Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 13

с) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т. д.). Непрерывная зависимость решения и от данного задачи й означает следующее: пусть последовательность данных й„, у=1, 2, ..., в каком-то смысле стремится к й и иы А=1, 2, ..., и — соответствующие решения задачи: то~да должно быть иа — ~-и, и- Оо, в смысле сходимости, выбранной надлежащим образом. Например, пусть задача приводится к уравнению т'и=г, где 1.— линейный оператор, переводящий ые в т', где ыв' и от' — линейные нормированнме пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена г" будет обеспечена, если оператор т'=' существует и ограничен из от' в ыв (см.

Я 1.10 и !.11), Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функций М, Д Мв — классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий а) — с), называется некорректно поставленной, К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики: по некоторой информации о решении прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины, определяющие эту задачу (источники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т. д.).

Новый подход к некорректно поставленным задачам предложен А. Н. Тихоновым 111*). В этой книге мы устанавливаем корректность поставленных основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка в том или ином классе, а также изучаем качественные свойства решений *) См. также А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М.

М. Лаврентьев 111, М. М. Лаврентьев [11, А. Н. Тихонов и В. Я. Арсении 11). 78 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 1гл. 1 и методы построения (точных или приближенных) решений этих задач. П р и ме р. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается (см., например, В. В. Степанов 111, гл. 11), что задача Коши у'=7(х, у), у(х,)=у поставлена корректно, если функция )(х, у) непрерывна по (х, у) и удовлетворяет условию Липшица по у (см. $ 1.3) в некоторой области, содержащей точку (х„уо), 8. 'Теорема Коши — Ковалевской. В этом пункте мы выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение существует и единственно.

Прежде всего введем два определения о). 1) Система )Ч дифференциальных уравнений с л( неизвестными функциями иь и„..., ин А,. — "~ =Ф;(х, 1, иы ие, ..., ин, ..., 0~'0"„им ...), (28) оо ' 1=1, 2, ..., М, называется нормальной относительно переменной 1, если правые части Ф, ие содержат производных порядка выше й~ и производных по 1 порядка выше й~ — 1, т. е.

ао+а,+...+а„~йи ао =.й~ — 1. Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности нормальны относительно каждой переменной х; волновое уравнение, кроме того, нормально относительно 1. 2) Функция 7'(х), А"=(хы х„..., х„), называется аналитической в точке х„если в некоторой окрестности этой точки она представляется в виде равномерно сходящегсся степенного ряда 1(х) = ~) с, (х — хо)" = ~ —, (х — хо)" 'к1 Во) (х,) а! ~а~~о ~а!~о (точка хо может быть и комплексной). Если функция 7'(х) аналитична в каждой точке области 6, то говорят, что она аналитична в области б.

') Исоольоуеыые ниже обоввачевая введены в й 1.2, Фи постАнОВкА ОснОВных кРАеаых зАВАч 79 Для нормальной относительно 1 системы уравнений (28),поставим следующую задачу Коши: найти решение и„и„..., ил этой системы, удовлетиоряюще~ начальным условиям при 1=1А. цЧА(х), А=О, 1, ...> й~ — 1; 1=1, 2~ ."~ Ф~ длсч (29) где йчл (х) — заданные функции в некоторой области б с Я'. Т е о р е м а К о ш и — К о в а л е в с к о й. Если все функь ции ~р;А(х) аналитичны в некоторой окрестности точки Хв и ВСЕ фУНКЦии Ф;(Х, 1, ..., ипк „в, ...) аиаЛитиЧНЫ в некоторой окрестности точки (хв йь ~ О %/ш(АА) '' ) то задача Коши (28) — (29) имеепч аналипшческое решение в некоторой окрестности точки (х„св) и притом единственное в классе аналитических функций.

Для доказательства этой теоремы решение и„, и„... ..., иА, в окрестности точки (х,, 1,) ищется в виде степенных рядов О~Нише»,; ~1 (1 (в) ' (х — хв) ° (ЗО) и,(х, 1)= а,~в, ш!~0 Из начальных условий (29) и из уравнений (28) последовательно определяются все производные 07'Р"„и; в точке (х„(А), Равномерная сходимость рядов (ЗО) в некоторой окрестности точки (хв, (,) доказывается методом мажорант.

Единственность построенного решения в классе аналитических функций следует из теоремы единственности для аналитических функций, Подробные доказательства теоремы Коши — Ковалевской содержатся, например, в книгах И. Г. Петровского [11, Г. Н. Положего [Ц и В. П, Михайлова [11. 9. Пример Адамара. Теорема Коши — Ковалевской, несмотря на ее общий характер, полностью не решает вопроса о корректности постановки задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Действительно, эта теорема гарантирует существование и единственнвсть решения лишь в достаточно малой окрест- пОстАЛОВкА кРАеВых зАдАч ности, или, как говорят, в малом; обычно же зги факты требуется установить в наперед заданных (и отнюдь немалых) областях, или, как говорят, в целом. Далее, начальные данные и свободный член уравнения, как правило, оказываются неаналитическими функциями. Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Это показывает пример, впервые построенный Адамаром (см. Ж. Адамар 111): Решение задачи Коши ! и й-о=О, и! Ь-о= зюйх для уравнения Лапласа дзи ози есть из (х, 1) = —,, 5 1 и йх. зь ы з Если й-~+со, то — 51пйх~О; тем не менее при хчь)п, 1=0, +1, ..., зь ы иа(х, 1) = — зз(пйх О, й-ьсо. й' Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа по- ставлена некорректно (в смысле определения $ 4.7). Тем не менее возможны корректные постановнн этой задачи. Напрнмер, в классе функций, огрзннченных фиксированной постоянной, эта задача поставлена корректно прн условии, что ее рещенне существует (последнее требование приводит н вполне определенным ограннченням на множество допустимых начальных данных и, н и,).

О корректных постановках задачн Коши для уравнения Лапласа н методах нх решеняя см. М. М. Лаврентьев 1!1. 1О. Классические и обобщенные решения. Изложенные в предыдущих пунктах постановки краевых задач характеризуются тем, что решения их предполагаются достаточно гладкими и они должны удовлетворять уравнению в каждой точке области задания зтого уравнения.

Такие решения мы будем называть классическими, а постановку соответствующей краевой задачи — классической постановкой. Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных. Однако, в наиболее интересных задачах зги дан- Ф 41 постановка основных кяхввых задач В1 ные могут иметь довольно сильные особенности. Поэтому для таких задцч классические постановки уже оказываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) оттребований гладкости решения в области или вплоть до границы, вводить так называемые обобщенные решения. Но тогда встает вопрос о том, какие функции можно называть решениями уравнения. Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и вообще понятие функции, т.

е. ввести так называемые обобщенные функции. Изучению этого вопроса целиком посвящается следующая глава. ГЛАВА 11 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком [1] в его квантомеханических исследованиях, в которых систематически использовалась знаменитая б-функция, Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.

Л. Соболевым ([2], 1936 г.) и Л. Щварцем ([2], 1950 — 1951 гг.). В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками. Быстрое развитие теории обобщенных функций стимулировалось главным образом потребностями математической физики, в особенности теории дифференциальных уравнений и квантовой физики. В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике и прочно вошла в обиход математика, физика н инженера *). й Б.

Основные и обобщенные функции 1. Введение. Обобщенная функция является обобщением классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны, дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника, интенсивность силы, приложенной в точке, и т. д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь ') См.

Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов н И. Т. Тодоров 111, И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов 111, В. С. Владнмнроа 12. Ь1, Р. Стрнтер, А, Вайтман 111, Р. Йоат 111, Г. Врамерман 1Н, Л. Шйварм™111, Л. Хермандер 11). эя ОСНОВНЫЕ'И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ вз е го среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими «средиими значениями» в окрестностях каждой точки.

Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат. Чтобы определить эту плотность, распределим (ели, как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри шара Ув. В результате получим среднюю плотность 3 ув(х) = 4яв' ' — ~х/<е, О, !х~>е. Примем сначала в качестве искомой плотности (мы ее обозначим через б(х)) поточечный предел последовательности средних плотностей )в(х) при Б-~О, т, е. (+со, если х=О, б(х)=1 ~.(х)=~ О О (1) От плотности б естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому объему У давал бы массу вещества, заключенного в этом объеме, т. е.