Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 10

Она удовлетворяет уравнению Дирако — системе четырех линейных дифференциальных уравнений первого порядка: < з 7 7" 3— — шо( 'У (хо х) =О, д а=о (42) ') См. например: Д. И. Блохинцев (Ц, гл. 1)г и КП!, А. Массив !!), гл. !!. где й 1,054 10 о' эрг сек — постоянная Планка. Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то таное состояние ее называется стационарным. В этом случае волновая функция ф(х, Г) имеет вид клвссивиквция углннепип й» где С вЂ” еднннчнаи матрица и та — матрицы Дкрака (в реализации Паули): оо! О 1 О1 — ! оо(' ооо о о Уравнение Дирвкв есть результат матричной факторизации уравне- нии Клейна в Гордона в Фока, ибо «) < Ь !с ь Ю Г тьоз — — те!~~( У твоа — +т / — (()+т«е)! (43) а««О а О й 3.

Классификация квазялянейных дифференциальных уравнений второго порядка л асс(х) †" — + ср (х, н, йгас( и) = 0 (!) с. с'=! с непрерывнымн коэффициентами асс(х). Выясним прежде всего, по какому закону преобразуются коэффициенты асс при произвольной неособенной замене независимых переменных у=у(х), т. е. Ус=Ус(х,, хе, ..., к„), 1=1, 2,, л; У, ен Се, сд=ссуо "' " Р"1чьб !хн х„..., хнс (2) «) См, Н. Н. Боголюбов н д. В, Ширков 1)1, $6. Прежде чем формулировать математические постановке краевых задач для линейных дифференциальных уравннннй второго порядка необходимо классифицировать этн уравнения. 1. Классификация уравненяй в точке. Рассмотрим квазнлннейное (лннейное относительно всех старшнх про изводных) дифференциальное уравнение второго порядка постлноВкА кРАВВых зллАч !Гл.

! Так как 0~0, то в некоторой окрестности можно вь!ра- зить переменные х через переменные у, х=х(у). Обозна- чим и(х(у)) =-й(у); тогда й(у(х)) =и(х). Имеем и 1=! Уи д ди !! 'к! дод ду1дуо 'к! дй доу! дхо дх1 д»1,д»1,1 о~,о ду! дуо дх; дх; х',о ду! дх, дхг о,1 ! 1=! Подставляя выражения (3) в уравнение (1), получим л л л л + Ф' (у, й, ига!) й) = О. (4) Обозначая теперь через й,о новые коэффициенты при вторых производных: л аго (у),~~~ ау (х) д» ду, дуо 1,1 ! перепишем уравнение (4) в виде (1): а1о(У)д д +Ф(У, й, Ягаг)й)=0.

(6) О,!=! Фиксируем точку хо', обозначим у,=у(хо), аа= ду! (хо) дх! Тогда формула (5) в точке х, запишется в виде й,„(у,) = ~ а11(х,)алк„1. (7) л ~~~ ау(хо) рр1 1,1 ! (8) Полученная формула преобразования коэффициентов а;1 в точке х, совпадает с формулой преобразования коэффи- циентов квадратичной формы 57 клхссиьикация тглвнеиии тн при неособенном линейном преобразовании л р;= ~ андо с1е1(ан)~=0, 1=! (9) переводящем форму (8) в форму л аы (Уь) ~)г)м (10) и г-1 *) Си., например А. И. Мальцев !!1, гл. Ч! и Л. В.

Беклгии. шеь !Ц, гл. Ч!г!. Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке х, с помощью замены переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8) с помощью неособенного линейного преобразования (9). Но в курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное преобразование (9), при котором квадратичная форма (8) принимает следующий канонический вид: Г УИ Я ф — У, '9), т(п; (11) (=~ ~-г+1 кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые числа г и т не зависят от преобразования (9) *).

Это позволяет классифицировать дифференциальные уравнения (1) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами ап в точке х,. Если в квадратичной форме (1!) т = и и все слагаемые одного знака (т. е. либо г =т, либо г = О), то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа; если т =и, но имеются слагаемые разных знаков (т. е. 1 =г(п — 1), то уравнение (1) — гиперболического типа (при г = 1 или г = и — 1 — нормально-гиперболического типа); наконец, если т .-и, то уравнение (1) — параболическою типа (при т = п — 1 и с =1 или г = и — 1 — нормально-параболического типа). Подчеркнем, что приведенная классификация зависит от точки х,, так как числа г и т зависят от к,.

Например, уравнение Трикоми (12) ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ргл. в — смешанною лтшса: при у( 0 — гиперболического типа, при у)Π— эллиптического типа, а при у=Π— параболического типа. Пусть коэффициенты оо в уравнении (1) постоянны, и пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8) к каноническому виду (11). Тогда линейная замена независимых переменных у, Я анх; ! ! преобразует уравнение (1) к следующему каноническому виду: хв =г ип В з! п ф, хв = г соз 6. х, = г в(п В сов ф, Имеем — — в=1 2,3 дг хс дх; г' дВ сов В сов ~р дв сов В в$п <р дх, г ' дх, г 2 Ьг =— р Г дв — —, ЛВ= а!и В Г св, яоВ' дхв — „= О, Дф= о.

др дхв дф япф д., = ° МВ' дф сов ~р дх с вМп В' Подставляя эти выражения в формулу (4), при и 3, ау бо и Ф=О и собирая подобные члены, получим д( д1 ! д(. д) ! дв Ь= - (гв 1+ —. - (в(ад — 1+ .. —. (14) гв дг( дгГ'+ гв мпзд9 1 дв) + гв сиввадфв — — + цв(у, й, угас( й) = О. (13) с=1 с- ° -с ~ П р и м е р ы. Уравнение Лапласа — эллиптического типа, волновое уравнение — гиперболического типа и уравнение теплопроводности — параболического типа.

2. Выражение оператора Лапласа в сферических н цилиндрических координатах. Для иллюстрации преобразований 2 3.1 найдем выражение трехмерного оператора Лапласа Ь(П=З, ау=бр, Ф=О) в сферических и цилиндрических координатах. а) Сфер и чес к ие координат ы (рис. 6): кллссиФиклция уплйкении Рис. 6.

Рнс. 7. Ь) Цилиндрические (полярные) координаты (рис. 7): хх — — е. Производя аналогичные, более простые, выкладки, получим 3. Характеристические поверхности (характеристики). Пусть функция ол(х), х=(х„х„..., х„), и) 2, класса С' такова, что на поверхности ол(х) =0 агас) со(х) чьО и ч Х ау(х) — — = О. дсо (х) ди (х) дх; дхг ь / =! (16) Тогда поверхность со(х) =0 называется характеристической новерхноонью (или характеристикой) квазнлинейного дифференциального уравнения (1), а уравнение (16)— характеристическилл уравнением. При и = 2 характеристическая поверхность называется характеристической линией. Предположим, что каждая поверхность семейства со (х)— — С=О, а~С СЬ, есть характеристика уравнения (1).

Поскольку на каждой характеристике йгаг(со ныл, то это семейство заполняет некоторую, достаточно малую, область С, через каждую точку которой проходит одна и только одна характеристика. Пусть со вн С'(С). Тогда, если в преобразовании (2) взять у,=ел(х), то, в силу (5) ао постхноВкА кРАеВых злдхч Ггл $ и (18), коэффициент ап обратится в нуль в соответствующей области б, Поэтому знание одного или нескольких семейств характеристик дифференциального уравнения дает возможность привести это уравнение к более простому виду.

Примеры характеристик. а) Волновое уравнение (см. (10) $2.1). Его характеристическое уравнение имеет аид Поверхность а' (( — (,)' — ! х — х„," = О, (17) называемая характеристическим конусом с вершиной в точке (х„(,), есть характеристика волнового уравнения. Характеристический конус (17) является границей конусов Г+(х„(,) =[а(! — (,) > ~ х — х„') и Г (хо, (о) =[ — а(с — (о))(х — х„~'~, называемых соответственно конусами будуи(его и прошлого с вершиной в точке (х„, („) (рис. 8), Обо,с /ю„,гс) значаем Гх = Г- (О, 0).

Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристических поверхностей — семейство касательных плоскор стей к характеристиче- ским конусам 'Ъ (хг Р) а! ! (х Ь) С (18) где Ь=(Ь,, Ь„..., Ь„), Ь» н С вЂ” любые естественные числа, причем ~ Ь' =1. Ь) Уравнение теплопроводности (см.

(13) ~ 2 2). Его характеристиками, очевидно, является семейс1во плоскостей с=С. клхссификкция уэлвнении с) Уравнение Пуассона (см. (18) ф 23). Оно не имеет (вещественных) характеристик, ибо из характеристического уравнения '5' (дс'"о)' = О на го=О Е=! вытекает, что йгаг(го =О на оо=О, что невозможно.

4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными. В Э 3.1 рассмотрен способ приведения квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (13) в достаточно малой окрестности каждой точки? Чтобы такое приведение можно было сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий ам — — О, 1~й, 1, А=1, 2,...,п; аи=ейц, 1=-2, 3, ..., и; йп~О, где е,=О, -+. 1, не превосходило числа неизвестных функций уо 1=1, 2, ..., и: л (л — 1) +и — 1~п, т.

е, п~2. Покажем, что для п=2 (и, очевидно, для п=1) это приведение всегда можно сделать. Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными д~и йи д'и г ди ди~ а — + 2Ь вЂ” + с — + Ф ( х, у, и, —, — ) = О, (19) дко дкду ду' (, ' ' ' дк' ду) причем предполагаем, что коэффициенты а, Ь и с принадлежат классу С' в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль одновременно. Для определенности можно считать, что аФО в этой окрестности.