Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 7

~ 1.4), а»! = (ОО <Г»<) = = ~ аЯ»; <(х = ~ ~ ~ 1 (х, у) <р< (у) <(у1<г» (х) <(х = 1 7(х, у)барц(х)<р<(у)<(х<(у= 1'(», <(х <(у = Ч, )(»7) (24) бно Докажем полноту этой системы в Ж»(бх0). Так как С(6х0) плотно в Ж»(бх0) (см. у 1.7) то, по теореме 2, для этого достаточно установить справедливость равенства Парсеваля — Стеклова для всех (енС(бх0). Пусть 7" ед ~С(бх0). Так как система Щ полна в Х»(0), то при каждом х ен б справедливо равенство Парсеваля — Стеклова (см.

2 1,8) $ и НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ Зз По лемме Лини (см, з 1,3) ряд (21) сходится равномерно на 6. Интегрируя этот ряд почленно по области 6 и пользуясь равенствами (23) и (24), для функции /" получаем требуемое равенство Парсеваля — Стеклова О0 СО СО !а/В!'= ~ ((Г Хь/)!Я ~ )!1(х У) йхйУ Щ /=!л=! /,л=! со Лемма доказана. 3 а меча нне. Все сказанное о пространстве Х,(6) переносится и на пространства Ж,(6; р) или Х,(5) со скалярными произведениями (), а)р= ~р(х)~(х)й(х)йх, /*, аенХ,(6; "р); (1, а) = 11(х) а (х) Д5, 1, а ее Х (5), э где вес р ен С(6), р (х) > О, х ен 6 и 5 — кусочно-гладкая поверхность. 1О.

Линейные операторы и функционалы. Пусть /Е и ьв' — линейные множества. Оператор 1., преобразующий элементы множества /г в элементы множества /, называется линейным, если для любых элементов / и р из Ф и комплексных чисел А и р справедливо равенство (. ())+ рй) = М+ р(.й. При этом множество /Е= /Ес называется Облас!пью определения оператора /'.. Если Ц=/ при всех (~ /е, то оператор Е называется и!Ождес/пвенным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через !.

Пусть на линейных множествах /1 н г определены сходимости элементов с непрерывными линейными комбинациями, например, если Г„- / и д,— а, й- со в Ф, то и Х~ь+рй,— )~+рй, й- ОО в /Г. Линейный оператор Е, переводящий М в ьФ, называется непрерывным из !Е в ьл, если из сходнмости /„- /, /г-~ОО в /Е следует сходимость Ц„- Ц, А- ОО в ьл". Отсюда вытекает: для того чтобы линейный операп!Ор Е был непрерывным иэ Ф в ье", необходимо и достаточно, чтобы Цл-/-О, /!/-+.ОО в /, коль скоро )л-к.О, /г-~со в Пусть й и ч/' — линейные нормированные пространства с нормами 1 1!„и и 1 (л соответственно (например, пост»нови» кялввых з»д»ч |гл. 1 в4"=С(Т), й =Х,(6)).

Линейный оператор 1„переводящий »г в»', называется ограниченным из гг в в4", если существует такое число С) О, что для любого ! ~ мв справедливо неравенство ) Ц(~ — С(|(~. (25) Из этих определений вытекает; если линейньш" оператор !. ограничен иэ .г:: в 'г', то он и непрерывен иэ лг в ал".

Лействительио, если !»- О, и- со в»т, т. е. (!»).и- О, й-ч-оо, то )Ц»(л. -С(~»(.в. и потому Ц„- О, в-»-оэ в ! . Это и значит, что оператор !. непрерывен из гг в яг . Множество »Уг линейного нормированного пространства л» называется ограниченным в лг, если существует такое число А, что ~ !'1,, < А при всех ! еи Л. Пусть линейный оператор 1.

переводит ыг в г, и линейный оператор К переводит .!', в э! . Линейный оператор КЦ=-К(Ц), переводящий »» в ° !", называется произведением К!. операторов К и !.; в частности, Кг! = = К(К -1) =-Ке-'(К!), К'=К, К'=1. Частным случаем линейных операторов являются линейные функционалы. Если линейный оператор ! преобразует множество элементов лт в множество комплексных чисел !1, 1ев»й, то 1 называется линейным функционалом на множестве ~.

Значение функционала ! на элементе комплексное число !1 — будем обозначать через (1, !). Таким образом, непрерывность линейного функционала 1 означает следующее: если 1»-+О, и-+.со в г», то последовательность комплексных чисел (1, )»), |г- со, стремится к О. Будем говорить, что последовательность 1„1,,... линейных функционалов на гг слабо сладится к (линейному) функционалу ! на »г, если она сходится к 1 на каждом элементе ! из »г, т. е. (!», !)- (1, !), й- со. Линейный функционал 1 на множестве лг ~ лг называется продолжениель линейного функционала |, заданного на ыг, если (1, !) =(1, 1), 1ев Примеры линейных операторов и функционалов. а) Линейный оператор вида К1= ~Л'(х, (|)!(у)ду, х~С, (26) а % н некотоеыв понятия и пггдложения 37 называется (линейным) инл!еграеьным оператором, а функция ЙГ(х, у) — его ядром. Если ядро 3' енЖ,(б!сб), )Й" (х, у)(*дхду=С*(оо, (27) око то оператор К ограничен (и, следовательно, непрерывен) из Ж,(6) =!г в Ж,(б) =а+ .

Деиствительно, применяя неравенство Коши — Буняковского, теорему Фубини (см. 4 1А) и пользуясь (27), при всех 1~ Я,(6) получим неравенство 1К1)т= ~~~Л'(х, у)1(у)ду~'дх~ о)а - =Ц ~) ® (х, у) ~'ду~!1(уП'ду1 дх= С'1)'1', о(о о т. е (КИ~СЮ, 1~ ~а(б), (28) которое и означает, что оператор К ограничен из Х,(6) в Х,(6). Аналогично, линейный оператор А (Аа)„= ~ч, 'Аман А=1, 2, ..., (26') ограничен (и стало быть непрерывен) нз 1, в (т (см. ~ 1.7), причем (28') (Аее((С(а1, ее=(а„) ы(т Ь) Линейный оператор вида Ц= ~х~~ а,(х)0')(х), У', ~а (х)!ц(ЗО, гп)О, (29) ,а, ~а !а, =л! называется (линейным) дифференциальным оператором порядка т, а функции а,(х) — его козффициептами.

Если коэффициенты а,(х) — непрерывные функции на области бе: Р', то оператор С переводит С"'(6) =!К в С(6) =ае". Однако оператор ). не является непрерывным из С(6) для которого ) А„!)Я=Се~ оо, (27') зв ггл. г постгновкл кгагвьгк зллгч в С(б). В самом деле, последовательность )ь(х) = — емга а>-«О, й — «со в С(6), г в то время как последовательность Ць — — ~ аа (х) 0агь (х) = ~~Э, 'а„(х) (га)ай™-гег" г' "г 1а~~т ~а1 вя т ие имеет предела в С(6). Отметим попутно, что оператор 1. определен не на всем пространстве С(б), а лишь на его части — на множестве функций С (6).

с) Линейный оператор Ц=,У, ~ г!гт«"а(х, у) 0 )(у)г(у+аа(х)0а)(х)1 (ЗО) ~а~(т~ в называется (линейным) инпгегро-дифференг(иальным опе- раагором. д) Примером линейного непрерывно~о функционала 1 на Х,(6) служит скалярное произведение (1, Д = †((, д), где д — фиксированная функция из Х,(6). Линейность этого функционала следует из линейности скалярного произведения по первому аргументу (см.

3 !.7), а в силу неравенства Коши — Буняковского он ограничен: Ф, г)!=Нг, у)1-(уИ), и, следовательно, непрерывен. 11. Линейные уравнения. Пусть 1. — линейный оператор с областью определения Мы Уравнение Би =г' (31) называется линейным (неодиородным) уравнением. В уравнении (31) заданный элемент г" называется свободным членом (или правой часагью), а неизвестный элемент и из ггг — региением этого уравнения.

Если в уравнении (3!) свободный член Р положить равным нулю, то полученное уравнение г'.и = О (32) называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (31), В силу линейности оператора г. совокупность решений однородного уравнения (32) образует линейное множество,' $11 иекотовые пОнятия и пяедложения 39 в частности, и О всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (31) (если оно существует) представляется в виде сул1мы частного РешениЯ ич лп1ого УРовнениЯ и обЩего РешениЯ й соответствующего линейного однородного уравнения (32), и = по+ й. (33) Действительно, если и — произвольное решение уравнения (31), Еи=Р, ив= яы а и„— частное решение этого уравнения, Еи„=Р, и,ее Ф„то, в силу линейности оператора Е, их разность и — и,=йв=ывг и удовлетворяет однородному уравнению (32): Ей = Е (и — ич) = Еи — Еич — — Р— Р = О. Этим доказано представление (33) для решения и. Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (31) было единственным в ыкы необходил1о и досто1почно, чп1обы соответствующее однородное уравнение (32) имело пол1ы нулевое реи1сние в ычы Пусть однородное уравнение (32) имеет только нулевое решение в ыкс, Обозначим через ай'с область значений оператора Е, т.

е. (линейное) множес1во элементов вида (е(), где 1* пробегает Фс. тогда для любо1о Р ~ аюг уравнение (31) имеет единственное решение иве лги и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу Р нз аТ, элемент и из яс— решение уравнения (3!).

Этот оператор называется обратным оператора.и к оператору Е и обозначается через Е-', так что и=Е 'Р (34) Оператор Е-', очевидно, являешься линейным и преобразует ейс на Мы Непосредственно из определения оператора Е-', а также из соотношений (31) и (34) вьпекает: 1Е 'Р=Р, Реп аЯ'1, Е-1ЕП вЂ” и, ив:— . егы т. е.

ЕЕ =1' и Е Е=Е Если линейный оперип1ор Е имеет обро1пный Е-', то сисгпемы функции,'91„,' и (Е(„,' одновременно линейно незави- 40 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 4гл. 4 симы. (При этом, естественно, предполагается, что все ФА ~ Мы) Лействительио, если система (ч„) линейно зависима, то при некоторых (сА), из которых только конечное число отлично от нуля, мы имели бы ~с44рА=О, откуда, применяя оператор 1., получим ~, 'сА(лр„=б, т. е.

система линейно зависима. Обратно, если система ((лрА) линейно зависима, ~',сА1лрА=О, то, применяя оператор (;", получим ~л се(.-Члрл = ~ сА4рА = О, А А гак что система (4рА) линейно зависима. Рассмотрим линейное однородное уравнение Еи =Ли, (35) где Л вЂ” комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех Л. Может случиться, что при некоторых Л оно имеет ненулевые решения из лес. Те комплексные значения Л, при которых уравнение (35) имеет ненулевые решения из эзы называются собспменными значениями оператора 1., а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число г(! ~ г(ОО) линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению Л, называется кратносиью этого собственного значения, 'если кратность г=!, то Л называется простым собственным значением.

Если кратность г собственного значения Л оператора б конечна и и,, и„... и, — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация и,=с и,+с,и,+... +с и, (36) также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и формула (35) дает общее решение уравнения (35) Отсюда и из формулы (33) вытекает: если решение уравнения 1.и =Аи+1 (37) б и некОтОРые ПОнятия н пРедлОження 4! сущеспмует, и!о его общее решение представляется формулой 1 и=и*+ У с,и„, (38) ь=- ! где иь — частное решение (38) и сы юг=1, 2, ..., г,— произвольные постоянные.