Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 3

Аппарат теории обобшенных функций служит удобным средством длп исследования линейных краевых задач математической физики в обвешенной и классической постановках. Поэтому специальная глана в этой кинге поспяшена изложению теории обобшениых функций. Ряд разделов книги налагается иа языке фупкциональнога анализа (на элементарном уровне], что, с одной стороны, подводит читателя к чтению современной научной литературы, а с другой стоРоны, приводит к значительныи сокрашениям изложения. В книге принята следующая схема расположения материала В главе ! излагается постановка и классификация основных краевых задач мадематнческой физики, а также приводятся некоторые необходимые для дальнейшего совдепия из анализа.

Глава !! содержит элементы теории обобщенных функций, включая преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчксление). В главе !!! строятся фундаментальные решения для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и исследуются обобшенная и классическая задачи Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Особенность изложения состоит в том, что в обобщенной постановке задачи Коши начальные условия включаются в мгновенно действующие источники; это позволяет построить ее решение и виде свертки источника с надлежашич образом выбранным фундаментальным решением. Специальный параграф посвящен задаче Коши для уравкения гиперболического типа с двумя переменными (метод Римана). Глава !т! содержит теорию кптсгральных уравнений с полярным ядром.

Доказываются теоремы Фрелгольма, Гильберта — Шл1идта, Ентча, Келлога и Мерсера. В главе т1 рассматриваются задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа, включая задачу Штурма — Лиупилля, а также краевые задачи для уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве и для уравнения Лапласа на плоскости.

Излагается элементарная теория гармонических функций, а танже ф»икций Бесселя и сферических функций. В главе тг! изучаются смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболического типов в классической и обобщенной постановках. Излагается метод Фурье и дается его обоснование, 19 7!рндисловид к чвтвйитожу издлнидз Многие параграфы инягн содержат задачи для уира.кнений. Ряд звдач сформулирован в виде теорем, которые являются существенным дополнением к основному материалу. Для зпражиений можно также рекомсндовать «Сборник зааач по уравнениям математической физики> В.

С. Влалимнрова, В. П. Махай:нюа. Л. А. Вашарина, Х. Х. Каримовой. !О В Сидорова, М. И Шабунина, Наука, !974. Эта книга является расширенным изложением лекций по курсу «Уравнения математической физики», читанных автором в течение многих лет студентам Моск гнского физико.тсхиическш о института Она рассчитана на студентов и аспирантов — матсматию н, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.

Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность всем ливан, чья конструктивная критика способствовала улучшению настоящего и предыдущих изданий книги. В особенности я благодарен Н. Н. Боголюбову, С. Л. Соболеву, В П Михайлову, Л Д. Кудрявцеву, Б М. Степанову ',Х. Х Каримопой, 9 Х Н. Дрожжинову, В А. Ильину, И. А. Кипрнянову, В.

В Жарииову,!О. П. Крн. венкову и В. Д. Чарушникову. Я также весьма благодарен 11 Я Влалпчировой за помощь при оформлении рукописи и чтсннс корректур 1979 г. В. С. Владггжироо ГЛАВА ! ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 5 !. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов Пусть А — произвольное множество. Если элемент а содержится (не содержится) в множестве А, то это будем записывать так: п еп А (и Я А).

Пусть  — другое множество. Обозначаем А: В включение А в В, А =В— совпадение А с В, А()  — объединение А и В, АПВ— перегечение А и В, А  — дополнание В до А (рис. 1), А м  — произведение А и В (множество пар (а, Ь), аеп А, бе= В), ф — пуганое множество. л'.л 1. Точечные множества в А'". Обозначим и-мерное вещественное евкл идово пространство через Вл, Рис. !. а его точки через х = (х,, хм ..., х„), у, $ и т. д,, где х;, 1=1, 2, ..., п, — коор динаты точки х. Символами (х, у) и ~х~ обозначим скалярное произведение и длину (норму) в )г": (х, у) =х,у,+ хэу,+...+х„у„, (х(=)'(х, х) = ! "х-",+х.',+...+х„'. Таким оораз ~м, число (х — у,' есть евклидово расстояние межлч точками х и у. Множ.ство точек х из В', удовлетворяющих неравен- тву ~ х —.к,~ В, называется открытым шаром радиуса В с центром в точке х„Этот щар будем обозначать и(х„; В); и,=и(О; В).

Последовательность точек хе=(хоь хьь ..., х„„), й = = 1, 2, ..., называется ~хгк)кп(аш!я к точке х в В", хл- х, Ь- =, если (х„— х,' О, (г- оо. Последователь- постАноВкл ХРАеВых зАдАч !Гл. ! <иють х„, й=!, 2... называется сходящейся в себе в <г', если ~х, — хр(-~0, й-~со, р-~ел.

Следующее предложение выражает свойство полноты пространства (<<' (принцип сходимости Кои<и) Для того чтобы последоватальность точек сходилось в Р", необходимо и достато«но, чтобы она сходилась в себе в )т". Множество называется ограниченным в Гс", если существует шар, сод< ржащий это множество. Следующее предложение выражает свойство компактности пространства Д" (теорема Больцано — Вейери<трасса). Из всякого бесконе«ного ограни«енного множества в Д" л<о«сно выбрать стодлщу<ося последовательность.

Точка х, называется внутренней точкой множества, если существует шар У(х,; е), содержащийся в этом множестве. Множество называется открытыл<, если все его точки внутренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется областью. Точка х, называется предельной точкой множества А, если существует после. довательность х„й=1, 2, ..., такая, что хь и< А, хлчь ~х„хл- х„й- со.

Если к множеству А добавить все его предельные точки, то полученное множество называется замыканием множества А и обозначается А; ясно, что А <: А, Если множество совпадает со своим замыканием, то оно называется замкнутыл<. Замкнутое ограни. ченное множество называется компактом. Окрестностью множества А называется всякое открытое множество, содержащее А; е-окресп<настаю А, множества А называется объединение шаров (I (х; е), когда х пробегает А: А, = = Ц У (х; е).

кл Функция тл(х), равная 1 при хев А и О при хЯ А, называется характеристи«есной функцией множества А. Справедливо следующее предложение о покрытии (лемма Гейне — Бореля). Если компакт К покрыт сисп<елюй открытых шаров, то из этого покрытия можно вы. брать коне«ную подсисп<ему, покрываю<цую К, Пусть 6 — область. Точки замыкания <<, не принадлежа<цие С, образуют замкнутое множество 5, называемое границей области 6, так что 5 = 6 ~6.

Например, границей открытого шара (<*(х„; г<) является сфера ~х— % и нскс!тоеые по!и!т!!я и пеедложе!!ия 1з Риа 2 — х,~=)с. Эту сферу будем обозначать 5(х„; )с); 5я= = 5(0; )с). Будем говорить, что поверхность 5 принадлежит классу Сг, р - ), если в некоторой окрестности каждой точки х, ~ 5 она представляется уравнением !а„,(х) =О, причем ягабы„(х)чь0 и функция ы„(х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности. Поверхность 5 называется крсочногладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса С'. Впредь мы будем рассмат- С ривать только области с ку- г~ сочно-гладкими границами; С через л = л обозначим единичный вектор внешней нор- ч Я г.г~ мали к границе 5 в точке х ~ 5.

Пусть точка х„лежит на кусочно-гладкой поверхности 5, Окраса!ногтью точки х, на поверхности 5 называется та связная часть множества 5 Д У(х,; !т), которая содержит точку х„. Ограниченная область 6' называется подобластью, строго лежащей в области 6, если 6'с:6; при этом пи!иут 6' с= =6. В силу леммы Гейне — Бореля существует такое число е >О, что 6; ч= 6 (рис.

2). 2. Классы функций Сг(0) н Се(ц). Пусть а=(а„ а,„..., а,) — целочисленный вектор с неотрицательными составляющими а;(мультииндекс). Через 0"~(х) обозначаем производную функции ) (х) порядка ~а(=а,+а, +... ...+ а„: 0.)(х) = д "' " "' ""' 0 ~(х) =)(х). дхюдх""... дх" э" л 0=(0, О, ..., 0„), 0;= —, )=1, 2, ..., л. д дх, ' Для низших производных мы иногда будем употреблять и такие обозначения: )",, )„,. и т. д. Мы будем пользо- ! ваться также следующими сокращенными обозначениями; х"=х" х"*...хча, а! =а,!атП..а„й — „л, посткновкл кглевых зкдлч !Гл ! Множество (комплексных) функций 1, непрерывных вместе с пропзгоднымн 0") (х), ~ а (=-. 'р (О.- р( ос), в обласпи 6, образует класс фднлт!ий Сл(6).

Функции / класса С" (6), у которых все производные Р((х), ~и!.-.= р, допускают непрерывное продали.гнне на замыкание 6, образуют клас~ фцнкций Се(6); ири этом под значением Г>~! (х), х ~ 5, , 'х ~ р, понимагм 1(п1 0")'(х') при х'- -«х, х' ~ 6, Класс функций, принадлежащих Сл(6) при всех р. обозначим через С' (6); аналогично определяется и класс функций С ' (6). Таким образом, класс С'(6) состоит из всех непре рывных функций в 6, а класс С'(6) можно отождествить с множеством всех непрерывных функций на 6.

Для сокращения записи обозначаем С(6) — — С'(6), С(6) =Се(6). Иногда аргумент 6 или 6 у класса Сл будем опускать. Пусть функция 1(х) задана на некотором множестве, содержащем область 6. В этом случае принадлежность классу Сл(6) означает, что соженпе 1 на 6 принадлежит Сл(6), Например, функция Н(х) =О, х- 0; Н(0) = Н (х) = 1, х О, принадлежит классам С '(х.л:. 0) 2' и С' (» 0), причем если Н рассматривается как функция класса С (х:-0), то ее значение в 0 следует считать равным О, а если Н вЂ” функция класса С '(хззО), то ее значение в 0 следует считать равным 1 (в соопветствии с опредепениями). Вв денные классы функций представляют собой линейны." множес»паа, т.

е. из принадлежности функций 1 и а какому-либо нз этих классов следует принадлежность этому же классу и любой их линейной комбинации Л(+ Од, где Л и р — произвольные комплексные числа. Функция 1 называется кд»очно-непрерывной в )(', если существует конечное и,ти счетное число областей 6„ й=-1, 2, ..., без общих точек с кусочно-гладкими границами таких, что каждый шар покрывается конечным числом замкнутых областей (6„,) и ) ев С (6„), й=!,2,...

Кусочно-непрерывная функция называется фанитной, если она обращается в нуль вне некоторого вара. Пусть ~р ~ С()»"). Носителем непрерывной функции»р называется замыкание множества тех точек, ~де <((х) внО; носитель , обозначаем эцрр »р. 4 И некотоРые пОнятия и ПРедложения !5 Таким образом, функция <р(х) финитна тогда и только тогда, когда знрр <р ограничен. 3. Пространство непрерывных функций С(Т). Пусть Т вЂ” замкнутое множество, например замыкание 6 или граница О области 6. Обозначим через С(Т) класс непрерывных и ограниченных на Т функций.