Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 8

В результате его проведения дается описание ГЭ2 Глава 1. Введение наблюдаемых явлений, прогнозируется поведение исследуемого объекта в в тех или иных условиях, возможно и реально недостижимых. Такой тип в вычислительного эксперимента характерен при проведении теоретических исследований в фундаментальных науках. С другой стороны, при математическом моделировании технологи, ческих процессов в качестве основного может быть выбран опгпимиэационный вычисли»вольный эксперименгп. Для него характерно решение задачи оптимизации по уменьшению затрат, облегчению конструкции и т.д. Для сформулированной математической модели ставится соответсгвующая задача оптимального управления, задача оптимизации.

Характерным примером могут служить задачи оптимального управления для уравнений математической физики, например, граничного управления, когда граничные условия подбираются так, чтобы минимизировать соответствующий функционал (функционал качества). В этом случае многовариантные расчеты проводятся с целью подобрать управляющие параметры, а результатом является решение в том или ином смысле оптимальное. При обработке данных натурных экспериментов используется диагносгпический вычисли»вольный эксперименш.

По дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, ставится задача идентификации модели, например, определяются коэффициенты модели. Диагностическому вычислительному эксперименту обычно ставится в соответствие обратная задача математической физики. Часто приходится сталкиваться с положением, когда математической модели исследуемого процесса или явления нет и создать ее не представляется возможным.

Такая ситуация характерна, в частности, при обработке данных натурного эксперимента. Тогда обработка проводится в режиме «черного ящика» н мы имеем дело с аппроксимационными моделями. Таким образом мы поставили в соответствие поисковому вычислительному эксперименту прямую задачу, оптимизационному — задачу оптимизации, а диагностическому — обратную задачу. 1.4. Численное моделирование процессов теплопередачи Поясним на примере простейшей модели теплопередачи — одномерном уравнении теплопроводности — типы вычислительного эксперимента, выделим основные классы задач прикладного моделирования, Рассмотрим тонкий цилиндрический стержень с теплоизолирован- 1- ной боковой поверхностью. Будем считать, что один его конец тепло;: зоовзн .

Рг .: -зчзо тоеч»ленный течператчоный режим. ' м. 33 1.4. Численное моделиование нронессов теплопередани Температура Т(х, 1) определяется из уравнения теплопроводности дТ д Г дТ''з ср — = — ~й — ~, 0(х(1, 6)0. (1) дг д*'1, д*,г' В уравнении (1) с — коэффициент теплоемкости, а й — коэффициент теплопроводности. Дополнительно ставятся граничные (2) (3) Т(0, 1) = и(1), дТ й — (1,1) = 0 дх и начальное условия Т(х 0) — Те(х).

(4) Будем исследовать влияние нелинейных теплофизических коэффициентов с = с(Т), р = р(Т) и й = й(Т) на процесс распространения тепла по стержню, т. е. рассмотрим прямую начально-краевую задачу (1)-(4). Даже в такой простой задаче могут наблюдаться удивительные явления, связанные с нелинейностью математической модели. В частности, имеет место эффект конечной скорости распространения тепловой волны. Это исследование можно связать с поисковым вычислительным экспериментом. Рассмотрим теперь задачу оптимизации в рамках тех же определяющих уравнений процесса.

Будем считать, что необходимо удерживать температуру в точке х = 1 близкой к некоторой заданной функции д(1), а можем мы управлять температурой на другом конце (задача граничного управления). Математически задача может формулироваться следуюшим образом. Необходимо найти управление и(1) такое, что достигается минимум функционала качества ,т= / (Т(1,1)-д(1))'41, а где 1 — время наблюдения. Здесь Т(х, 1) определяется из решения уравнения (!) и условий (2)-(4).

Такая задача минимизации типична для оптимизационного вычислительного эксперимента. Конечно, это простейшая постановка задачи. Реальная ситуация может отягощаться значительно более сложными уравнениями, функционаламн качества, которых. к тому же может быть несколько, и т.д. В таких сложных ситуациях часто приходиться ограничиваться простейшими методами перебора для решения оптимизационных задач.

Рассмотрим, наконец, пример, который иллюстрирует диагностический вычислительный эксперимент. Ставится задача определения граничного режима (температуры) на левом конце стержня (при х = 0), который Бадала 1. Введение недоступен для непосредственных измерений. Но дополнительно измеряется температура на другом конце (при я = 1) с некоторой погрешностью (функция д(1)). Математически задача формулируется точно так же, как и задача оптимального управления, рассмотренная выше. Необходимо найти функцию е(8) из условия минимума функционала (5) при дополнительных ограничениях (1)-(4). В этом случае мы имеем типичную обратную задачу в экстремальной постановке.

В теории обратных задач теплообмена рассматриваемая нами задача есть граничная обратная задача теплопроводности. Представляется совершенно необходимым на рассматриваемом примере обратить внимание на специфику задач оптимизации (синтеза), их отличия от обратных задач. Мы видели, по та и другая задача имеют одну и ту же математическую форму (математическая постановка идентична).

Однако между ними имеются принципиальные различия. Прежде всего отметим, что мы имеем дело в обоих случаях с некорректными задачами. Задача относится к классу корректных (в классическом смысле), если решение задачи существует, оно единственно и непрерывно зависит от входных данных. Если какие-либо из этих условий нарушаются, то задача относится к классу нехорректных. Мы не будем касаться здесь вопросов существования решения, а посмотрим, к каким последствиям приводит нарушение других условий корректности в задачах оптимизации н обратных задачах.

Предположим, что решение задачи неединственно. В задачах оптимизации этот фактор следует рассматривать как благоприятный — мы имеем несколько (и может быть даже очень много) решений нашей задачи. Поэтому у нас имеется выбор и мы можем оптимизировать наше решение еще и по некоторым другим параметрам, характеристикам.

В случае обратной задачи ситуация совершенно иная. Неединственность решения обратной задачи означает, что в данной постановке мы не можем решить задачу. необходимо уточнить (доопределить) задачу, при обработке данных натурного эксперимента нужны дополнительные измерения. Аналогичная ситуация возникает и при нарушении устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных (в нашем иллюстративном примере — малых возмущений функции д(1)). В случае задачи оптимизации и обратной задачи большие возмущения в е(1) приводят к малым возмущениям в д(1), Это обстоятельство в задачах оптимизации, где нужно найти управление е(1), снова может рассматриваться как благоприятное — мы можем в достаточно большом диапазоне менять управление, что почти не скажется на функционале качества.

А в обратных задачах это означает, что мы можем восстановить граничный режим только с большой погрешностью. Тем самым и в данном аспекте задачи оптимизации и обратные задачи имеют принципиальные различия. И эти различия необходимо специально подчеркивать, так как идентичность математических формулировок этих задач может привести к неверным методологическим посылкам. Глава 2 Математические модели теплофизики Объектом нашего исследования является тепловое поле, перенос тепла от одних участков твердого тела к другим.

Тепловое поле на данный момент времени 1 определяется распределением температуры по телу, т. е. функцией Т = Т(х, у, г, 1), где (х, р, х) — декартовы координаты. В простейшем случае тепловой поток направлен из области с более высокой температурой в область с более низкой температурой.

Выделяют следующие три основные способа переноса тепла: 1) теплопроводность — перенос, определяемый взаимодействием микрочастнц соприкасающихся тел; 2) конвекция — перенос, обусловленный пространственным перемещением вещества. Наблюдается в движущихся средах (жидкости, газы); 3) излучение — перенос энергии в виде электромагнитных волн. Во многих прикладных проблемах процесс переноса тепла осуществляется различными способами (сложный теплообмен). При описании конвективных переносов необходимо учитывать процессы теплопроводности между отдельными частями сплошной среды (тепло- н массоперенос). Радиационный теплообмен (излучение) может осложняться теплопроводностью, конвекцией и т.д. Примером такого сложного теплообмена могут служить процессы при фазовых превращениях, химических реакпиях.

При рассмотрении процессов теплопередачи в твердых телах большое значение могут приобретать эффекты, связанные с расширением тел при повышении температуры. В данной главе излагается материал справочного характера. Приведены основные математические модели переноса тепла в различных условиях. Основное уравнение теплопроводности записывается в различных ортогональных системах координат.

Большое внимание уделяется краевым условиям и условиям контакта различных сред (условия сопряжения). Для моделирования процессов плавления и затвердевания в качестве основной рассматривается классическая задача Стефана. В более общих ситуациях требуется использование более сложных моделей. В частности, отмечаются некоторые моменты моделирования бинарных сплавов. 36 1лава 2. Математические модели тенлофиэики Значительные сложности возникают при моделировании теплообмена излучением.

Использование полных моделей переноса излучением затруднено, в основном, ввиду большой размерности задачи. Поэтому большое значение приобретают более простые модели, среди которых необходимо выделить диффузионное приближение, приближение лучистой теплопроводности. В данной книге в качестве базовых рассматриваются простейшие модели излучения с поверхности твердого тела.