Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981), страница 11

Действительно, в противном случае может оказаться, что с~О. Но тогда, меняя местами к и у, получим уравнение, у которого а~О. Если же а и с обращаются в нуль одновременно в какой-либо точке, то Ь Ф О в окрестности ПОСТА«ЮВК1 КРАЕВЫХ ЗАДАЧ «ГЛ. 1 '-,"+)„(х, д),' —," =О, (24) где а — )'3 а+Уй 1= а ' а ~1= Х1 — 3,1= —, й=ЬА — ас. а (25) Согласно классификации, изложенной в 9 3.1, возможны следующие три типа уравнений (19): 1. Гиперболический тип, если й:а О.

11. Параболический тип, если й=О. 1!!. Эллиптический тип, если й О. Рассмотрим отдельно все эти три случая. этой точки. В таком случае после деления на 2Ь урав- нение (19) уже будет иметь канонический вид (26). Переходя к новым переменным $= 3(х, у), т)=г)(х, д), $ я С', т) я С', 0(„— '~) ~0, (20) приведем уравнение (19) к виду Д'й . д«й д«й - «дй Дйч й — + 2Ь-,— +с — + Ф~$, ть й, —, — ~ =О, (21) Д"1 д";ДЧ дн« ~ ' ' ' Дх' дЧ,) где, в силу (5), «ДЕ 1 дЕ ДВ (ДЬ 1 й=" дх ~ + 2'дх-ду+ ',ду) дй дч+ 1 «дй ««ч 1 дЯ дч' 1 дь дч дхдх ~дхду дудх~ дуду' д ~ +2Ьд д +с~д)' ДЧ 1 дЧ ДЧ /д«1;1 дх дх ду 1ду) ' Потребуем, чтобы функции $(х, у) и т)(х, у) обращали в нуль коэффициенты а и с, т.

е., в силу (22), удовлет- воряли уравнениям (23) а ( дх 1 + 2Ь дх ду + ~(ду ) = О. Так как ачьО, то уравнения (23) эквивалентны линейным уравнениям д + Х1(х, у) д- —— О, дй д1 э э) клкссифнккция уяквнвннп !. Гиперболический тип, д)0. В этом случае уравнение (19) приводится к каноническому виду д.д + Ф=О.

(28) Отметим, что замена переменных р =5+э), о=5 — т) приводит уравнение (19) к другому, эквивалентному, киноническому виду: дои, дои, (27) Для доказательства представления (26) установим суще- ствование хотя бы одной пары решений $, т) уравнений (24), удовлетворяющих условиям (20). Отметим, что 1, и Хоан С'. Установим сначала связь этих решений с харак- теристиками уравнения (19).

Предположим, что существуют решения уравнений (24) такие, что угад Е ~ 0 и дгад 9ФО в рассматриваемой окрест- ности. Тогда, по определению (см, 9 3.3), кривые $(х, у)=Сь э)(х, у)=С, (28) определяют два семейства характеристик уравнения (19). Для дальнейшего нам понадобится следующая Лемма. )7усть функция оэ(х, у) класса С' такова, ды что — ~0. Для того чпюбы семейство кривых ы(х, у) = ду = С давало харакпмрисптки уравнения (19), необходимо и достаточно, чтобы вырахсение со(х, у) =С было оби(им интегралом одного из обыкновенн~х дифференциальных уравнении =Х,(х, у), =),(х, у). ду ду (29) Уравнения (29) называются дифференциальными уров.

пениями характеристик уравнения (19). Доказательство. Пусть оэ(х, у)=С вЂ” семейство до> характеристик уравнения (19). Из условия — ~ 0 следует, ду что кривые го (х, у) =С заполняют некоторую окресэ ность. Поэтому функция ьэ удовлетворяет в этой окрестности одному из уравнений (24), например уравнению до> ди дх ' ду — + ).1(х, у) — = О. ПООТАнОВкА кРАеВых ВАдАч сГЛ. 1 Далее, на каждой характеристике сп(х, у) С справедливо соотношение (30) дс1 | дс1 ду дх ду дх ") См., напримср, Л. 0.

Поюрягип 1! 1, гл. 1Ч. Отсюда и из (24') заключаем, в силу условия — ФО, что ду 1п(х, у) =Сесть общий интеграл первого из уравнений (29). Обратно, если п1(х, у) =С есть общий интеграл одного из уравнений (29), например уравнения у' =11(х, у), то, в силу (30), на каждой линии сп(х, у)=С выполняется соотношение (24'). Но по теореме существования и единственности решения для обыкновенных дифференциальных уравнений через каждую точку из рассматриваемой окрестности проходит одна интегральная кривая па(х, у) =С этого уравнения.

Поэтому уравнение (24') удовлетворяется во всех точках этой окрестности. Отсюда заключаем, поскольку и~С, д — ~0, что кривые па(х, у)=С являются харакдс1 теристиками уравнения (!9). Лемма доказана. На основании доказанной леммы общие интегралы уравнений (29): е (х, у) = С1 и т| (х, у) = С, такие, что $ и т| ~ С', д$ дч — ~0 и - ФО, определяют два семейства характеристик ду ду уравнения (19). Как следует из обшей теории обыкновенных дифференциальных уравнений *), такие интегралы существуют в, возможно, меньшей окрестности. При этом, поскольку А1енС1, то $ и 1|яС1 и, в силу (29) и (25), (1, ч1 ф дч дйдч д'дч О~~ — ) =- — — — — = — -()„— Д1)= (х, у) дх ду ду дх ду ду ~/д д1 дч Таким образом, семейства характеристик (28) образуют семейства координатных линий (рис.

9) и функции $(х, у) и т) (х, у) можно припять за новые переменные. При этом в уравнении (21) будет а=с=-0 и, в силу (22) и (29), Ь = 1о)1Х Ь(11+Ха)+С1 = ФО. д1 дп 2п' дй дп дуду а дуду Разделив уравнение (21) на коэффициент 2Ь~О, получим уравнение в канонической форме (26) кллссиэиклция телвнании э з! 11. Параболический тип. Пусть д= — О в некоторой окрестности. Тогда уравнение (19) приводится к каноническому виду (32) д'й два — +Ф=О Поэтому имеется одно семейство $(х, у) = С, характеристик уравнения (19), определяемое, в силу леммы, общим интегралом уравнения у = — таким, а что — чьО; при этом $енС'. д$ ду В качестве второго семейства прямые х =Со.

В результате Рис. 9. координатных линий выберем замена переменных $=-$(х, у), т)=х, дает, в силу (22) и (33), с=а. Разделив уравнение (21) на коэффициент с= а ~= О, получим уравнение в канонической форме (32). 11!. Эллиптический тип, д -О. Пусть коэффициенты а, Ь и с уравнения (19) — аналитические функции переменных (х, у) в окрестности некоторой точки (см. 9 4,8), Тогда ето уравнение приводится к каноническому виду дай д'й 1-. + дчт+ Ф = О В этом случае, в силу (25), коэффициенты л, и лв уравнений (24) — аналитические функции, причем при вещественных (х, у) )а,=)ма.

Из теоремы Коши — Ковалевской я В. С. Влалнмноов В этом случае, в силу (25), л, = лв = — ен С', так что ь а дифференциальные уравнения (24) совпадают и сводятся к одному уравнению ,", + .-','— „'= О. (33) У и'л. 1 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ вытекает (см. 2 4.8), что в достаточно малой окрестности существует аналитическое решение в(х, у) уравнения') — „+Х,(х, у) — у =О, (24') дв удовлетворяющее условию — ~ О. Положим ду со (х, у) + и (х, у) в (х, у) — я (х, у) где аз=а — (т) — функция, комплексно сопряженная а в = $+(т('.

она удовлетворяет второму из уравнений (24): д — + )ьз(х, у) д = О. Функции $ и т)ыС и, в силу (35) и (31), нх якобиан отличен от нуля: (' —:",1= (Ы) (-:.;)- Р 3 дв дп Рг — д ~ дв з — — — 2 — — — — — — ~ — ~ чьО. 21 а ду ду а ~ дУ Поэтому функции $ и т) можно взять за новые переменные. Посмотрим, какой вид примет уравнение (19) в этих переменных. По построению функция в удовлетворяет уравнению а(д ) + 2Ь вЂ” — +с(з-) О.

Отделяя здесь вещественную и мнимую части и пользуясь (35), получим а — — +Ь~ — — + — — )+с — — =О. дЕ дт1 гдй дп дй дп1 ~ дя дх дх 1дх ду ду дх) ду ду Принимая во внимание формулы (22), заключаем отсюда, что а=с и Ь*=О в переменных $, т1. Лалее, так как ') Решение существует н без предположения об аналитичности коэффициентов а, Ь н с, см. И. Н. Векуа 111, гл. П. Предположение об аналитичности коэффициентов позволяет использовать теорему Коши — Ковалевской о разрешимости уравнения (24') с комплексными коэффициентами в нлассе аналитических функций (прн и < О это уравнение называется уравнением Бельтрвмя].

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ \ и с)(0 и — ~0, то б=с~О. Разделив уравнение (21) на д3 ду 0=с~ 0, приведем его к каноническому виду (34). 5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в э 3.1, уравнение Трикоми дси дси р — + — =0 дхс ду' принадлежит к смешанному типу: при р(0 оно гиперГюлического типа, а при у .. 0 — эллиптического типа, ИГ>о >1 = — у. Уравнение Трикоми представляет интерес Рис, 10.

для газовой динамики, причем в области гиперболичности у .-.0 оно соответствует сверхзвуковому движению, а в области эллиптичиости у)0 — дозвуковому движению. При у(0 уравнения характеристик (29) принимают вид у'='+ .-т=-. Поэтому кривые (рис. 10) 1г — у 3 3 2х+3/ — 7-С>, 2-х — 3~ — уз=С, являются характеристиками уравнения Трикоми. Преобразование 3 - — — 3 $= — х+)' — у' Ч=- х — у' — у' 2 ' 2 приводит уравнение Трикоми к каноническому виду постАноВкА кРАеВых ВАдАч Если же у)0, то, в соответствии в теорией 5 3.4, 3 гь --х — (Затух и подстановка типа (35): 2 $= — х, т)= — )'у', приводит уравнение Трикоми к каноническому виду д~й д~й 1 дй дР дч Зчдч= — + — + — — =0 ц~0.

ф 4. Постановка-основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка В этом параграфе мы сформулируем математические модели для ряда характерных физических процессов, которые сводятся к различным краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. 1. Классификация краевых задач.

Как было показано в 3 2, линейное дифференциальное уравнение второго порядка р —,=Йрх(рнгайи) — ди+Р(х, 1) описывает процессы колебаний, уравнение р — = б( ч (р нгаг( и) — пи + Р (х, 1) ди (2) описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение — г(1 ч (р дгас( и) + аи = Р (х) (3) описывает соответствующие стационарные процессы. Пусть б ~ гг' — область, где происходит процесс, и 5 — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, б есть область изменения аргументов х в уравнении (3) — область задания уравнения (3). Областью задания уравнений (1Г и (2) будем считать цилиндр Цг=бх(0, Т) высоты Т и с основанием б.

Его граница состоит из боковой поверхности 5х[0, Т')и двух оснований: нижнего б~с(0) и верхнего бх(Т) (рис. 11). Будем предполагать, что коэффициенты р, р и д уравнений (1) — (3) не зависят от времени 1; далее, в соответствии с их физическим смыслом, будем считать, что % <! ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 69 р(х))0, р(х))0, <1(х))0, херб. Наконец, в соответствии с математическим смыслом уравнений (1) — (3), необходимо считать, что р ее С (б), р ен С'(б) и <1 я ее С(6).

При этих предположениях, согласно классификации 3, уоовнение колебаний (1) — гиперболического типа, <<равнен«е ди<(>фузии (2) — параболического о<ила и стационарное уравнение (3) — эллиптического гпипа. Таким образом, различие в типах рассматркваемых уравнений тесно связано с различием физических процессов, описывае- 7 мых этими уравнениями. Как отмечалось в Э 2, чтобел полнсстью описать тот или иной физический процесс, не<>бходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот чт процесс, задать начальное согп>инпс по><> нр<>цссса (ничпльшж угпч ип) и р<оким но г(т- l нице <ой <>блж-<н, и к<>н>рой происходит эп>т процесс (гриннчныс условия), Математнче- гг г к и это связано с неединственн<ютью решения дифференциальных уравнений.

Лействительно, даже для обыкновенных дифференциальных уравнений и-го порядка общее решение зависит от и произВольных постоянных. Лля уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения и, =0 в классе функций, зависящих от переменных х и у, имеет вид и(х, у)=)(у), где ( — произвольная функция класса С'. Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия.