Лекции по гидроаэромеханике, страница 2

Обозначим через Р силу, с которой жидкость, находящаяся с той стороны площадки, куда направлена нормаль, действует на жидкость, находящуюся с другой стороны площадки Л5. Тогда средней поверхностной силой, приходящейся на единицу площади (напряжением), будет век- тор т„, = .

Предел, к которому стремится т„, когда ЛЗ ~л стягивается к точке А: т„= 1ип т„=1ип АЗ~О Р ЬзэО определяет напряжение в этой точке. 3 а м е ч а н и е, По второму закону Ньютона ЫК . ЛК Г„= — = 1ип лс-~о ~~ Таким образом, Г имеет смысл количества движения, переносимого через площадку Л5 в единицу времени. Соответственно т, есть количество движения, переносимое через единичную площадку в единицу времени, т. е. поток вектора количества движения через единичную площадку с нормалью и ЛК т„= 1ип— „, лил~ Ь в-эО Важной характеристикой состояния жидкости является температура, понятие о которой дается в физике. Если необходимо учитывать совершающиеся в жидкости тепловые процессы, то в качестве основной функции будет входить также температура Т 4.

Основные свойства жидкости. Жидкость есть сплошная среда, которая обладает следующим свойством: в случае, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, в ней наблюдаются только нормальные напряжения и отсутствуют касательные. Ниже будет установлено, что нормальные напряжения, которые наблюдаются в жидкости, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, не зависят от ориентировки площадки. Наблюдающиеся в жидкости нормальные напряжения являются большей частью напряжениями сжатия, но не растяжения. В газах вообще не наблюдается напряжений растяжения. В реальных капельных жидкостях напряжения растяжения могут иметь место, но они невелики, т.

е. прочность жидкости на разрыв невелика. Прочность капельных жидкостей в сильной мере зависит от ее чистоты; примеси очень сильно снижают прочность жидкости, Часть 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ 5 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА а=а(а, Ь, с, ~). Соответственно гидродинамические величины записываются так же, как функции а, Ь, с, 1: р=р(а, Ь, с, ~), ч=ч(а, Ь, с, ~), (1.2) Т = Т (а, Ь, с, ~). Существуют две точки зрения на изучение движения жидкости: точка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера. Соответственно используются два вида переменных — переменные Лагранжа и переменные Эйлера. Точ к а зр е н и я Л а гр а н ж а.

Пусть то — объем некоторой массы жидкости, который она занимала в начальный момент времени 10. В момент времени 1 эта масса жидкости будет занимать объем т. Между точками то и т имеется взаимно- однозначное соответствие. Произвольная частица объема то, которая в момент ~о находилась в точке Ао, перешла в определенную точку А жидкого объема т. Положение частицы определяется координатами х, у, а той точки пространства, в которой частица находится в момент времени 1. Координаты частицы в момент 1 зависят от положения, которое частица занимала в начальный момент времени. Начальное положение частицы может быть задано ее декартовыми координатами а, Ь, с в момент времени ~о.

Таким образом, координаты частиц представляются в виде х=х(а, Ь, с, ~), у=у(а, Ь, с, ~), Переменные а, Ь, с, 1 носят название переменных Лагранжа. Равенства (1.1) и (1.2) при фиксированных а, Ь, с дают координаты и гидродинамические характеристики частицы, начальное положение которой определяется координатами а, Ь, с. При фиксированном 1 равенства (1.1) и (1.2) дают координаты и гидродинамические величины различных частиц в зависимости от значений их начальных параметров а, Ь, с.

Т о ч к а з р е н и я Э й л е р а. В пространстве выбирают некоторую точку А, декартовы координаты которой х, у, з'. В разные моменты времени через эту точку А будут проходить различные частицы жидкости, имея свои значения гидродинамических величин. Представляет интерес изменение искомых гидро- динамических величин в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. Движение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если известны функции р=р(х, у, з, 1), ч=ч(х, у, з, 1), (1.3) Т = Т (х, у, з, г). Равенства (1.3) дают гидродинамические величины жидкой частицы, которая в момент времени 1 находится в точке с координатами х, у, з'.

Переменные х, у, з', 1 носят название переменных Эйлера. 3 а м е ч а н и е. При рассмотрении переменных Лагранжа и переменных Эйлера мы использовали декартову систему координат. Можно вместо декартовых координат а, Ь, с и х, у, з' использовать любые другие координаты. ф 2. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА К ПЕРЕМЕННЫМ ЭЙЛЕРА И ОБРАТНО 1. Пусть задача математического описания движения жидкости решена в переменных Лагранжа и требуется записать решение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид х=х(а, Ь, с, 1), у=у(а, Ь, с, 1), з=в'(а, Ь, с, 1); (2.1) о„ = о„ (а, Ь, с, 1), о„ = о„ (а, Ь, с, 1), о, = о, (а, Ь, с, 1); (2.2) р = р (а, Ь, с, 1), Т = Т (а, Ь, с, 1).

(2.3) Так как между координатами х, у, з и а, Ь, с имеет место взаимно-однозначное соответствие, то якобиан Л= '~' ~ ~0. (2.4) 0(а, о, с) При 1 = 1о а = х, Ь = у, с = з' и якобиан равен единице. Систему (2.1) можно разрешить относительно а, Ь, с и найти а= а(х, у, з, 1), Ь =Ь (х, у, з, 1), с = с(х, у, ~, 1). (2.5) $0 Подставив (2.5) в (2.2) и (2.3), получим решение задачи, записанное в переменных Эйлера: 0х = ~х (х> У> а> г) оу = оу (х> У> ~~ Г)> ог = ог (х> У> ~> Г)> (2.6) р = р(х, у, я, 1), Т = Т (х, у, я, г).

(2.7) 2. Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты х, у, я с переменными а, о, с, 1. В формулах (2.1) величины а, о, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время 1 — независимая переменная.

Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать (2.8) Но о, оу, о, известны в виде (2.6). Подставив (2.6) в правые части (2.8), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для отыскания искомой зависимости вида (2.1) = о,„(х> у, ~> ~)> — „= оу(х, у, я, ~), — „= о,(х, у, я, 1).

(2.9) Проинтегрировав систему (2.9), найдем х, у, я как функции 1: х = х (Сь С,, Сз 1)> У = у (С~> С2> Сз> 1)> я = я (С~> С2 Сз> г) (2.10) Здесь С~, С2, Сз — произвольные постоянные. По определению при 1 = 1о х = а, у = о, я = с. Подставляя эти значения в (2.10) и решая полученные равенства относительно С~, С2, Сз, находим С~, С2, С, как функции а, о, с. Подставляя С;(а, 6, с, Ьо) в (2.10) и опуская при написании аргумент 10, так как он один и тот же для всей задачи, получаем искомые формулы (2.1). Если теперь формулы (2.1) подставить в известные выражения для гидродинамических величин (2.6) и (2.7), то получим эти величины в переменных Лагранжа. 3 а м е ч а н и е.

Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа более сложен, так как он связан с необходимостью интегрировать систему дифференциальных уравнений. 9 3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ И МЕСТНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ И яд и в и ду а л ь н а я п р о и з води а я. Пусть А — некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть только от времени: А = А(1). Изменение величины А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая 11 называется индивидуальной производной. Обозначим эту пронзи г водную А„. Рассмотрим, как вычисляется А, в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

а) Пусть А — функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени (3.1) х = х (1), у = у (1), в = в (1). Поэтому А (1) = А [х(1), у(1), в'(1), ф дА Ых дА Ыу дА дг дА (3.2) (3.3) и — — + — — + — + дх Ю ду Ж дг Ж д1 Но (3.1) есть уравнения движения частицы, следовательно, ах Ду 6Ь у~ х~ ~~ у~ у г =0 — =0 — =0 (3.4) Отсюда дА дА дА дА А = — +о — +о — + с —.

и — д~ хд Уду гд (3.5) Часто для индивидуальной производной в переменных ЭйлеЫА 1)А ра используются обозначения, . В дальнейшем 'мы при- ЫА мем обозначение . Таким образом, г ЫА дА дА дА дА Аи= — = — +о — +о — +о . (3.6) и ~1~ д~ хдх Уду гдг б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А = А(а, Ь, с, 1). Для выделенной частицы аргументы а, Ь, с фиксированы, изменяется только время.

Поэтому А„=— г дА и д~ г (3.7) А = А (1). (3.8) Изменение величины А в фиксированной точке пространства характеризуется производной А по времени, которая называется I местной (локальной) производной по времени А„. а) Пусть А — функция переменных Эйлера, т.

е. А = = — А(х, у, в', 1). Так как к, у, в' фиксированы, то местная производная есть частная производная г дА А„= д1 (3.9) 12 М е с т н а я п р о и з в о д н а я. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени будут проходить разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина А. В фиксированной точке пространства б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А = А (а, Ь, с,1). В разные моменты времени через фиксированную точку М пространства проходят разные частицы с разными значениями а, Ь, с. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то можно записать а=а(1), Ь=Ь(г), с=с(т). Таким образом, для фиксированной точки пространства А = А [а (т), Ь (т), с (т), т] дА Ыа дА ~Ь дА Ыс дА да И дЬ ~й дс И д~ (3.10) Эта формула приобретает значение, если известны производные да И ас — — — Вычислим их.

Так как движение задано в пере<й' Ж' Ж менных Лагранжа, то известна связь (1.1). Дифференцируя по 1 обе части (1.1) и учитывая, что х, у, а фиксированы, получим дх Ыа дх ЫЬ дх Ыс дх 0 — — — + — — + — — + —, да Ж дЬ Ж дс Ж д1 ' ду Ыа + ду ЫЬ + ду Ыс + ду да Ж дЬ Ж дс Ж д~ ' дг Ыа дг И дг Ыс дг 0 — — — + — — + — — + —. да Ж дЬ Ж дс Ж д1 ' (3.1 1) Система (3.11) — система трех линейных уравнений относитель~1а ~1Ь ~1с но производных —, —, —.