Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 5

Эти вычислительные средства существенно расширяют возможности теоретических исследований. Возможности прямого сопоставления с натурными экспериментами поставили проблему более тесной взаимосвязи экспериментальных и теоретических исследований. В этом плане можно говорить о новой методологии научных исследований, которая объединяет теоретические и экспериментальные исследования. Эта методология основана на интегрирующей роли современного математического моделирования. Рассматриваемая технология научных исследований реализуется в рамках вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения математических моделей.

Приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Отмечаются особенности использования традиционных аналитических средств прикладной математики в современных исследованиях, роль вычислительных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. 1.1. Математическое моделирование Моделирование широко применяется в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредспюм исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей).

Моделирование в таком обшем плане представляет собой двуединый процесс создания моделей и исследования молелей после того, как они построены. Использование моделей всегда и неизбежно связано с упрощением, идеализацией моделируемого обьекта. Сама модель, естественно, не охватывает объекта во всей полноте его 1.1, Матемагякческое модах ироеание 21 свойств, а отражает лишь некоторые его исследуемые характеристики— она сходна с познаваемым объектом толысо по определенной совокупности признаков. Модель строится для отражения лишь части свойств исследуемого объекта и поэтому, как правило, проще оригинала.

И самое важное, модель более удобна, более доступна для исследования, чем моделируемый объект. Для более полного исследования объекта привлекается ряд моделей, каждая из которых моделирует те.или иные характеристики объекта. В прикладном исследовании даже для отражения одних и тех же свойств объекта всегда имеется возможность привлечения различных моделей. Модели различаются по степени качественной и количественной адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик, по возможностям их исследовании. Успех моделирования определяется именно удачным выбором моделей, их набора. Естественно, что этот выбор в большой степени субъективен и базируется на всех имеющихся экспериментальных и теоретических представлениях об объекте, на всем приобретенном ранее опыте моделирования.

Среди различных моделей можно выделить в качестве основных физические и математические модели. Маеемааические модели являются наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях идеальными (умозрительными) моделями, Физические модели относятся к материальным (предметным) моделям, которые, имитируя часть свойств исследуемого объекта, имеют ту же природу, что и моделируемый объект. При физическом моделировании вместо изучения объекта проводится экспериментальное исследование физической модели. Физические модели имеют важное достоинство, которое заключается в том, что среди свойств модели есть и такие, которые по той или иной причине невозможно исследовать на математических моделях. Например, такая ситуации имеет место, когда сама математическая модель отсутствует или она настолько сложна, что не представляется возможным ее исследовать с необходимой полнотой.

Поэтому в ряде случаев физическое моделирование является единственно возможным способом получения достоверной информации об объекте исследования. В основе физического моделирования лежит теория подобия. Помимо геометрического подобия (подобия формы, геометрическая модель) необходимо и физическое подобие модели и моделируемого обьекта.

В соответствующих точках пространства на соответствующие моменты времени значения физических величин для объекта должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели, Это позволяет пересчитать экспериментальные результаты, которые получены для модели, на исследуемый. объект. Сутью такого моделирования является то, что для модели и объекта должны быть одинаковы определяющие безразмерные критерии подобия. При математическом моделировании исследование свойств и характеристик исходного объекта заменяется исследованием его математичес- Вгава 1.

Введение 22 ких моделей. Математические модели изучаются средствами математики (прикладной математики). Современный этап математического моделирования характеризуется широким привлечением компьютеров, методов вычислительной математики. Математизация научного знания, под которой понимается применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках, технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития той или иной науки характеризуется по степени использования математических методов. Известный афоризм «Во всяком знании столько науки, сколько в ней математики» отражает это мнение. При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель). Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических (абстрактных) объектов.

С этой целью используются средства самой математики, как уже созданные, так и специально построенные. В настояшее время большие возможности лля исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы. Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией — приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям. Специалист по прикладному математическому моделированию, работая бок о бок со специалистами в прикладной области, всегда за математическими абстракциями видит конкретное прикладное содержание.

Эвристическая роль математическою моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится математический эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, зависимости решения от того или иного параметра. Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс. 1.2. Применение компьютеров при математическом моделировании Появление электронных вычислительных машин, быстрое развитие вычислительной математики, повсеместное использование вычислительной техники чрезвычайно расширило возможности математическою моделирования.

Вычислительные средства, под которыми мы понимаем компьютеры и вычислительные методы, позволили решить с приемлемой точностью и за разумное время задачи, которые ранее были недоступны для исследования, дали возможность реализовать крупнейшие научно- 1.2. Применение кампьннпероа при математическом моделироеании 23 технические проекты. В качестве примеров отметим использование компьютеров при запуске и управлении полетом космических кораблей, при обработке данных сейсмической разведки полезных ископаемых, полное численное моделирование аэродинамики реальной конфигурации самолета, успехи компьютерной томографии в медицине и т.д.

Даже в чистой математике компьютеры нашли достойное применение: доказательные вычисления на компьютерах, решение знаменитой проблемы четырех красок и т.д. Идет быстрое формирование новых научных дисциплин, новых научных направлений, основанных на широком использовании вычислительных средств при теоретическом исследовании прикладных проблем. Отметим в этой связи прежде всего вычислительную физику, вычислительную гидродинамику, вычислительную геометрию, вычислительную алгебру.

В этом рщгу мы, естественно, выделяем вычислительную тепло- физику. Исследование математических моделей подразумевает прежде всего качественное изучение математических моделей и получение точного или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возможности не только для нахождения приближенного решения численными методами, но и для качественного исследования математической модели. Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи.

Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения. Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в подавляющем большинстве случаев проводится качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач дпя них) уделяется вопросам корректности.

Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи. При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Такая неустойчивость наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения, 24 1Лава 1. Введение Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, неединственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного, искомого решения и т.д.

Методы качественного исследования для различных типов математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. В качестве примера моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории уравнений с частными производными качественные методы также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве содержательного примера отметим имеющий отношение к математическим моделям теплопередачи принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет провести качественное исследование математических моделей, основанных на уравнениях с частными производными. Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов.