Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 12

Соответствующая задача называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений'. а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, то ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ н'л. ! область 6 совпадает со всем пространством )2", граничные условия отсутствуют. Ь) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе 5, начальные условия, естественно, отсутствуют.

с) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического тинов: задаются и начальные и граничные условия, 6~)т". Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач тля рассматриваемых уравнений (1) — (3). 2. Задача Коши. Для уравнения колебаний (4) (гиперболический тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию и(х, () класса С'(1)0) ()С'(1~0), удонлетворяющую уравнению (1) в полупространстве ( 0 и начальным условиям при (=+О: ди! и~ = 0(х).;,~ =и1(х). (4) При этом необходимо, чтобы Ря С(()0), и„ен С'()си), и, ен С()с"). Для уравнения диффузии (2) (параболический тии) задача Коши ставится так: найти функцию и (х, () класса С'(( )0) () С(()0), удовлетворяющую уравнению (2) в полупространстве Г)0 и начальному условию при (=+0: и Ь Р вЂ” — ио(х).

(5) При этом необходимо, чтобы г" ен С(()0), и,ыС(Р'). Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение.,Пусть даны квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа п ь у=! ~=! кусочно-гладкая поверхность 2; =[(= о(х)1 и функции и, и и, на 2. (данные Коши). Задача Коши для уравнения (6) состоит в нахождении в некоторой части области $ 4! постАновкА ОснОВных кРАЯВых зАдАч 7! 1)о(х), примыкающей к поверхности ~, решения и(х, !), удовлетворяющего на ~ краевым условиям ди ~ и!х =и,, — ! =и,, да !х (7) где и — нормаль к 2„', направленная в сторону возрастаю4цих ( (рис. 12).

Рис. !2. 1. Роль характеристик в постановке задачи Коши, Предположим, что поверхность ~,' принадлежит классу СВ (см. $ 1.1) и ни в какой своей точке не касается характеристической поверхности (см. $ З.З) уравнения (б), т. е. иа й', выполнено неравенство иодх д. + ~~ аюУ-~0. (8) дс4 до до 4 ! ! 4 4 Преобразуем задачу Коши (б) — (7) к задаче Коши, В которой данные Коши заданы на плоскости т=О. Для чтого вместо переменной ! введем .ноиую переменную т=! — О(х). При втой замене переменной уравнение (б) АЛЯ ФУНКЦИИ й (х, т) = и (х, т+ о (х)) (й) в окрестности поверхности ~', принимает Вид (см.

й 3.1) дсд ! %1 д4И ! 'Ю дсд д —,4=а — г, ~ндх.дх +д — Л~юдх,д,+~э (1 ) постАновкл кРАевых зАдАч ггл. ! поскольку, в силу (8), аеаФО на ч', При этом поверхность у; переходит в плоскость т=О, а краевые условия (7), в силу (9), принимают вид й!т в и !х ие(х) д. ! ду ~ дй! дн (! 1) ди Осталось найти —, на ! . Дифференцируя первое из краевых условий (7), и„(х)=и(х, о(х)), по хь получим и соотношений на ~; е дие ди до ди (12) дх! д! дх! дх! ' Дифференцируя функцию и(х, 1) по нормали п=~ —, — — вегас(о), А=У)+~йтабоР, /! ! Л и учитывая второе из краевых условий (7), получим еще одно соотношение на у',: И ди ! ! ст ди до д! Ь Л з7! дх;дх (13) до дх, О ... ! до дхя ! ! да ! до Л Л дх, ' " Л дхн =( — 1)" Л ~О.

3 а меча ни е. О другой стороны, если поверхность 2 совпадает с характеристической поверхностью уравнения (6), то соответствующая задача Коши (б) — (7) может и вовсе ие иметь решения, а если и имеет таковое, то оно может быть не единственным, Для доказательства сказанного достаточно привести пример. Рассмотрим задачу Коэн для уравнения и„,=о сданными на характеристике !=о: и,! е=-ие(х), и!и ~=на(х). Система линейных алгебраических уравнений (12) — (13) дн однозначно разрешима относительно величин —, ! = 1, 2,...

дх;' ди ..., и, — в каждой точке поверхности 2;, так как ее д! определитель н постановка основных краевых заддч 7З и (х, Г) =ие(х)+аз+с(О, гдс с (Π— любая функння класса С' (! ) 0), удовлетворяюнгая усло- виям с(0) =с' (0) =О. Решение не единственно! 4. Краевая задача для уравнений эллиптического типа.

Краевая задача для уравнения (3) (эллиптический тип) состоит в нахождении функции и (х) класса С'(6) П Сг(6), удовлетворяющей в области 6 уравнению (3) и граничному условию на о' вида пи + () о- ~ = о, (Г4) где а, р и о — заданные непрерывные функции на 5, причем сс~О, р = О, се+()- О. Выделяют следующие типы граничных условий (14); Граничное условие 1 рода (и=1, () =0) и,~з =- иа. (15) Граничное условие П рода (а=О, р =1) д- ~ =из. Граничное условие 111 рода ($)=1, а)0) ди ди ~з — +аи ~ =и,.

(16) (17) Соответствующие краевые лида«ами 1, П и 1И рода. Для уравнений Лапласа ная задача 1 рода Ли= — ), задачи называются краевыми и Пуассона (см. у 2.3) крае- (18) и!з = иа называется задачей Дирихле; Ли= — 1, называется задачей Неймана. краевая задача 11 рода — = из (19) Нслк решение поставленной задачн существует, то кз уравнения н нз второго начального условия вытекает необходимое условие разрешимости ее: и,'(х) =О.

Таким образом, решскнс задачи может существо. клгь лишь йрк и,(х)=сонм=и. В этом случае, если ива С', решенш действительно существует н, как легко убедиться, дается форму. лий 74 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ !Гл. 1 Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (3) и во внешности ограниченной области 6 (внешние краевые задачи), Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия (14) на 5, задаются еще условия на бесконечности. Такими условиями, например, могут быть: условия излучения Зоммерфельда (22) З 2.3 — для уравнения Гельмгольца или Шредингера (см. 2 2.7); условия вида и(х) =0(1) или и(х) =о(1), )х)-ьоо (20) — для уравнения Пуассона; принадлежность ф к Хз()сз) для собственных функций уравнения Шредингера (40) 2 2,7 и другие.

'5. Смешанная задача. Зля уравнения колебаний (1) (гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию и(х, 1) класса Сз(ЦТ) Д ПСг(Цг), удовлетворяющую уравнению (1) в цилиндре Цг, начальным условиям (4) при г=0, хаву (на нижнем основании цилиндра Цг) и граничному условию +() — ~ =о (14') (на боковой поверхности цилиндра Цг), При атом необходимо должны быть выполнены условия гладкости РеС(Цг), иаенС'(6), ихенС(б), оевС(5Х(0, Т1) и условия согласованности сапе+ р а„з ~ =о~!-а. (21) Аналогично для уравнения диффузии (2) (параболический тип) смешанная задача ставится так: найти функцию и(х, 8) класса С'(Цг) П С(Цг), йтаг(„и ев С(ЦТ) удовлетворяющую уравнению (2) в Цг, начальному условию (5) и граничному условию (14').

Эамечанне. Решения поставленных краевых задач с гла!ь костью С! вплоть до границы области задания уравнения существуют не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться ог требования такой гладкости н требовать, напрнмер, чтобы решенне было только непрерывным вплоть до граннцы области. Эга постановка является естественной з задачах, не содержащих первых производных в краевых услоанях, например, для уравненнй (2) н (3) с граничным условием 1 рода. Если же в краевые условна входят первые пронзводные, Ф 41 ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ уб У У» о ю» х Рис 13.

Рис. 14. а) Задача Гурса. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа с двумя независимыми переменными в каноническом виде (см. 3 3.4) + а д —, + Ь д + и = 1 (х У) о'и ди ди (24) с непрерывными коэффициентами а, Ь и с в замкнутом прямоугольнике П, П = (О, х,) х(0, уе). Требуется. найти функцию и (х, у) класса С' (П) () С (П), и„» ~ С (П) *), удовлетворяющую уравнению (24) в прямоугольнике П и принимающую заданные значения на его сторонах у=О, 0~ ~хйхв и х=О, 0(у~ус (рис.

13): п1» =р (х), и!. =Ч (И. (25) е) И тогда и„„=и„„в П (см., например. Л. Л. Кудрявцев (Ц, % 31). то в каждом конкретном случае необходимо указывать смысл, в ното. ром должны быль выполнены вти краевые условия. Например, для смешанной задачи для уравнения (Ц выполнения второго нв началь. ных условий (4) можно требовать в смысле оз(6); ди — -и,~ О, 1 +О; дг (22) для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения граничного условия (!6) можно требсеать в следующем смысле: ди(х) к~э —:й и,(х), к' ~.х, к' гн О, х'гн — и„.

(23) дик 6. Другие краевые задачи. Сформулируем еще две краевые задачи, часто встречающиеся в математической физике. постлновкл келевых злдлч ггл, г При этом необходимо должны быть выполнены условия гладкости (енС(П), ~р,яС([0, х,[), р,яС([0, у,)) и условие согласованности ф, (0) = ф, (0). Отметим, что в задаче Гурса задается одно краевое условие на двух пересекающихся характеристиках уравнения (24).

Ь) Задача Т риком и для уравнения Чапл ы г и н а. Уравнение Чаплыгина имеет вид: д~и дзи К (у) †„, + †„, = О, (26) где К (0) = О, К' (у) ) О, у Ф 0; при К(у) =у уравнение (26) превращается в уравнение Трикоми (см. з 3.5). Пусть односвязная область 6 в плоскости (х, у) разделена параболической линией у=О уравнения Трикоми на две части: эллиптическую 6,(у) 0) и гиперболическую 6,(у(0). Предположим, что область 6, в у)0 ограничена кусочно-гладкой кривой Я„которая оканчивается в точках х, и хи, х,(х„на оси х, а область 6, в у(0 ограничена двумя пересекающимися характеристиками 3, и Я, уравнения (26) (ср.

з 3.5), проходящими соответственно через точки х, и х, на оси х (рис. 14). Требуется найти функцию и (х, у) — класса С' (6, 1) 6,) П ПС'(6) ПС(6), удовлетворяющую уравнению (26) в областях 6, и 6, и принимающую на дуге Б, и на одной из характеристик, например на Зп заданные значения и(з,=и„, и)ж=~р. (27) При этом необходимо, чтобы ил ен СД), ~р я С(Ял) и ии (хг) = <р (х1) . 7. Корректность постановок задач математической физики. Поскольку задачи математической физики представляют собой математические модели реальных физических процессов, то их постановки должны удовлетворять следующим естественным требованиям: а) Решение должно сущеслиовать в каком-то классе функций ыем е ч пОстАнОВкА ОснОВных кРАеВых зАдАч 77 Ь) Решение должно быть едмнственным в некотором классе функций авв.