Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 8

12. Эрмитовы операторы. Линейный оператор Е, пере. водящий лг! с: Ж, (0) в Х, (б) называется зрмитовым, если его область оп)!еделсния "йи плотна в Х,(6) и дяя любых 1 и д из Мь спРаведливо Равенство (Ц, у) =(1, Ей). (39) Выражения (Ц, у) и (Ц, )) называются соответственно билинейной и кладратичнои" формами, порожденными оператором Е.

Для того чтобы линейный оператор Е был зрмитовым, необходимо и достаточна, чтобы порожденная им квадра- тичная фор,ча (Ц, )), ) ее итгы принил!ала только вещест- венные значения. Действительно, если оператор Е эрмитов, то в силу (39), (Ц, () =(1, Ю =(Х ~), так что квадратичная форма (Ц, )) принимает только вещественные значения. Обратно, если квадратичная форма (Ц, () принимает только вещественные значения, то при всех Г' и д из ыв! имеем Ке[(Ед, )) — (Ц, у)]= =йе-Е [(Е()+(у), !'+(у) — (Ц, 7) — (Ей, у)1=0! (го[(Ей, /)+(Е), у)1= =!гп[(8 6+у), [+ц) — (Ц, )) — (Ед, д)1=0 и, стало быть, (Ц, у) = Бе(Ц.

д)+(1гп (Ц, й) = =((е(Ед, ~) — !'1п!(Ей, !) =(Еу, й) =(1, Еу), так что оператор Е эрмитов. Линейный оператор (., переводящий .гг, с: ь, Ю) в Ж, (!х) называется положительным, если ыьс плотна 42 постлновкл ивлевых злдлч ггл. ~ в Я,(б) и (ЕЕ, ))~0, )ен'Ф'ы Из доказанного утверждения следует, что всякий положительный оператор эрмитов. Теорема.

Если оператор Е врмитов (положительный), то все его собственные значения вещеспюенны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Дока за тельство. Пусть л,— собственное значение в и,— соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора Е, Еи, Х,ич. Умножая скалярно это равенство на и„получим (Еи,, иь) (Хьиь иь)=Хе(иы иь)=ль)иь)' Хь (40) Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Е), )) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (40), Х, — вещественное (неотрицательное) число. Докажем, что любые собственные функции и, н и„ соответствующие различным собственным значениям Х, н Ьь ортогональны.

Действительно, из соотношений Еи, = Х,ио Епч = Хчим из вещественности Х, н Х, и из эрмитовости оператора Е получаем цепочку равенств Х,(им и,) =(Л,им и,)=(Еин и,)=(и,, Еи,,) = =(и,, Х,и,) Хл(и„и,), т. е. д (и, и ) = д (и, и.) Отсюда, поскольку Х, Ф Ем вытекает, что (и,, и,) = О. Тео:ема доказана. Предположим, что множество собственных значений эрмнтова оператора Е не более чем счетно, а каждое собственное значение — конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: Х,, Е„..., повторяя )., столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и„и, ..., так чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и„: Еи„=Х„и„й=1, 2, ... (41) Ф з! основныв звлвнкния млтвмлтичпскои оизикн 43 3 а и е ч а н и е. Все сказанное в 44 !.7 — !.9, !.!2 о пространстве йя(й! с очевидными нзмененнямн справедливо н для его дискретного аналога 1я, н тем более для всех конечномерных подпространств пространства 1я.

5 2. Основные уравнения математической физики Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дпфференцнальным уравнениям. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка (см. 9 1.10) о я ау(х) д д -(- ~~ Ь (х) д + с(х) и=7(х).

(1) П 1=1 ! ! В этом параграфе мы рассмотрим характерные физические процессы, сводящиеся к различным краевым задачам для дифференциальных уравнений. 1. Уравнение колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний вида дзи р дг = Йч (р йгас( и) — да+ с (х, !), (2) где неизвестная функция и(х, 1) зависит от п(п=1, 2, 3) пространственных координат х=(х,, х,,...

х„) н времени (; коэффициенты р, р и д определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. 9 1.8). При этом опять получатся собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению.

По теореме з 1.12 собственные функции, соответствующие различным собетвенным значениям, ортогональны. Таким образом, если система собсп!венных функций (иа) эрмитова оператора г. не более чем счетно, то ее можно вьгбрать орпюнормальной: (1и„, и;) = 2а(иг,, и,) =лаба!. (42) постАнОВкА кРАеВых ЗАдАч игл, ю )г(х, 1) выражает интенсивность Внешнего возмущения. В уравнении (2), в соответствии с определением операторов Йч и ягас), « б(у (р угад и) = ~'„~ (,Р ~" ).

Продемонстрируем вывод уравнения (2) на примере малых поперечных колебаний струны. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (х, и) струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью х. Величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в момент времени 1 обозначим через и(х, 1), так что и= и(х, 1) есть уравнение струны в момент времени 1.

Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению ди с (да= — „. дх ' Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение Т(х, 1) в точке х в момент времени 1 направлено по касательной к струне в точке х (рис. 3). Любой участок струны (а, Ь) после отклонения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины: и 1=~ )/ (+( — '„",)'( =Ь вЂ”, и и, следовательно, в соответствии с законом Гука, величина натяжения ~ Т(х, 1) ( будет оставаться постоянной, не зависящей от х и 1, ( Т(х, 1) ~=Т,. Обозначим через Р(х, 1) плотность внешних сил, действующих на струну в точке х в момент времени 1 и направленных перпендикулярно оси х в плоскости (х, и).

Наконеп, пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х, так что приближенно р(х)бх — масса элемента струны (х, х+Лх). Составим уравнение движения струны. На ее элемент (х х+ Ох) действуют силы натяжения Т(х+ Лх, 1), — Т(х, 1) (рис. 3) и внешняя сила, сумма которых, согласно законам Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя 4 х) основные иглвнения млтемлтическои физики 4б это векторное равенство на ось и, на основании всего сказанного получим равенство Т,з(па)„,д„— Т,з1пгх)',+с (х, () Ьх=р(х) Ьх —,',' . (3) д-'и (х, )) Но в рамках нашего приближения !аа ди 5 ) и сс = (па=в У)+)аии дх ' а потому нз (3) имеем дии (х, )) ) ( ди (к+ах, )) ди (х, О ) откуда при Лх- О следует равенство д'и дчи р д =Т де+р'.

(4) Это и есть уравнение малых поперечнык колебаний струны. При РФО колебания струны называются вынужденными, а при с =Π— свободными. и(х х х.~вх Рис. 3, Если плотность р постоянна, р(х) =р, то уравнение колебаний струны принимает внд др дхт +~' йи д'и (5) где Г= —, а а*= — — постоянная. Уравнение (5) мы у т, р и будем также называть однол~ерным волновым уравнением. ~гл. 1 посткноВкА кРАеВых ВАдАч Уравнение вида (2) описывает также малые продольные колебания упругого стержня Р~ ~~ д (Е~ д )+р(х ") (6) где Я(х) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х)— модуль Юнга в точке х. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать величины смешения и и скорости и, в начальный момент времени (начальные услов«я) и режим на концах (граничные условия).

Примеры граничных условий. а) Если конец х, струны или стержня движется по закону р (1), то и/, „=р(г). Ь) Если на правый конец х, струны действует заданная сила т(1), то Действительно, в этом случае Тр — ~ ~Тьз!Пи~ „=ч(г). д« дк к-кр с) Если правый конец х, стержня закреплен упруго и сх — коэффициент жесткости закрепления, то д« Е~+аи~ „, О в соответствии с законом Гука. Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны дк« / д'« ь-« Х (7) Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны будем называть двумерным волновым уравнением. 4 г1 осгювгпгг гггвгпппгя чгтечгтичсскогг эггзггкгг 47 Трехлгерное волновое ураннение (9) где П,— волновой оператор (оператор л(аламбера): дг П = — — аб а дгг (П = Пг) Л вЂ” оператор Лапласа: д"- дг дг ь= —, + —,, +...+ —,.

де г' длг ' ' ' дк'-„' 2, Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии: р д — — Йгг(рягаг) и) — ди+г (х, (). ди Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через и(х, () температуру среды в точке х=(х„х„хв) в момент времени (. Считая среду изотропной, обозначим через р (х), с (х) и й (х) соответственно ее плотиосг ь, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводнссти в точке х.

Обозначим через г (х, () интенсивность источников тепла в точке х в момент времени г. Подсчитаем баланс тепла в произвольном объеме )г за промежуток времени ((, (+Лг). Обозначим через 5 границу (г, и пусть и — внешняя нормаль к ней, Согласно закону Фурье через поверхность 5 в объем )г поступает количество тепла (Эг = '1 й —" й5 Лг =- ~ (и яга6 и, и) й5 Ж, Ь й описывает процессы распрсстранения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной иепроводя. щей среде.

Этому уравнению удовлетворяют плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы (см. 2 2.6). Мы будем записывать волновые уравнения (б), (8) и (9) единой формулой: П,и =(, (10) 48 ПОСт»НОВКА КРАЕВЫХ ЗАЛЛЧ равное, в силу формулы ! аусса — Остроградского, Ф = ~ 61ч (сс дга 6 и) И» Лг'.

За счет тепловых источников в объеме г' возникает количество тепла (г = ) г (х, 1) 6»Л1. Так как температура в объеме У за промежуток времени (г, 1+схс) выросла на величину (», )+И) — (», 1) — И, то для этого необходимо затратить количество тепла Я = ~ ср — 6»И. ди д2 С другой стороны, (,)2=-О,+хг2 и потому ~6(ч (/гяга6 и)+г" — ср — ~ с(хИ =О, ди1 Р откуда, в силу произвольности объема )с, получаем уравнение распространения тепла: ср —, =6)ч(йдга6 и)+г" (», 1). (12) Если среда однородна, т. е. с, р и й — постоянные, то уравнение (12) принимает вид 2 дсп+1, (13) где А, Р и 2 ср' ср Уравнение (13) называется уравнением тсплопроводности.