Лекции по гидроаэромеханике, страница 7

(2.3) Раскрывая в (2.3) производные от произведений и вводя обо- ~1~~ значение индивидуальной производной †„ , получаем Ир — + р Йчч=д. Н Вводя вектор рч с проекциями ро„ро„, ро„можно уравнение (2.5) переписать в виде д + Йч (рч) О (2.5') Из (2.3') получаем наиболее часто употребляемую запись уравнения неразрывности — + рйчч =О. Ир Н (2.6) Рассмотрим запись уравнения неразрывности для частных случаев.

1. Д в и ж е н и е у с т а н о в и в ш е е с я. В этом случае местная производная должна быть равна нулю, т. е. — =О. Уравдр д1 пение неразрывности для установившегося движения д„(рвх)+ д (Рв„) + д (ро,) =О, или Йч(рч) =О. (2.7) д д д 41 Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью О.

Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т. е. индивидуальная производная от плотности по времени равна нулю. В переменных Эйлера это записывается в виде — =О. Уравнение неразрывИр И ности (2.3) в случае несжимаемой жидкости примет вид до„до„до, д Йчч= —, или — "+ — "+ Р' дх ду дг р ' (2.4) В дальнейшем чаще всего будут рассматриваться потоки, не содержащие источников. Остановимся на рассмотрении уравнения неразрывности в случае, когда о = О. Уравнение неразрывности (2.3) в общем случае запишется в виде д~ + д (Р х) + (Рву) + д (Рв~) = О.

(2.5) 2. Ж и д к о с т ь н е с ж и м а е м а. В этом случае — = О. Ыр Н Из (2,6) следует дух дуу до дх ду дл + — "+ — '=О, йчч=О. 3. Д в и ж е н и е ил ос к о е. Движение называют плоским, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой прямой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические величины имеют одно и то же значение. Принимая эту плоскость за плоскость (х, у), получим, что о, =— О, а все гидродинамические величины будут зависеть только от х, у, 1, и, следовательно, производные по г будут равны нулю. Уравнение неразрывности для плоского движения д + д (Р~~х) + (Р~'У) 0 Если при этом движение установившееся, то — Р „)+ — д(~ „)=О.

д д Для несжимаемой жидкости д "х д~у — "+ — "= О. дх ду 4. Одномерное движение с плоской симметр и е й. Рассмотрим движение, при котором все частицы движутся параллельно некоторой прямой, причем все гидродинамические величины в каждой плоскости, перпендикулярной этой прямой, постоянны. Если эту прямую принять за ось х, то д д при таком выборе системы координат оу — — о, =— О и— ду дг = О. Уравнение неразрывности в этом случае будет иметь вид дР + д (Ро„)=О. др д Кроме движения с так называемой плоской симметрией рассматривают и другие одномерные движения — с осевой симметрией, со сферической симметрией (например, точечный взрыв). 5 3.

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА Исходим из интегральной записи закона сохранения масс (1.9). От переменных х, у, г перейдем к переменным Лагранжа а, Ь, с, которые определяют положение частиц в момент времени или д ~ О(х у г)1 и ~р п(а ь с) ~=О (3.5) Равенство (3.5) означает, что величина в ква а , что величина в квадратных скобках анжевои переменной 1, т. е. О(х, у, г), О(х', у', г') О(а.

Ь,с) Р О(а, Ь,с) (3.6) Равенство (3.6) — а гранжа п и ( . ) — ур внение неразрывности в перем Л- р О = О. Величины, стоящие слева в авн еременных а- дают с координатами Лаг анжа т рдинаты совпав виде тами агранжа, то уравнение (3.6) запишется О(х, у, г) В( Ь (3.7) или подробнее Р( с 1)п( ьс) 0(х, у, г) Здесь х, г — ф , у, — функции координат Лагранжа а 'о с плотность, вычисленная в мо момент ~о >»ров Если жидкость несжимаема, то ' = и рьвности как сле '" 61 1 едует из (3.61 и в виде ед (3.6) (3.7), может быть записано О(х, у, г) В(х', у', г') О(х. у, г) 0(а Ь, с) В(а Ь с) (3.8) ~о в соответствующем объеме то 1огда (1.9) О гда ( .

) перепишется в виде 'СО Объем то не зависит от времен . П роизводную можно внести под знак интеграла. В пер Л и альная производная вычисля пе еменных агпанжа ин р дивидуэтому равенство (3.1) и ляется как частная п можно записать в виде я производная, по- 5 д ~ О(х у х)1 О(х у г) 1 55] а~ ~ а~а,ь,а)] '7 а~а'ь' ]ШаШЬШс=О. (3,2) Из (3.2) в сил п у роизвольности объема т будет с удет следовать, что д ~ О(х, у, г)1 О(х, у, г) д1 ~ О(а, Ь, с)1 ~ О(а, Ь, с) (3.3) др д О(х у г) (3.4) Уравнение (3.4) — уравнение не аз ыв о Лагранжа в об м е неразрывности в переменных Если д = О, то а в о щем случае при наличии источни о .

к в. То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное единице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться. В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать х=х(а, Ь, 1), у=у(а, Ь, 1), я=с. При этом О(х, у, х) О(х> у) О(а, Ь, с) О(а, Ь) ' и уравнение неразрывности запишется в виде О(х, у), О(х', у') О(х, у) 1)(а Ь) 1 1)(а Ь) ' 1 1) (а Ь) В случае одномерного движения, когда х = х(а, ~), у = сь я = ср, уравнение неразрывности будет иметь вид дх, дх' дх р — =р', или р — =р,. да да да Укажем на связь между уравнениями неразрывности, записанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на бт0 — — дадЫс. Получим рбмк = р,бт,. Здесь бт= ' ' бас(Ьс(с — элемент объема, в который в О(х, у, г) О (а, Ь, с) момент времени 1 переходит элемент объема бт0. Последнее равенство можно переписать так: И ИР (р бт) = О, — „~ бт + р — „~ (бт) = О.

И Отсюда — + р — — (бт) =О. Но ранее было показано, что ~р 1 Н бт Л бт л (б) 1 И Таким образом, получаем уравнение неразрывности в перемен- ных Эйлера. 5 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следующим образом. Пусть дь д~, дз — криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между д~, д2, дз и декартовыми координатами х, у, я задается соотношениями х=х(Ч! Ч2> Чз)> у=у(Ч1 ~Ь Чз)> ~=2(Ч1 Ч2> Чз) (4.1) 44 Рассмотрим криволинейный параллелепипед, образованный координатными поверхностями (рис. 5): д~ — — сопз1, О~ + дд~ — — сопМ; (~г = сопя(, ~г + Й~г = сопМ; Чз = сопМ, Чз+ доз = сопй.

Ребра этого параллелепипеда Жь дяг, Ыяз есть элементы дуг, соответствующие приращению координат ад~, ддг, доз. ~Ь1 — — Н1 Й~~, ~Ьг = Н., дуг, ~Ьз = Н, йц. Здесь Н,, Н,, Н,— коэффициенты Ламе: (4.2) (4.3) (~ = 1, 2, 3). (4.4) Н;= Объем параллелепипеда в предположении ортогональности координат будет равен ~~1 ~~г ~~з = Н! НгНз дд! ддг доз. (4.5) Для того чтобы записать закон сохранения массы, подсчитаем изменение массы оМ за время й внутри элементарного параллелепипеда двумя способами. 1. В момент времени 1 масса жидкости ЛМ в объеме ат равна ~М = Р ~с ~~~ ~~г ~~з = = р 4 Н1Нг Нз Й71 Й7г г~Чз р 45 В момент времени ~ + Л~ масса жидкости в том же объеме дт будет аЗ, г ~М = Р 1с+л ~~~ ~~г ~~з= = Р ~с+в Н1Нг Нз Й71 Й7г Й7з.

Изменение массы в объеме дт за время Й Ч7 ЬМ = ЛМ' — ЛМ = (р /~„,ив Рис. 5. — р /,) Н, Н,Нз Йу, йцг Йуз. (4.6) Из равенства (4.6) следует ЬМ = — Н1Нг Нз Й~! ~Чг ~ЧЗ ~~ ° др (4.7) 2. Изменение массы в рассматриваемом объеме за время Ж может быть связано с тем, что есть источники, распределенные в пространстве, и что количество жидкости, которое втекло в объем дт, не равно количеству жидкости, которое вытекло из этого объема. Введем обозначения: бт — изменение массы в объеме дт за счет источников; бМ бт + бт! + бтг + бт3 ° (4.8) По определению величины !7 имеем бт = !7 1~т 1~~ = ЧН! НгНЗ 1~!7! с~!72 с~!73 с~~ Подсчитаем бт1, бтг, бтз.

Для этого обозначим через и1, п~ оз проекции скорости жидкости на оси !71, !72, !7з. Через грань АВСР в объем !!т за сИ поступает масса жидкости бМ! = (Р !1~2 !~~з"! !1~) [,1, = (Р~11Н2НЗ) ~~, 1~!72 1~!73 с~~. Через грань А'В'С'Р'за то же время вытекает масса жидкости бМ! (Р ~~2 ~~3~1 ~~) ! (Ро1Н2НЗ)! г~Ч2 ~ РЗ ~~' Интересуюшая- нас величина 1 1 1 [(~ 1 2 3) ~ (~ 1 2 3) ] ~ 'Рг Г~З д = — — (рп!Н,НЗ) Йу! г1чг Йцз Ж. (4.10) дд! (4.9) Аналогично получим д бт, = — — (РпгН!Нз) ЙУ! 6У2 МУЗ Ж; д!2 д бтз (Р~13Н!Н2) !1!71 г~Ч2 газ !~~' дчз Общее изменение массы бМ получим, подставив (4.9) — (4.12) в (4.8): д д д [ (Ргг~~гЮ (Ргггггггг! 1РгЛгЮ+ дд~ ддг доз + г~г~г~г~1ИРг ггРгггРг ггг 'гг !г! Сравнивая два выражения (4.7) и (4.13) для бМ, получаем уравнение неразрывности в криволинейных координатах Н1Н2НЗ дР + д (Р~~!Н2НЗ) + д (Р~~2Н!НЗ) + др д д + — (РпзН!Нг) = ЧН!Н,Нз (4.14) д Рассмотрим частные случаи.

(4.12) 46 бт! — изменение массы в объеме !!т за счет того, что через грань А'В'С'Р' могло вытечь не такое количество жидкости, которое втекло через грань АВСР; бтг — изменение массы за счет протекания через грани АА'Р'Р и ВВ'С'С; бтз — изменение массы за счет протекания через грани АА'В'В и РР'С'С. Общее изменение массы бМ а) Декартовы координаты х, у, ~. Здесь д, = х> дг = у> дз = г; Н1= Н, = Н, = 1. Уравнение (4,14) примет вид д1 дк(~ ") ду Р ") дг б) Цилиндрические координаты (г, О, г). Здесь (4.15) п,=г, д,=О, да=а; п,=п„п,=п,, аз=о,. х=гсозО, у=гяпО, ~=а. Коэффициенты Ламе, вычисленные по формулам (4.4): Н! Н>' 1> Нг На г> Нз Нк Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах за. пишется в виде + д (Рп>г) + О (Рпа) + (Рпкг) = дг.