Лекции по гидроаэромеханике, страница 3

Якобиан системы не равен нулю. Ж' Ж' Ж' аа аЬ ас Решая систему (3.11) относительно — „, — „, — „и подставляя эти решения в (3.10), приходим к формуле для местной производной 0 (А, х, у, г) 0(~,а, Ь,с) / А„= (3.12) 0(х, у, х) 0(а, Ь, с) 5 4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ И НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 13 Течение жидкости называется установившимся, или стационарным, если в каждой фиксированной точке пространства, принадлежащей области движения, все гидродинамические величины не зависят от времени.

Это означает, что если А — некоторая величина, характеризующая движение, то местная / производная А = О. дА В переменных Эйлера А„=, т. е. д~ > — = О, А = А (х, у, г). дА В переменных Лагранжа для местной производной имеем формулу (3.12). Так как Л ~ О, то признаком установившегося движения в переменных Лагранжа должно быть равенство 0(А,х,у,г) =О, так что А=А(х, у, г). ф 5. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ Скорость частицы является индивидуальной производной от радиус-вектора по времени, ускорение — индивидуальной производной от вектора скорости по времени, т. е.

Если задача о движении жидкости решается в переменных Эйлера, то 0» = 0» (Х> Д> 2» )> Оу = 6у (Х> Д> 2» )> 0~ = 0~ (Х> У> ~> >)' Ускорение можно вычислить, используя формулу (3.6): ~Ь дч дч дч ду И= — = — +0» — +Π— +О— д~ "дх У ду ~дг' (5.1) В проекциях на оси ~~'х д~>» д~>» до» до» = — = — +о — +о — "+о —" д~ "дх У ду» дг ИОу д0у д0у д0у Ы = = +Π— +О У И д~ »дх У ду >'1~>2 д ~>2 д~>2 д ~>2 Ы = — = — +Π— +О дх ду д0у + ~/ ° г д (5.1') +О до~ г д Если задача решается в переменных Лагранжа, то х = х ~а, Ь, с, ~), у = у (а, Ь, с, ~), ~ = г (а, Ь, с, ~) (5.2) — искомые функции.

Если они найдены, то скорость и ускорение легко вычислить. Согласно определению (см. (3.7) ) дг ч=— д1 ' дх ду дг 0 = — 0 = — 0 » д1 > У д~ > л д~ (5.3) 14 Если гидродинамические величины во всем пространстве, занятом жидкостью, или в какой-либо части его изменяются с течением времени, то движение называется неустановив~иимся, или нестационарным.

Заметим, что при переходе от одной системы координат к другой установившееся движение может перейти в неустановившееся, и наоборот. Соответственно дч д~г Ж= — = д1 д!' (5.4) дох д~х д~ д~г до д'г дну д'у Ы) д~ дР ф 6. ТРАЕКТОРИИ, ЛИНИИ ТОКА, КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ Траекторией частицы (точки сплошной среды) называется геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит во времени. Если движение задано в переменных Лагранжа, то известны функции х=х(а, о, с, ~), д= у(а, о, с, ~), »=»(а, Ь, с, 1). (6.1) Уравнения (6.1) есть параметрические уравнения траектории той жидкой частицы, положение которой в момент 1 = 1, определялось параметрами а, о, с.

Если задача решена в переменных Эйлера, то известны ц„(х, у, », 1), оу(х, у, », 1), о,(х, у, », 1). Если х, у, » — координаты точки на траектории, то — =ох(х> д>», г)> у~ =оу(х> д, », г), ~~ =ох(х, д, », г). (6.2) Уравнение траектории следует искать как решение системы диф- ференциальных уравнений (6.2). Чтобы найти траекторию час- тицы, которая при 1 = ~о имела бы координаты х1 =хо, у~ =уо, »( =»О, (6.3) надо решить задачу Коши для системы (6,2) с начальными данными (6.3). Линией тока называется линия, которая для данного момента времени 1 обладает следующим свойством: вектор скорости ч, вычисленный в любой точке этой линии, направлен по касательной к ней.

Фиксируем момент времени 1. Пусть юг — бесконечно малый элемент линии тока с проекциями с1х, с1у, с1», а ч(х, у, », 1) — вектор скорости. Тогда по определению вектор юг коллинеарен вектору ч. Условие коллинеарности юг и ч в проекциях записывается в виде Нх Ну с~г ~>х ~>у ~>г (6.4) 15 Система (6.4) — система дифференциальных уравнений линий тока; время 1 здесь является фиксированным параметром. Ооозпачая общее значение величины дробей через Л (8 — вспомогательная переменная), перепишем систему уравнений (6.4) в виде Их — — О ,у — кэ Иу Иг — Π— 0 Иг у' Иг к (6.5) а = а (8), Ь = Ь (з), с = с (8).

(6.8) Подставляя (6.8) в (6.1), получаем параметрические уравнения линий тока в зависимости от 8 при фиксированном значении 1. Для установившихся течений скорости не зависят от времени, время 1 не будет входить явно в правые части уравнений (6.2) для траекторий и уравнений (6.5) для линий тока. А тогда обе сиетемы уравнений совпадают. Так как траектории и линии тока находятся в результате решения одной и той же задачи Коши, то в установившихся течениях они совпадают. Вспомогательный параметр 8. который мы ввели, в этом случае имеет смысл времени движения 1. Для неустановившихся движений в обшем случае линии тока и траектории не совпадают.

Поверхность тока — поверхность для фиксированного момента времени, в каждой точке которой вектор скорости лежит в касательной плоскости. Пусть и — единичный вектор нормали 16 Здесь 8 — независимая переменная, ~ — параметр. В переменных Эйлера скорости о„, и„, о, — известные функции х, у, я, 1. Чтобы найти линию тока, которая проходит через точку хо, уо, яо, надо решить задачу Коши для системы (6.5) с начальными данными «1...=хое У1, „=Уо ~1, г =2о. (6.6) В переменных Лагранжа а, Ь, с, 1 функции (6.1) известны Скорости и, о„, и, находятся согласно (5.3).

Различным гочкам линии тока, положение которых определяется параметром 8, соответствуют различные значения а, Ь, с (различные частицы). Координаты точек х, у, я линии тока оказываются сложными функциями з. Находя выражения для —, —, — при Их Иу Иг Иг ' Иг ' Иг фиксированном 1 и приравнивая их, согласно (6.5), выражениям для скоростей, получаем систему уравнений дх й~ дх ИЬ дх Ис дх да ~й дЬ Иг дс Иг дГ ' ду Иа ду ИЬ ду Ис ду да Нг дЬ ~Гг дс аг дГ ' дг Иа дг ИЬ дх Ис дг + — — + — — —— да Иг дЬ Иг дс Иг дГ ' Система (6.7) может быть разрешена относительно производна ИЬ Иг ных — „, — „, — „в силу условия (2.4).

Решая задачу Коши, находим функции к поверхности, ч — вектор скорости. Тогда по определению ч п=О, или (л'> х) + пу соз (Й> 17) + >>~ соз (и,> Я) О, Пусть уравнение поверхности тока У (х, у, г, 1) = О. (6.9) (6.10) Е1аправляющне косинусы нормали пропорциональны производ- дГ дУ д9 ным ', —, —, т. е. вектор п параллелен вектору вагаб Я . дх ' дд ' дг Из уравнения (6.9) тогда следует, что д9 дУ дУ' (6.1 1) Уравнение (6.11) — линейное уравнение в частных производных первого порядка для отыскания функции У (х, у, г, 1), где 1— параметр. Характеристики уравнения (6.11) удовлетворяют системе уравнений в 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕНЗОРАХ Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное пространство с декартовыми координатами х~, х2, хз с ортами 1ь 1,, 1э.

Все результаты этого параграфа легко обобщаются на случай евклидова пространства люоого числа измерений, 17 >>х дд д2 (6.12) Ох Оу Ог ' Уравнения (6.12) совпадают с уравнениями (6.4) для линий тока, т. е. характеристики уравнения (6.11) являются линиями тока.

Для уравнения (6.11) обычно ставят задачу Коши: отыскать поверхность тока, которая проходит через заданную кривую 1. Эта задача имеет смысл, если кривая 1 не является характеристикой, Геометрически поверхность тока обычно строится следующим образом: берут кривую, не являющуюся линией тока, и через точки этой линни проводят линии тока. Критическая точка — точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно и„= и, = п,=О. (6.1 3) Рассмотрим систему уравнений (6А) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования и единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в ней может нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока.

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14).

В связи с этим вводят определение: если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин си и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с = ~~си~~— аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). Рассмотрим следующие примеры. 1.

Таблица 1, О, О О, 1, О О, О, 1 1 =!! би 11 = образует тензор второго ранга, который во всех системах координат имеет одни и те же компоненты. В этом легко убедиться, применяя формулы (7.5) и учитывая (7.7). Тензор 7 называется единичным. 2. Как мы уже показали вначале, таблица с = !~си~~, составляюшие си которой образованы из произведений компонент двух векторов: а(аь а~, аз) и Ь(Ьь Ь2, Ьа), так что сп, = а;Ьь является тензором. Этот тензор называется диадох, образованной из векторов а и Ь. 3. Пусть компоненты ан а2, аз некоторого вектора а являются функциями да~ координат хь х2, х~.

Легко показать, что таблица си, в которой с "й образует тензор второго ранга, т. е. совокупность частных производных от компонент вектора по координатам образует тензор второго ранга. 3. Тензор любого ранга. Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с и индексами ~(сс,1,с, ... с (~, где с1, г„..., г„= — 1, 2, 3, и если компоненты этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам 20 то говорят, что совокупность величин с;,...1 определяет аффинный ортогональный тензор ранга и (или просто тензор ранга и), Примером тензора и-го ранга является совокупность произведений компонент и векторов. Формула (7.15), как и формулы (7.5) и (7.14), линейка относительно величин с„,, „, суммирование в ней идет по вторым индексам, она содержит произведение и направляющих косинусов.

С этой общей точки зрения скаляр (величина, не меняющаяся при переходе от одной системы координат к другой) есть тензор нулевого ранга, вектор есть тензор первого ранга. 4. Действия с тензорами. Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга и: А=~1а;,;,.„;„, В=-!)Ьг,г,... г„(), то величины определяют новый тензор С, который называется суммой тснзоров А н В: С=~с,, ... „'~, С=А+В. Умножение тензора на скаляр.