Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 6

Пространство функций оя(О). Совокупность всех функций /, для которых функция ~/(х) ~а интегрируема иа области б, обозначим через Хт(б). Множество функций 2'я (б) — линейное. /(ействительно, если /~Хе(б) и денХе(б), то из неравенства (Л/+ ри)а и-2 ( Л (в! /)в+ 2! р )а)й)а вытекает, что и их любая линейная комбинация Л/+)тзг также принадлежит 2'а (б). % и некотоеые понятия и песдломс!н1я 2Я превращая тем самым Хе(6) в (линейное) нормированное простраисзво. Здесь а (т) — функция, комплексно сопряженная с у(х).

Очевидно вве[еипое скалярное произведение обладает свойствами: (/, д)=(а, /), (Ц+)за, й)=/(/, /1)+п(а, и), Кроме того, в терминал нормы и скалярного произведения неравенство Коши — Буняковского принимает вид ,(/, у)~ ==1/Ну~, /. у~ 2' (6). Из этого нсгавенстоа вытекает следуюгцее неравенство Д( инков: кого: /+у =1/(+~уй /, у~Жч(6). (10) Лействительио. 1/+й>'=(/-( у /+у) =(/ /)+(/ у)+(у /)+(у. у) = -!/'з-~(/. у).'+~(у /))+.,у)Р=- 1/2, ~ чУ.л .н/, л,в 2 ((/ ~ ~в()2 Таким образом, мы видим, что норма 11 удовлетво- ряет условиям а) — с) З 1.3.

Последовательность функций /„й = 1, 2, ..., из Ж, (6) называется сходящейся к функции /~ Хе(6) в прогтран- стве Х,(6) (или в среднем в 6), если (/ь — /1 — «О, й-~:хэ', прн этом будем писать /ь — '-/ Л вЂ” ~ ° 1 и Х~(6) Следующее предложение выражает свойство полноты пространства Х, (6) (те о р е и а Р и с с а — Ф и щ е р а *): если последователсногта функпии /„, й= 1, 2, ..., иэ Х, (6) сходигпся в гебе в 'Е,(6), т. е.

р/„— /,( — ~-0, /г — ~со, р — ~- то сущесвтует функиия / е= Ж, (6) гпакая, что ', /» — /1- О, я- со', при этол~ функция / единственна с точногтыо до значений на мноэсестве меры О. Пространство Х,(6) относится к классу так называ- емых гильбертовых пространсп1в. Множество функций е ~Х,(6) называется плотным в Х,(6), если для любой /вне,(6) существует последо') Сн. Ф. Рисе и б. Сскефальаи-Надь 11), гл. Н, пост<ноак» кехсвых з<д<ч <гв т Конечная или счетная систел<а функций <<р») называется лпнепна независил<ой, если для любого конечного набора чисел <<с,), з' ,~ с,,' ~ О, невозможно тождество У с„<р»(х) = О.

Всякая ортонарл<альпин система <<ф») соспюит из линейно независимых функций. Действительно, в противном случае при некоторых (комплексных) числах (с»), из которых только конечное число отлично от нуля, мы имели бы равенство ~~ с»<р» = О, откуда, в силу ортонормальности системы ',<р„), получили бы О= Яс»<р», <р,<) = 'У,'(с,<рь <р<) = ~,'с,(<р», <г<) = с,. Всякая система <р<, <рь ... линейно независимых функций из Ж» (6) преобразуется в ортонормальную систему <рь <р, ... следующим процес<ам арпюганализации Шл<идп<а: 'Рз <Г» — (<рь 'Р<) <Р< )'Р<1' ' (<р» — (<р< р<) е< ~ ' " ' ' <р» — (<рь <Р»- ) <г»-< — ".— (<рь М<а <<р» (<<<ь ч<»-<) <»»-< " И» ч<<) )<г<( (11) вательность функций из лг, сходящаяся к / в Х»(6).

Например, множество С(6) плотно в Х»(6), о<сюда следует, что н множество полиномов плотно в Х,(6), если С вЂ” ограниченная область (в силу теоремы Вейерштрасса (см. р !.3)). 8. Ортонормальные системы. Функции / и й из Х»(С) называются ортогпналвными, если (/, д) =- О; функция / из <»(6) называется нормир<»<анной, если ) /< = 1. Система функций ',<р<,', нз <»(6) называется орпюнармальной в Х»(6), если (<(,, Ч,)=бм, где б»; — символ Кронекера: бь=О. йча <', ба=.1.

Примером ортонормвльной системы в Х» ( — и, и) является тригонометрическая система <р» (х) = —, = е'»", й = О, .+- 1, ... ! 1 2л некоторые понятия и пяедложения з! и !!ример. Если в пространстве ь,! — 1, 1) ортогонали я!пать по Шмидту систему степеней 1, х, х«, ..., то т лучится система нормированных полиномов Лежандра.

1(усть система функций гр„, /г = 1, 2, ..., ортонори,!льна в с,(6) и /~Х,(6). Числа (/, гр«) называются ю л/лл/лициенплами Фурье, а формальный ряд (12) Х (/ р«) р« «-! — рядом Фурье функции / по ортонормальной системе (лр«). /.ели система функций лр„й= 1, 2, ..., ортонормальна п лил(6), пю для каждой /АХ,(6) и любых (комплексных) чи«! а,, а„..., аи, й/=1, 2, ..., справедливо равенсплво и !я (! и «и ! !/ — У а«цл«~ =!/ — 'У, '(/, гр,)лр, + '5', !(/, лр„) — а«!'. (13) л.! ! ! «-! «=! /(снатпительпо, обозначая и )и=/ — Ъ" (/, л!„! Р„, с«=(/, лр«) — а„, (14) получим при !'=1, 2, ..., й/ !!и 'Р!) = ~; (/, р„) р,, р,1=у, р) — ~ч (/, р,)(р„, рд=О.

л — ! / «=! ! лслопатсльио, и р ! и !« ( / — ) а«лр«( = ! /и + ~, с«лр«( = «=! ! ! «=! -(! -.'-л. «. ! -« Х««)=л! . ! и- «=! «=! и и и + ~, (/и, с,гр«)+ ~'„(с«гр«, /и)+ ~; (с„гр„срр!) = «=! «=! «, л-! и и = /и!!-+ 'У', с„ел(лр„, лр!) ='!/и !«+ ~ (с„!', л=! !куда, в силу (14), вытекае! равеислво (13). 32 постчновкх кочевых злдчч ггл. ! Из равенства (13) вьпекае! неравенство и '2 ! и (я 7 — ~ (), гр„) !р„( ) — ~! ачгр„) .

! ! ч=! ! (15) Далее, полагая в (13) и„—.-О, )!==1, 2, ..., !У. получаем равенство В !) — ~, '(), гр„)г(„=!)' — ~ !()', гр,)!'. (16) ч=! !, —.- ! Из равеисчва (16) вытекает неравенство Х !(7, ч )!'(!)!', ! =- ! называемое непавгнством Бесселя. Из неравенства Бесселя и из теоремы Рисса — Фишера (см. ч 1.7) следует, что ряд Фурье (12) сгодтпся в Х,(6) к некоторои функции )! из Х,(6) (но не обязательно к )!1) Кроме гого, из равенства (16) и из теоремы Рисса— Фишера (см.

2 1.7) вытекает такое предложение, Для того, чп!обы ряд Фурье (12) сходился к функции 7 в Х, (6), необ!одпл!о и достпгпочно, чтобы бьыо выполнено равенство ))ирсеьалн — Стеклова (уравкение золжнутосп!и) Х ((7 гр ) !' =! 7 !!'. (18) А=! (17) 9. Полные ортонормальные системы. Пусть система функций гр„ !р„ ... ортонормальна в Х,(6).

Если для любой 7~К,(6) ее ряд Фурье по системе (грь! сходится к ) в Хч(6), то эта система называется полной (замкнутой) в ьч(6) (ортонормальныл! базена,и в Ж,(6)). Примером полной ортонормальной системы в Х, (О, 2г!) служит триг !нометрическая система. Из этого определения и из результатов 9 1.8 вытекает Те о р ем а 1, Для пюго чтобы ортонормальная система (<р„! была полной в Ж, (6), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции !' из Уг (6) было выполнено равенсгпво Парсгвпля — Стеклово (уравненяе зал!кнутости) (18), Теперь докажем следу;ощуго теорему. Теорема 2, Для того чтобы ортонормильная система ',!р„! была полной в Ха(6), необходимо и достаточно, чтобы Фп НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ зз каждую функцию 1' из множества »е, плотного в х»(б), можно было сколь угодно точно приблизить в Х» (6) линейными комбинациями функций этой системы.

Необходимость условия очевидна; докажем его достаточность. Пусть )~ХО(6) и е)0 — любое число. Так как ль плотно в с»(6), то существует )0 ~ 00 такая, что И-)01< —,'. (19) По условию функция (0 сколь угодно точно приближается в Х»(6) линейными комбинациями функций системы (гр»). Поэтому найдутся такие числа т, с„с„..., с, что Г)тсюда и из (19), в силу неравенства Минковского, получаем 0 » ) ~~ с»ф»~~1~ /01 1 )О „ ~ г» ( 0 + 3 »=! 1!о тогда, в силу неравенсзва (15), и подавно ! ~- ь 0, »»» ~<*. »= »=! что и требовалось установить.

Сл еде т в и е. Если 6 — ограниченная область, то в Х» (6) суи(ествует счетная полная ортонормальная система полиномов. действительно, множество полиномов с рациональными коэффициентами плотно в Х»(6) (см, й 1,7), счетно и его можно сделать ортоиормальным, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. 5 1.8). Лемма. Пусть области 6 ~)т» и В с: 11 ограничены, система функций»Р,(у), 1=1, 2, ..., ортонормальна и полна в Х»(О) и при кпнсдом 1=1, 2, ... система функций ~р» (х), й=1, 2, ..., ортонормальна и полна в»0(б). Тогда система функций )(»;(х, у)=Ч„,(х)ф(у), й, 1=1, 2, ..., (20) ортонормольна и полна в 2»(бм()).

постлновкА келевых ЗАдлч <гл. ! Доказательство. Ортонормальпость системы ()(») в Ж»(бх0) устанавливается леп<о, а именно: (Х»< )(»Г)= 1 К»тк '<(х<(У= бХО = ~ <р» <г» и <(х ~ <ра<р< <(у = (<р„;, <р,) (<(<, <рг) = б О = (<г»<ч <р»т) бл = (<р»О <р» < ) б« = б»»,б<л, (21) где а, (х) = $ ( (х, у) <р< (у) <(у.

О (22) В силу ограниченности области 0 функции <рг ннтегрируемы на 0 (см. у 1.7), и, поскольку ( яС(бх0), а< ен енС(б) (см. Э. 1.5). Так как при каждом /=1, 2, ... система (<р»<) полна в ОА(6), то справедливо равенство Парсеваля — Стеклова (см. у 1.8) ,У'„~а»<!'= ~(а,(х)!»<(х, » < б (23) где, в силу (22), (20) и теоремы Фубини (см.