Лекции по гидроаэромеханике

ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая книга представляет собой изложение курса, который много лет читал чл.-кор, АН СССР проф. Сергей Васильевич Валландер на математико-механическом факультете Ленинградского университета. Книга подготовлена на основе записей, сделанных в различные годы слушателями лекций Сергея Васильевича. С. В. Валландер неоднократно собирался сам подготовить курс к печати, но, к сожалению, в силу большой занятости так и не успел этого сделать.

Никакие конспекты, конечно, не могут полностью воспроизвести содержание лекций, стиль автора, его образный точный язык, лаконичные четкие формулиррвки. Однако на основании записи лекций можно сравнительно точно передать структуру курса, научные концепции автора и методы рассмотрения задач гидроаэромеханики. В различные годы С.

В. Валландер по-разному излагал отдельные вопросы. Для настоящего курса выбирался тот вариант, который при одинаковой содержательности являлся наиболее кратким Некоторые второстепенные вопросы составители вообще не включили в данный курс. Вместе с тем по совету рецензентов были введены некоторые дополнения и примеры, которые отсутствовали в рецензируемом варианте, так как не всегда излагались в лекциях. В книге нет вводной и заключительной лекций Сергея Васильевича, к сожалению, неповторимых.

Студенческие записи не могли передать их содержание достаточно точно, и потому излагать эти лекции от имени Сергея Васильевича составители книги не сочли возможным. Книга подготовлена к печати группой преподавателей и сотрудников кафедры в составе А. В. Беловой, Н. Б. Масловой, Е А. Нагнибеда, А. Ф.

Полянского, М. А. Рыдалевской. При окончательном редактировании рукописи большую помощь постоянной консультацией и своими замечаниями оказал Б, В. Русанов — один из первых учеников С. В. Валландера, доцент кафедры математической физики Ленинградского политехнического института. Перечисленным выше лицам, а также всем, кто содействовал изданию этой книги, отделение механики выражает свою благодарностьь.

Отделение механики математико-механического факультета ЛГУ приносит глубокую благодарность рецензентам чл.-кор. АН СССР проф. О. М. Белоцерковскому и заслуженному деятелю наук РСФСР проф. Л. Г. Лойцянскому за ряд ценных советов и замечаний, сделанных ими при просмотре рукописи. Заведующий отделением механики математико-механического факультета ЛГУ, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор Н. Н. Поллхов ВВЕДЕНИЕ 1. Основные положения. Гидроаэромеханика есть раздел механики, посвященный изучению законов движения и равновесия жидкостей, а также законов взаимодействия жидких сред с находящимися в них телами.

Понятие жидкости в широком смысле этого слова охватывает в гидроаэромеханике как мало сжимаемые капельные жидкости, так и легко сжимаемые жидкости, которыми являются газы. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что газы при скоростях, небольших по сравнению со скоростью распространения звука в них, ведут себя как несжимаемые жидкости. А капельные жидкости (например, вода) при больших давлениях ведут себя как сжимаемые жидкости.

В основе классической гидроаэромеханики, рассматриваемой в настоящем курсе, лежат следующие предположения: справедливость классической механики — механики Ньютона, справедливость классической термодинамики, справедливость схемы сплошной среды. Первое предположение означает, что исследуются движения, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, и поэтому не надо пользоваться релятивистской механикой, и что рассматриваются объекты, гораздо большие объектов микромира, изучаемых квантовой механикой. Термодинамически равновесным состоянием системы называется такое состояние, в котором все характеристики внутреннего состояния замкнутой системы при сохранении внешних условий могут сколь угодно долго сохранять свои значения.

В условиях термодинамического равновесия состояние жидкости (газа) можно определить с помощью нескольких макроскопических параметров (таких, например, как плотность, скорость, температура), Переход к состоянию термодинамического равновесия требует времени. Время, характеризующее быстроту, с которой затухают отклонения системы от равновесия, называют временем релаксации.

Если время, необходимое для установления равновесия, очень мало по сравнению с временем, на котором заметным образом меняются макроскопические параметры газа, то в окрестности каждой точки мы будем иметь дело с жидкостью, находящейся в состоянии термодинамического равновесия или близком к нему, и можем пользоваться для описания ее термодинамическими законами. Смысл третьего предположения будет подробно рассмотрен ниже.

2. Понятие физически бесконечно малого объема н схема сплошной среды. Представим себе, что имеется некоторая среда и что в объеме т заключена масса среды М. Тогда можно найти М ее среднюю плотность р,р — — —. Предположим, что объем т уменьшается, стягиваясь в точку. В силу неоднородности среды плотность р,р сначала будет заметно зависеть от объема, затем, когда среда в объеме т станет почти однородной, плотность практически не будет изменяться. Такая зависимость р„от объема оказывается справедливой до тех пор, пока в объеме еще достаточно большое число молекул. При дальнейшем уменьшении объема плотность начнет испытывать резкие колебания.

Это связано с тем, что расстояния между молекулами оказываются сравнимыми с размерами объема, и при небольших изменениях объема в одних случаях число молекул в объеме может остаться неизменным, в других — может уменьшиться. В первом случае плотность возрастет (масса постоянна, объем уменьшился), во втором плотность может резко падать. Объем, размеры которого, с одной стороны, пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером рассматриваемого явления, так что его средние характеристики можно считать постоянными, а с другой стороны, содержит в себе настолько много молекул, что эти характеристики будут устойчивы по отношению к изменению объема, будем называть физически бесконечно малым объемом.

Во всех дальнейших рассуждениях слова «объем стягивается в точку» и запись т-~ О будут означать переход к физически бесконечно малому объему. Кроме пространственного приходится также иметь дело с пространственно-временным физически бесконечно малым объемом. Если отвлечься от молекулярного строения жидкости, то можно представить ее как непрерывно распределенную (размазанную) по пространству среду, обладающую физическими свойствами реальной жидкости. Такая среда является приближенной моделью реальной жидкости, которая дает достаточную точность при ее изучении. Для такой среды мы можем уже строго стягивать объем в точку и делать предельный переход в обычном сМысле.

Предположение,О справедЛивости модели снлошной среды равносильно предположению о существовании физически бесконечно малого объема. В дальнейшем мы будем пользоваться понятием частицы (бесконечно малой частицы), подразумевая под жидкой частицей малый жидкий объем (физически бесконечно малый жидкий объем).

В силу малости этот объем можно рассматривать как поступательно движущийся и движение частицы представлять себе, как движение материальной точки, характеризуемой конечным числом параметров. Трактуя жидкость как непрерывную сплошную среду, будем в дальнейшем все функции, имеющие гидродинамический смысл, считать достаточно гладкими, т.

е. непрерывными и имеющими достаточное число производных. 3. Некоторые основные величины. Остановимся на понятиях плотности, скорости, напряжения. Считаем момент времени фиксированным. Выделим в жидкости некоторый объем т, ограниченный поверхностью 5. Пусть М вЂ” масса жидкости, заключенная в объеме т, К вЂ” вектор количества ее движения. Плотность жидкости в данной точке понимается как предел, к которому стремится величина р„, когда обьем стягивается к точке, т. е. М р = 1ип р„= 1ип— .~0 " .~0 Скоростью точки сплошной среды, как известно из кинемаЫг тики, называется производная ч = — , где г — радиус-вектор, Н ' определяющий положение точки.

Имея в виду, что наша сплошная среда является моделью реальной жидкости, имеющей молекулярное строение, определим среднюю по объему скорость ч К как отношение количества движения к массе: ч„= —. Соот° ср М ветственно скорость в точке, к которой стягивается объем т, будет ч = 1ип ч„=1ип —. К т-зО ъ~ О Действие жидкости, находящейся вне поверхности 5, на жидкость, находящуюся внутри 5, может быть представлено действием системы сил, распределенных по поверхности 5. Выделим на поверхности площадку Л5. Пусть и — нормаль к Л5 в какой-то средней точке А.