируемся на то, чтобы разностные уравнения наследовали основные свойства дифференциальной задачи.

Рассматриваются вопросы построения разностных схем для стационарных задач, излагаются прямые и итерационные методы для нахождения приближенного решения. Тот же комплекс вопросов рассмотрен в главе 5 лля нестационарных задач. Здесь необходимо обратить особое внимание на общую теорию устойчивости разностных схем.

Исследование конкретных схем сводится к проверке необходимых и достаточных условий в виде простейших операторных неравенств. Различные классы экономичных разностных схем (переменных направлений, локально-одномерных и т.д.) рассматриваются в главе б. Пгавы 7-10 касаются вопросов численного моделирования специальных проблем теплообмена. Изложение базируется на использовании ранее разработанных разностных методов решения стационарных и не- стационарных задач теплопроводности.

Глава 7 посвящена задачам теплопроводности с фазовыми превращениями с участием твердой фазы. Рассматриваются задачи в классической постановке Стефана, затрагиваются вопросы моделирования плавления/кристаллизации бинарных сплавов. Особенности задач теплообмена излучением с поверхности твердого тела исследуются в главе 8. При моделировании процессов теплообмена в не- выпуклом теле приходиться учитывать влияние излучения с отдельных участков гранины. 18 Предисловие Важнейший класс задач теплообмена связан с конвективным переносом тепла (глава 9).

Для таких задач строятся общие классы монотонных разностных схем, лля которых выполнен принцип максимума. Задачи тепло- и массопереноса рассматриваются в приближении Буссинеска. Обсуждаются вопросы численного решения таких задач на основе естественных переменных «давление, скорость» и переменных «функция тока, вихрь скорости» в приближении пограничного слоя. В главе 10 численные методы применяются для приближенного решения задач термоупругости.

В качестве модельных рассмотрены задачи расчета термоупругого состояния твердого тела прямоугольного сечения и тонкой пластины. Задачи управления тепловыми процессами рассмотрены в главе 11. Дается краткое описание градиентных методов итерационного решения вариационных задач, на основе которых строятся численные методы решения задач управления.

Выделены классы задач управления распределенными источниками тепла в стационарной н нестационарной постановках при различных критериях (функционалах) качества. Второй важный прикладной класс составляют задачи управления граничными температурными режимами. Основные классы обратных задач для уравнения теплопроводности обсуждаются в главе 12. Рассматриваются вопросы приближенного решения задач теплопроводности, когда восстанавливаются начальные условия, граничные режимы или коэффициенты уравнения. Обсуждаются вопросы устойчивого решения на основе возмущений исходных дифференциальных (метод квазиобращения), а также разностных (регуляризация разностных схем) уравнений. Глава 13 касается вопросов конкретного численного моделирования на основе описываемых ранее методов на примере содержательных модельных двумерных задач теплоперелачи.

Изложение начинается с постановки задачи и выделения безразмерных определяющих параметров задачи. Дается достаточно подробное описание вычислительного алто- ритма и программы на ФОРТРАНе, приводятся примеры выполненных расчетов, а также распечатка самой программы.

В тексте работы за исключением разделов «Библиография и комментарий» фактически отсутствуют ссылки на другие работы. За счет расширения объема работы (как нам представляется, не очень существенного) основной материал излагается полностью. Этим облегчается достижение учебных целей.

В книге не делается даже попытки какого-либо систематического анализа имеющейся литературы по затрагиваемым проблемам. Приведены лишь ссылки на книги, которыми мы пользовались и которые могут служить целям более углубленного изучения отдельных вопросов. Ссылки на оригинальные работы отсутствуют по различным причинам. Выбор из огромного множества отдельных работ в любом случае отражает субьективные взгляды авторов, требует решения вопросов поиоритетпости 19 Предисловие тех или иных исследований и т.д. В частности, при подготовке расширенной библиографии для авторов был бы естественен крен в сторону русскоязычной литературы. Работа над книгой велась в стимулирующей и творческой атмосфере на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственною университета им.М.В. Ломоносова и в Институте математическою моделирования Российской академии наук.

Мы благодарны коллегам и ученикам за помощь и участие на различных этапах работы над книгой. Особенно признательны авторы М. М. Макарову, который взял на себя труд подготовки всех приведенных в книге программ дая компьютера. Понимая всю сложность работы, неизбежные недоработки, авторы заранее благодарят за критические замечания и предложения по проблематике этой книги. Предлагаемая книга впервые вышла в свет в 1995 г. Она была опубликована на английском языке издательством ЧУПеу под названием Сотрвгаг1опа1 Неаг ТгапзГег (чо1.

1 — Магйетайса! Модейпя, чо1. 2— ТЬе Р1шге Р1йегепсе Мег1нх1о!оку). В то время мы не имели никаких финансовых возможностей для ее публикации на русском языке. А.А. Самарский Н. Н. Внбии1евич Глава 1 Введение Мы начнем с обсуждения общих вопросов применения математических методов в научных исследованиях. Современный этап развития характеризуется широким использованием средств вычислительной техники и численного моделирования.